本章知識要點總結：
1. 旋轉的定義：
將乙個平面圖形f上的每乙個點，繞這個平面內一定點旋轉同乙個角α，得到圖形f'，圖形的這種變換叫旋轉。
2. 旋轉的性質：
性質1：對應點到旋轉中心的距離相等。
性質2：對應點與旋轉中心的連線所成的角彼此相等，且等於旋轉角。
性質3：旋轉不改變圖形的形狀和大小。
3. 全等三角形及其性質：
（1）全等形：能夠完全重合的圖形叫做全等形。
（2）全等三角形：能夠完全重合的三角形叫做全等三角形。
（3）全等三角形的表示方法：比如△bcd≌△aef
（4）全等三角形的性質：
①全等三角形的對應邊相等；
②全等三角形的對應角相等；
③全等三角形周長、面積相等。
4. 三角形全等的判定定理
（1）一般三角形：sas，asa，aas，sss。
（2）直角三角形：hl，sas，asa，aas，sss。
5. 直角三角形：
（1）直角三角形的性質：
①直角三角形中兩銳角互餘。
②如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
③在直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半。
④在直角三角形中，有乙個角為90°。
⑤在直角三角形中，如果一條直角邊等於斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的角等於30°⑥在直角三角形中，兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方，即a2＋b2＝c2。
（2）直角三角形的判定：
①有乙個角為90°的三角形為直角三角形。
②有兩個角互餘的三角形為直角三角形。
③如果三角形的三邊長a、b、c，有下面關係：
a2＋b2＝c2，那麼這個三角形是直角三角形。
6. 作三角形
（1）已知三邊作三角形。
（2）已知兩邊及其夾角作三角形
（3）已知兩角及其夾邊作三角形
六、規律與方法
1. 三角形的邊角關係：
（1）三角形的任意兩邊之和大於第三邊，任意兩邊之差小於第三邊。
（2）三角形內角和等於180°。
（3）三角形的任乙個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和。
2. 三角形的分類：
3. 證明線段相等的方法：
（1）可證明它們所在的兩個三角形全等。
（2）角平分線性質：角平分線上的點到角的兩邊距離相等。
（3）等角對等邊。
（4）等腰三角形的三線合一的性質。
（5）垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。
（6）等式的性質。
（7）中點的定義。
4. 證明角相等的方法：
（1）同角（等角）的餘角相等。
（2）同角（等角）的補角相等。
（3）平行線的性質：
①兩直線平行，同位角相等。
②兩直線平行，內錯角相等。
（4）全等三角形的對應角相等。
（5）等邊對等角。
（6）角平分線的定義。
（7）等式的性質。
（8）對頂角相等。
5. 證明垂直的方法
（1）證鄰補角相等。
（2）證和已知直角三角形全等。
（3）勾股定理的逆定理。
6. 常見輔助線的作法：
（1）在△abc中，如ad是中線，常採用的作法是：
①延長ad到e，使de＝ad，鏈結be（或過b作be∥ac，交ad的延長線於e），如圖甲。
②取ac的中點e，鏈結de（或過d作de∥ba，交ac於e），如圖乙。
③延長ba至e，使ae＝ab，鏈結ce（或過c作ce∥ad交ba的延長線於e），如圖丙。
（2）在△abc中，若ad是∠bac的平分線，常採用的作法是：
①延長ba至e，使ae＝ac，鏈結ce（或過c作ce∥ad，交ba的延長線於e），如圖甲。
②在較長邊ab上擷取ae＝ac，鏈結de，如圖乙。
③過c作ce∥ab，交ad的延長線於e，如圖丙。
④過d作de∥ab，交ac於e，如圖丁。
（3）在△abc中，若d是ab的中點，常採用的作法是：
①過d作de∥bc，交ac於e。
②取ac的中點e，鏈結de。
