進才北校葉茂
《幾何證明》單元是上教版《數學》教材八年級第一學期的乙個重要的單元，可以說從這個單元起，初中幾何實現了從認知幾何向論證幾何的轉變，很多同學學到這裡就覺得數學一下子難起來了。這部分知識學習的好壞對以後的幾何學習，甚至使整個中學階段的數學學習都有著重要的影響。而在這部分內容中最重要的就是與直角三角形有關的知識。
這些知識我們可以用四個定理和乙個方法來概括，它們是：
定理1 直角三角形的兩個銳角互餘。
定理2 直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半。
推論1 在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
推論2 在直角三角形中，如果一條直角邊等於斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的角等於30°。
方法是指常用的輔助線作法：倍長中線法。
要學好這些知識，我們首先要熟悉教材上的例題和習題，因為很多的題目是由這些教材上的例題或習題改編或進一步延伸而成的。例如：
例1、已知如圖1：在△abc中，cd、be分別是邊ab、ac上的高，m是bc的中點，n是de的中點。求證：mn⊥de。
如果你熟悉教材就不難發現，這個題目實際由教材中第74頁，練習的第2題進一步延伸得來的，我們可以鏈結md、me，並證明md=me，這樣就不難再用「等腰三角形三線合一」證出mn⊥de了。
再比如：例2、已知如圖2，rt△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab於點d，∠a=30°，ad=15，求bc的長。
很多同學在做這個題目時，因為找不出bc和ad的關係而無從下手，其實教材第75頁的例13和這個題目界有很大的聯絡（例13的條件與這個題目十分接近，沒有ad=15這個條件，要求證的的內容是：ad=3bd）。根據這個例題，我們可以分別在△abc和△bcd中使用前面提到的「推論1」，就不難證出ab=4bd，則ad=3bd，那麼bd=5，bc的長度就不難求出了（bc=10）。
此外，我們還要掌握這些定理的一些最常見的使用「結構」。比如：在右面的圖3，rt△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab於點d。
我們不難通過定理：「直角三角形銳角互餘」和「同角的餘角相等」證明到∠acd=∠b以及∠bcd=∠a；再比如：右面的圖4，rt△abc中，∠acb=90°，cd是ab邊上的中線。
我們不難通過定理：「直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半」和「等邊對等角」證明到∠acd=∠a以及∠bcd=∠b，並且還可以由三角形外角定理進一步推出∠adc=2∠b以及∠bdc=2∠a。熟練掌握這樣一些常見的定理使用「結構」可以大大減少我們幾何思維的中間環節，提高我們思考和解決幾何推理型問題的能力。
讓我們來看下面的問題：
例3、如圖5 rt△abc中，∠acb=90°，cd、ce、cf分別是斜邊ab上的高，∠acb的平分線和斜邊ab上的中線，求證：∠dce=∠ecf。
分析：通過觀察，我們可以發現，圖5中既包含了圖3，又包含著圖4，依據圖3的結論，我們可以知道∠acd=∠b；依據圖4的結論，我們可以知道∠bcf=∠b，從而，∠acd=∠bcf，又因為ce平分∠acb，∠ecd=∠ecf，這樣就不難證明∠dce=∠ecf了。
再比如：例4、如圖6，rt△abc中，∠acb=90°，ad//bc，bd交ac於點e，2∠cbe=∠abe。求證：ed=2ab。
分析：我們學習的可以直接證明一條線段是另一條線段兩本的定理很少，要證ed=2ab，考慮到de是rt△ade的斜邊。那麼可以利用「直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半」來將證兩倍轉化為證相等，故輔助線：
