一導數運算
(1)y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x.
(2)∵y＝x－sin cos＝x－sin x，
∴y′＝′＝1－cos x.
(3)y′＝′＝
＝＝＝.
二導數的幾何意義
1函式y＝kx＋ln x的導函式y′＝k＋，
由導數y′|x＝1＝0，得k＋1＝0，則k＝－1.
2.因為f(x)＝xln x＋1，
所以f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1.
因為f′(x0)＝2，所以ln x0＋1＝2，
解得x0＝e，所以y0＝e＋1.
由點斜式得，f(x)在點(e，e＋1)處的切線方程為y－(e＋1)＝2(x－e)，即2x－y－e＋1＝0.
3. (1)f′(x)＝aex－＝.
令f′(x)＝0，得x＝ln >0.
當0≤x當x>ln，f′(x)>0.
∴f(x)在上遞減，在上遞增．
從而f(x)在[0，＋∞)上的最小值f＝2＋b.
(2)∵y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線為y＝x，
∴f(2)＝3，且f′(2)＝，
∴解之得b＝且a＝.
三利用導數研究函式的單調性
1. 解 (1)當k＝1時，f(x)＝(x－1)ex－x2，
∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．
令f′(x)>0，即x(ex－2)>0，
∴x>ln 2或x<0.
令f′(x)<0，即x(ex－2)<0，∴0因此函式f(x)的遞減區間是(0，ln 2)；
遞增區間是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)．
(2)易知f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝x(ex－2k)．
∵f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函式，
∴當x≥0時，f′(x)＝x(ex－2k)≥0恆成立．
∴ex－2k≥0，即2k≤ex恆成立．
由於ex≥1，∴2k≤1，則k≤.
又當k＝時，f′(x)＝x(ex－1)≥0當且僅當x＝0時取等號．
因此，實數k的取值範圍是.
2. 解 (1)對f(x)求導，得f′(x)＝3x2－2ax－3.
由f′(x)≥0，得a≤.
記t(x)＝，則t′(x)＝，
所以當x≥1時，t(x)是增函式，
∴t(x)min＝(1－1)＝0.∴a≤0.
故實數a的取值範圍是(－∞，0]．
(2)由題意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，∴a＝4.
∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.
令f′(x)＝0，得x＝－或3.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
∴f(x)的單調遞增區間為，[3，＋∞)；f(x)的單調遞減區間為.
四利用導數研究函式的極值
1. 解 (1)由f(x)＝aln x＋＋x＋1，
∴f′(x)＝－＋.
由於曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直於y軸，
∴該切線斜率為0，即f′(1)＝0.
從而a－＋＝0，∴a＝－1.
(2)由(1)知，f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
∴f′(x)＝－－＋＝.
令f′(x)＝0，解得x＝1或－(捨去)．
當x∈(0,1)時，f′(x)<0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0.
∴f(x)在(0,1)上是減函式，在(1，＋∞)上是增函式．
故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3，f(x)無極大值．
2. (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
又1和－1是函式f(x)的兩個極值點，
∴解得，a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－3x，g′(x)＝x3－3x＋2.
由g′(x)＝0，得(x－1)2(x＋2)＝0，
∴g′(x)＝0的根為x＝－2或1.
當x<－2時，g′(x)<0；當－20.
∴x＝－2是函式g(x)的極小值點．
當－21時，g′(x)>0，故1不是g(x)的極值點．
所以g(x)的極小值點為－2，無極大值點.
五利用導數求函式的最值
1.(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，
由於f(x)在點x＝2處取得極值c－16，
故有即化簡得解得
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.
令f′(x)＝0，得x＝－2或2.
當x變化時，f(x)，f′(x)的變化情況如下表：
由表知f(x)在x＝－2處取得極大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2處取得極小值f(2)＝c－16.
由題設條件知，16＋c＝28，解得c＝12，
此時f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值為f(2)＝－4.
2. (1)f′(x)＝1＋2ax＋(x>0)，
又f(x)過點p(1,0)，且在點p處的切線斜率為2，
∴即解得a＝－1，b＝3.
(2)由(1)知，f(x)＝x－x2＋3ln x，其定義域為(0，＋∞)，
∴g(x)＝2－x－x2＋3ln x，x>0，
則g′(x)＝－1－2x＋＝－.
當00；當x>1時，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)內單調遞增，在(1，＋∞)內單調遞減．
∴g(x)的最大值為g(1)＝0，g(x)沒有最小值．
六不等式問題
1. (1)由已知，得f′(x)＝2ax＋＝(x>0)．
①當a≥0時，恒有f′(x)>0，
則f(x)在(0，＋∞)上是增函式．
②當a<0時，若00，
故f(x)在上是增函式；
若x>，則f′(x)<0，
故f(x)在上是減函式．
綜上，當a≥0時，f(x)在(0，＋∞)上是增函式；
當a<0時，f(x)在上是增函式，
在上是減函式．
(2)由題意，知對任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，
恒有ma－f(x)>a2成立，等價於ma－a2>f(x)max.
