課程標題圓錐曲線四種題型五種方法
學習目標
掌握圓錐曲線四種題型五種方法
重點與難點
理解圓錐曲線四種題型五種方法
學習過程
（一）四道題、四種題型
1：已知橢圓c：內有一點a（2，1），f是橢圓c的左焦點，p為橢圓c上的動點，求｜pa｜+｜pf｜的最小值。
2： 已知橢圓內有一點a（2，1），f為橢圓的左焦點，p是橢圓上動點，求｜pa｜+｜pf|的最大值與最小值。
3：已知橢圓外一點a（5，6），l為橢圓的左準線，p為橢圓上動點，點p到l的距離為d，求|pa|+的最小值。
4：定長為d()的線段ab的兩個端點分別在橢圓上移動，求ab的中點m到橢圓右準線的最短距離。
（二）五道題。五種方法
1：已知拋物線，定點a(3,1)，f 是拋物線的焦點 ，在拋物線上求一點 p,使|ap|+|pf|取最小值 ，並求的最小值 。
2：橢圓的切線與兩座標軸分別交於a,b兩點 ， 求三角形oab的最小面積 。
3：過動直線x+2y=p與定直線2x-y=a的交點（其中）的等軸雙曲線系中 ， 當p為何值時，達到最大值與最小值？
4：已知橢圓和直線 l:x-y+9=0 ，在l上取一點m ，經過點m且以橢圓的焦點為焦點作橢圓 ，求m在何處時所作橢圓的長軸最短，並求此橢圓方程 。
5：過橢圓的焦點的直線交橢圓a,b兩點 ，求面積的最大值 。
※ 典型講解
（一）四道題四種題型
1：｜pa｜+｜pf｜的最值：
若a為橢圓內一定點（異於焦點），p是c上的乙個動點，f是c的乙個焦點，e是c的離心率，求｜pa｜+｜pf｜的最小值.
分析：注意到式中的數值「」恰為，則可由橢圓的第二定義知等於橢圓上的點p到左準線的距離。:答案為。
2：｜pa｜+｜pf|的最值
若a為橢圓c內一定點（異於焦點），p為c上的乙個動點，f是c的乙個焦點，求｜pa｜+｜pf|的最值。
解：如圖，設橢圓的右焦點為f』，可知其座標為（3，0）由橢圓的第一定義得：｜pa｜+｜pf『|=10
所以|pf|=10-|pfpa|+|pf|=|pa|+10-|pf』|=10+|pa|-|pf『｜可知：
當p為的延長線與橢圓的交點時，｜pa｜+｜pf『|最大，最大值為｜af』｜=，當p為f』a的延長線與橢圓的交點時，｜pa｜+｜pf『|最小，最小值為-｜af『｜=-。
故｜pa｜+｜pf|的最大值為10+，最小值為10-。
3：｜pa｜+ed的最值
若a為橢圓c外一定點，l為c的一條準線，p為c上的乙個動點，p到l的距離為d，求｜pa｜+ed的最小值。
解：如圖，設f為橢圓的左焦點，可知其座標為f(-3，0) 根據橢圓的第二定義有：
，即所以|pa｜+
可知當p、f、a三點共線且p**段af上時，｜pa|+|pf|最小，最小值|af|=10。故|pa|+的最小值為10。
4：橢圓上定長動弦中點到準線距離的最值
解：設f為橢圓的右焦點，如圖，作aa』⊥l於a」，bb」⊥ l於b」，mm」⊥l於m」
則當且僅當ab過焦點f時等號成立。故m到橢圓右準線的最短距離為。
評注：是橢圓的通徑長，是橢圓焦點弦長的最小值，是ab能過焦點的充要條件。
（二）五道題、五種方法
1：（定義法） 解： 如圖，, 焦點f(1,0) 。 由點a引準線x= -1的垂線 ，垂足q，則 |ap|+|pf|=|ap|+|pq|, 即為最小值.
. 由, 得為所求點
若另取一點， 顯然 。
2：（引數法）分析；寫出橢圓引數方程，設切點為，可得切線方程。
解： 設切點為， 則切線方程為.