③鏈結cd，用中線的性質。
④若已知△abc為特殊三角形，可利用特殊三角形的性質：如為等腰三角形，考慮頂點平分線；若為直角三角形，考慮斜邊中線；若為有乙個角是30°的直角三角形，考慮斜邊中線及30°角所對邊之間的關係，常可作出中線。
【典型例題】
（一）構造全等三角形法：
例1. 已知：如圖，ab∥cd，ad∥bc，證明：ab＝dc，ad＝bc
例2. 如圖，△abc中，∠a＝90°，ab＝ac，bd平分∠abc交ac於d，ce⊥bd的延長線於e，求證：bd＝2ce。
（二）巧用勾股定理
例3. 已知：如圖，△abc中，ab＝ac，d為bc上任一點，求證：ab2－ad2＝bd·dc（ab＞ad）
例4. 如圖，已知四邊形abcd為正方形，點e為ab的中點，點f在ad邊上，且af
求證：ef⊥ce
（三）截長補短法：
例5. 如圖甲，△abc中，∠c＝2∠b，∠1＝∠2，求證：ab＝ac＋cd
證明二：補短法
如圖丙，延長ac至e，使ae＝ab，鏈結de
【模擬試題】
（一）填空題：
1. 已知乙個等腰三角形的乙個外角是120°，腰長是a，則它腰上的高是
2. 一直角三角形的兩邊長是12，5，則第三邊長是
3. ab是rt△abc的斜邊，中線ad＝7，中線be＝4，則ab
4. 已知△abc≌△def，且△def的周長為13，若ab＝4，bc＝6，則df的長是
5. 如圖1，已知△abc是直角三角形，∠c＝90°，∠a＝60°，ab＝8cm，cd是ab邊上的高，則adbd
圖1 6. 如圖2，已知ab＝ac＝10cm，ab∥cd，cd⊥ad，若∠b＝75°，則∠dacadcm。
圖2 7. 等邊三角形繞它的三條高線的交點旋轉120°，240°，…，都能與自己重合，它的旋轉中心是對應線段是
8. 若圖形甲按順時針方向旋轉30°得到圖形乙，那麼圖形乙按順時針方向旋轉就得到圖形甲。
9. 正五角星繞著它的中心至少旋轉可以與原圖重合。
10. 已知線段a，求作等邊三角形，使其邊長為a，其作法是
（1）作線段ab
（2）分別以a、b為圓心，以為半徑作弧，兩弧交於點c。
（3）鏈結和
則△abc為所求的等邊三角形。
（二）選擇題：
1. 下列作圖語言，敘述正確的是（ ）
a. 以a、b為端點，作直線ab
b. 以b為端點，作射線ab
c. 作線段ab，使ab＝a
d. 鏈結ab，使ab⊥a
2. 已知直角三角形的一直角邊為2，一銳角為60°，則這個直角三角形的周長為（ ）
a. b.
c. d.
3. 如圖3，ab⊥cd，△abd和△bce都是等腰直角三角形，若cd＝8，be＝3，則ac為（ ）
圖3 a. 8 b. 5 c. 3 d.
4. 下列現象屬於旋轉的是（ ）
a. 電單車在急剎車時向前滑動
b. 空中飛舞的雪花
c. 擰開自來水龍頭的過程
d. 飛機起飛衝向空中的過程
5. 某三角形三邊長分別是整數，周長是11，一邊長是4，則這個三角形可能的最大邊長是（ ）
a. 7 b. 6 c. 5 d. 4
6. 有六根細木棒，它們的長度分別是2，4，6，8，10，12（單位：cm），從中取出三根首尾順次鏈結搭成乙個直角三角形，則這三根細木棒的比度分別為（ ）
a. 2，4，8 b. 4，8，10
c. 6，8，10 d. 8，10，12
7. 下列條件中，能判定△abc≌△a'b'c'的是（ ）
①∠a＝∠a'，∠b＝∠b'，∠c＝∠c'
②ab＝a'b'，∠a＝∠a'，∠c＝∠c'
③ab＝a'b'，ac＝a'c'，bc＝b'c'
④bc＝b'c'，ac＝a'c'，∠c＝∠a'
a. 只有③ b. 只有②③
c. 只有②③④ d. 只有①③
8. 如圖5，將△bac繞點a旋轉60°至△dae位置，若∠bac＝120°，則△abd是三角形。
圖5 a. 等邊三角形 b. 等腰三角形
c. 直角三角形 d. 等腰直角三角形
9. 如圖6，ad⊥ab，ae⊥ac，ad＝ab，ae＝ac，則下列各式中正確的是（ ）
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