因為a∈(－4，－2)，所以< <<1.
由(1)，知當a∈(－4，－2)時，f(x)在[1,3]上是減函式，
所以f(x)max＝f(1)＝2a，
所以ma－a2>2a，即m因為a∈(－4，－2)，所以－2所以實數m的取值範圍是(－∞，－2]．
2. (1)由f(x)＝，
得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．
由於曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線與x軸平行，
所以f′(1)＝0，因此k＝13分)
(2)由(1)知，f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．
設h(x)＝－ln x－1，則h′(x)＝－－<0，
即h(x)在(0，＋∞)上是減函式， (5分)
由h(1)＝0知，當00，從而f′(x)>0，
當x>1時，h(x)<0，從而f′(x)<0.
綜上可知，f(x)的單調遞增區間是(0,1)，單調遞減區間是(1，＋∞)．
(8分)
(3)由(2)可知，當x≥1時，g(x)＝xf′(x)≤0<1＋e－2，
故只需證明g(x)<1＋e－2在0當01，且g(x)>0，
∴g(x)＝<1－xln x－x. (10分)
設f(x)＝1－xln x－x，x∈(0,1)，
則f′(x)＝－(ln x＋2)，
當x∈(0，e－2)時，f′(x)>0，當x∈(e－2,1)時，f′(x)<0，
所以當x＝e－2時，f(x)取得最大值f(e－2)＝1＋e－2.
所以g(x)綜上，對任意x>0，g(x)<1＋e－2.
七導數在方程(函式零點)中的應用
1. 由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝2x＋sin x＋x(sin x)′－sin x＝x(2＋cos x)．
(1)因為曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．
解得a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)設g(x)＝f(x)－b＝x2＋xsin x＋cos x－b.
令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x＝0.
當x變化時，g′(x)，g(x)的變化情況如下表：
所以函式g(x)在區間(－∞，0)上單調遞減，在區間(0，＋∞)上單調遞增，且g(x)的最小值為g(0)＝1－b.
①當1－b≥0時，即b≤1時，g(x)＝0至多有乙個實根，曲線y＝f(x)與y＝b最多有乙個交點，不合題意．
②當1－b<0時，即b>1時，有g(0)＝1－b<0，
g(2b)＝4b2＋2bsin 2b＋cos 2b－b>4b－2b－1－b>0.
∴y＝g(x)在(0,2b)內存在零點，
又y＝g(x)在r上是偶函式，且g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，
∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零點，在(－∞，0)也有唯一零點．
故當b>1時，y＝g(x)在r上有兩個零點，
則曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點．
綜上可知，如果曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，那麼b的取值範圍是(1，＋∞)．
2. (1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．
由f′(x)＝0，得x＝－1或a(a>0)．
當x變化時f′(x)與f(x)的變化情況如下表：
故函式f(x)的單調遞增區間是(－∞，－1)，(a，＋∞)；單調遞減區間是(－1，a)．
(2)由(1)知f(x)在區間(－2，－1)內單調遞增；在區間(－1,0)內單調遞減．從而函式f(x)在區間(－2,0)內恰有兩個零點，當且僅當解得0＜a＜.
所以，a的取值範圍是.
八用定積分求曲邊梯形的面積
1.設f(x)＝a(x＋1)(x－1)(a<0)．
因為f(x)的圖象過(0,1)點，所以－a＝1，即a＝－1.
導數複習總結 基礎
導數的概念及其應用 知識點回顧 1 平均變化率 2 lim 表示瞬時變化率。3 基本初等函式的導數公式 若，則 若，則 4 導數運算法則 5 導數的幾何意義 幾何意義是曲線在點處的切線的斜率 6 導數與函式單調性 在某個區間內，若，則函式在這個區間內單調遞增 若，則函式在這個區間內單調遞減 7 極值...
導數複習知識點總結
2010高考數學複習詳細資料 導數概念與運算知識清單 1 導數的概念 函式y f x 如果自變數x在x處有增量，那麼函式y相應地有增量 f x f x 比值叫做函式y f x 在x到x 之間的平均變化率，即 如果當時，有極限，我們就說函式y f x 在點x處可導，並把這個極限叫做f x 在點x處的導...
導數知識點總結複習
經典例題剖析 考點一 求導公式。例1.是的導函式，則的值是 考點二 導數的幾何意義。例2.已知函式的圖象在點處的切線方程是，則 例3.曲線在點處的切線方程是 點評 以上兩小題均是對導數的幾何意義的考查。考點三 導數的幾何意義的應用。例4.已知曲線c 直線，且直線與曲線c相切於點，求直線的方程及切點座...