九年級上冊第三章《證明（三）》
3.2.2特殊平行四邊形—菱形和正方形
【學習目標】
1．理解並掌握菱形及正方形性質、判定定理，並應用定理來解決問題；
2．在合作交流中體驗定理的證明過程，融合解題的技巧。
【學習過程】
一、 自主**及鞏固：
菱形的定義：
**1：菱形都有哪些性質，你能證明嗎？
菱形的性質定理：
性質1：
性質2：
性質3：
性質4：
對稱性：
【自我鞏固與積累】
1．如圖1，在菱形abcd中，p、q分別是ad、ac的中點，如果pq=3，那麼菱形abcd的周長為
2．如圖2，菱形abcd中，o是對角線ac、bd的交點，ab=5㎝，ao=4㎝，則bd
3．如圖3，在菱形abcd中，對角線ac=4，∠bad=120°，
則菱形abcd的周長為（ ）
a．20 b．18 c．16 d．15
【感悟與積累】（1）由於菱形的四邊相等，對角線互相垂直且平分對角，所以，有關計算通常要用到勾股定理或含30°角的直角三角形中線段之間的數量關係，在學習時應加以熟練。（2）由於菱形的對角線互相垂直，所以菱形的面積等於兩條對角戲乘積的一半，請務必記住並加以推廣到：對角線互相垂直的四邊形的面積等於對角戲乘積的一半。
**2：如何判斷乙個平行四邊形（四邊形）是菱形？你能證明嗎？
菱形的判定定理：
判定1：
判定2：
判定3：
【自我鞏固與積累2】
4．在四邊形abcd中，對角線ac、bd交於點o，從①ab=cd；②ab∥cd；③oa=oc；④ob=od；⑤ac⊥bd；⑥ac平分∠bad這六個條件中，選取三個推出四邊形abcd是菱形，如：①②⑤ abcd是菱形，再寫出符合要求的兩個：______abcd是菱形；
______abcd是菱形。
5．如圖4，四邊形abcd中，e、f、g、h分別是邊ab、bc、cd、da的中點，請你新增乙個條件，使四邊形efgh為菱形，應新增的條件是
6．如圖，ad∥fe，點b、c在ad上，∠1＝∠2，bf＝bc
⑴求證：四邊形bcef是菱形
⑵若ab＝bc＝cd，求證：△acf≌△bde
【感悟與積累】證菱形的一般方法是：先證明是平行四邊形，再證鄰邊相等或對角線互相垂直即可。
正方形：
**3正方形都有哪些性質，你能證明嗎？
正方形的性質定理：正方形的四個角都是_______；四條邊都對角線且對角線________每組對角（所得的角為_____°）
正方形的對稱性：
【自我鞏固與積累3】
7．如圖6，在正方形abcd中，e是ac上一點，ae=ad，eg⊥ac與e，交cd於g，則∠deg
【感悟】正方形是最特殊的四邊形，解題時應充分利用其特殊的角度及線段之間的數量關係(如該題中的∠dac)。
8．如圖7，將邊長為8㎝的正方形abcd摺疊，使點d落在bc邊的中點e處，點a落在點f處，摺痕為mn，則線段cn
【感悟與積累】摺疊問題關鍵在於確定對應關係，然後再借助勾股定理建立線段之間的數量關係。
9．如圖8，在正方形abcd中，e是cd邊的中點，ac與be相交於點f，連線df。
（1）在不增加點和線段的前提下，直接寫出圖中所有的全等三角形；
（2）連線ae，試判斷ae與df的位置關係，並證明你的結論；
（3）延長df交bc於點m，試判斷bm與mc的數量關係。（直接寫出結論）
10．如圖，abcd是正方形，點g是bc上的任意一點，於e，，交ag於f．
求證：．
**4 正方形的判定定理：有乙個角是直角的是正方形；對角線相等的____
是正方形；對角線互相________的矩形是正方形。
【自我鞏固與積累】
11．如圖10，在四邊形abcd中，ab=bc=cd=da，對角線ac與bd相交於點o，若不增加任何字母與輔助線，要使得四邊形abcd是正方形，則還需新增的乙個條件是
12．如圖11，一張矩形紙片，要摺出乙個最大的正方形，小明把矩形的一角沿摺痕ae翻折上去，使ab和ad邊上的af重合，則四邊形abef就是乙個最大的正方形，他的判定方法
是13．如圖：已知在中，，為邊的中點，過點作，垂足分別為.
（1） 求證：；
（2）若，求證：四邊形是正方形.
九年級數學第三章證明
班級姓名學號成績 一 選擇題 每題4分，共40分 下列每小題只有乙個正確答案，請將正確答案的番號填在括號內.1 如圖1，在 abcd中,o為對角線ac bd的交點，則圖中共有相等的角 a 4對 b 5對 c 6對 d 8對 2 如圖2，已知e f分別為 abcd的中點，連線ae cf所形成的四邊形a...
第三章證明 三
2.應用定理完成例題 例1.如圖，已知ad是 abc的角平分線，de ac交ab於e，df ab交ac於f。求證 四邊形aedf是菱形 當 abc滿足什麼條件時，四邊形aedf是正方形？例2.如圖，在平行四邊形abcd中，ac與bd相交於o點，點e f在ac上，且be df。求證 be df。教師在...
第三章證明 三
一 填空題 1.如圖，abcd，則abad，ad，若此時 b d 128 則 b 度，c 度.2.如果乙個平行四邊形的周長為80 cm，且相鄰兩邊之比為1 3，則長邊 cm，短邊 cm.3.如下左圖，abcd,c的平分線交ab於點e，交da延長線於點f，且ae 3 cm，eb 5 cm,則abcd的...