取de的中點f，鏈結af。根據上面圖4的結論，∠afd=2∠d=2∠ebc，則∠b=∠afc，ab=af，這樣這個題目就可以解決了。
說完了四個定理的應用，讓我們再一起來來看一下倍長中線法。
倍長中線法是教材第72頁上，證明定理「直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半」時，用到的輔助線添法。「倍長中線」顧名思義就是加倍延長中線的意思，當然，被加倍延長的不只侷限於三角形的中線，只要是這樣的題目：條件中包含中點或中線，包含一條以乙個中點為其中乙個端點的線段。
都有可能以倍長中線法作為輔助線添法。讓我們通過下面的例子來看：
例5、如圖7，e是線段ab的中點，點c、d、e在同一直線上，且ac=bd。求證：∠ace=∠d。
分析：∠ace和∠d既不在同乙個三角形中，又無法通過兩個三角形的全等直接證明相等，考慮倍長中線法：延長ce到點f，使得ef=ce，鏈結bf。
不難證明△ace≌△bfe，從而bf=ac=bd，∠ace=∠f，這樣問題就可以解決了。還可以延長de到f，使得ef=de，並鏈結af來做，大家可以自己試一試。
通過這個例子，我們可以看到：倍長中線法主要內容就是通過倍長和鏈結的輔助線作法，產生一對互為中心對成圖形的全等三角形，並利用這對全等三角形實現對題目的條件或需要證明的結論的轉換。
好了，說了這麼多，希望能為大家更好的掌握這部分的知識提供一點幫助。要想學好幾何，不能死記定理，一定要結合定理適用的圖形理解和掌握定理，要熟悉一些常見圖形的特徵和結論，熟練掌握哪些常用的幾何證明方法。俗話說「熟能生巧」，相信通過大家的努力，一定能夠找到幾何證明的「訣竅」，體會到幾何推理的樂趣。
以下是幾個有關直角三角形的幾何證明題，提供給大家練練身手。
練習1、如圖，rt△abc中，∠acb=90°，cd是斜邊ab上的中線，de⊥ab交∠acb的平分線於點e，求證：cd=de。
練習3、如圖，點a、b、d在同一直線上，又ab=ac=bd，e為ab的中點。求證：cd=2ce。
提示：練習1是例3的延伸，輔助線作法是：作cf⊥ab於點f。
然後利用例3的想法來證明；練習2的輔助線作法是：鏈結cd，作ch⊥ed於點h。那樣就可以根據前面提到的圖3的結論推出∠ech=∠f，根據圖4的結論推出∠ecd=∠a，加之cd=bd=ce，再應用「等腰三角形三線合一」就可以證明出∠a=2∠f了；練習3的輔助線作法就是倍長中線法：
延長ce到點f，使得ce=ef，鏈結bf。則△ace≌△bfe，ac=bf=bd，∠fba=∠a，又∠fbc=∠fba+∠abc，∠dbc=∠acb+∠a，所以∠fbc=∠dbc，加上公共邊bc，就可以證明△fbc≌△dbc了，結論也就不難證明了。
直角三角形
例1 如圖，已知在rt abc中，c 90 cd ab，ad 8，bd 4，求tana的值。2 坡度的定義及表示 難點 我們通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度 或坡比 坡度常用字母i表示。斜坡的坡度和坡角的正切值關係是 注意 1 坡度一般寫成1 m的形式 比例的前項為1，後項可以是小數 ...
證明二 直角三角形
1 定義 有乙個角是的三角形是直角三角形。2 性質 勾股定理 直角三角形兩銳角 直角三角形斜邊上的中線等於 在直角三角形中，30 角所對直角邊等於 3 判定 定義 兩銳角的三角形是直角三角形 勾股定理逆定理 如圖，在 abc中，acb 900，ab 5，bc 3，cd ab於點d，求cd的長。如圖,...
1 2 1三角形證明之直角三角形
1.2.1直角三角形 備課人 陳燕芝審核人 瞿建平備課時間 2015.3.4 姓名班級使用時間 學習目標 1 了解勾股定理及其逆定理的證明方法 2 結合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題 知道原命題成立其逆命 題不一定成立。學習過程 一.溫故知新 1.abc中,c 90 a,b為直角邊,c...