令y=0, 得切線與x軸交點；令x=0,得切線與y軸交點b(0,)
= [悟] 利用圓錐曲線引數方程轉化為求三角函式的最值問題，再利用三角函式的有界性得出結果。
3：（二次函式法）分析：求出交點座標代入雙曲線,可得的二次函式表示式，再利用函式方法求解。
解：由, 得交點,交點q座標代入雙曲線,
= ==.
當, ,又,；
當p=3a時,
[悟] 把所求的最值表示為函式，再尋求函式在給定區間上的最值，但要注意函式的定義域。
4：（幾何法）分析；設是關於l對稱點 ， 可求出座標 ，過的直線方程與x-y+9=0聯立得交點m為所求。
解 ：由橢圓方程，得， 設是關於l對稱點 ， 可求出座標為(-9,6) ， 過的直線方程:x+2y-3=0與x-y+9=0聯立，得交點m(-5,4)， 即過m的橢圓長軸最短。
由,得，
, ,所求橢圓方程為.
[悟] ：在求圓錐曲線最值問題中，如果用代數方法求解比較複雜，可考慮用幾何知識求解，其中「三角形兩邊之和大於第三邊」是求最值常用的定理。同時，利用平幾知識求解，蘊涵了數形結合的思想。
5：（不等式法）分析：由過橢圓焦點，寫出直線ab方程為y=kx+1，與橢圓方程聯立，消去y，得關於x的一元二次方程，巧妙的利用根與係數的關係，可以起到避繁就簡的效果。
解 ： 橢圓焦點，設過焦點(0,1) ，直線方程為y=kx+1 與聯立 ，消去y, 得， 其中兩根為a,b橫座標 。 將三角形aob看作與組合而成 ，|of| 是公共邊 ，它們在公共邊上的高長為.
其中 |of|=c=1.
===. 當即k=0 時,取等號 ，
即當直線為 y=1時 , 得到的面積最大值為。
學習評價
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a. 很好 b. 較好 c. 一般 d. 較差
※ 當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：
課後作業
1：設p（x，y）為曲線上任意一點，若之值最小，則p 點座標為
2：平面內有一定線段ab，其長度為4，動點p滿足|pa|-|pb|=3，o為ab中點，求|op|的最小值。
3：已知定點a（a，0），其中，它到橢圓上的點的距離的最小值為1，求a的值。
4.已知拋物線的頂點o，點a（5，0），傾斜角為的直線l與線段oa相交但不過o，a兩點，且交拋物線與m，n兩點，求△amn面積最大的直線l的方程，並求△amn的最大面積。
5：若點（x，y）在橢圓上，則的最小值為（ ）
a. 1 b. –1 c. d. 以上都不對
6：p是橢圓上的點，f1，f2是焦點，設k=|pf1||pf2|，則k的最大值與最小值之差為（ ）
a. 1 b.2c. 3d. 4
7：已知a、b、c三點在曲線上，其橫座標依次為1，m，4（1a. 3bcd.
（最值問題最考驗基本功，而且很多存在性和定值問題都屬於最值問題）
高中數學選修2 1知識總結 圓錐曲線與方程
第二章圓錐曲線與方程 本章知識結構 本章知識要點 2.1 曲線與方程 一 曲線與方程 一般地，在直角座標系中，如果某曲線 看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡 上的點與乙個二元方程的實數解建立如下的關係 1 曲線上的點的座標都是方程的解 2 以方程的解為座標的點都是曲線上的點.那麼，這個方程叫做曲線...
高中數學圓錐曲線總結版
解圓錐曲線問題常用方法 橢圓與雙曲線的經典結論 橢圓與雙曲線的對偶性質總結 解圓錐曲線問題常用以下方法 1 定義法 1 橢圓有兩種定義。第一定義中，r1 r2 2a。第二定義中，r1 ed1 r2 ed2。2 雙曲線有兩種定義。第一定義中，當r1 r2時，注意r2的最小值為c a 第二定義中，r1 ...
高中數學圓錐曲線小結論
橢圓1.點p處的切線pt平分 pf1f2在點p處的外角.2.pt平分 pf1f2在點p處的外角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3.以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相離.4.以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.5.若在橢圓上，則過的橢圓的切...