(時間：120分鐘；滿分160分)
一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共計70分．把答案填在題中橫線上)
1．直線l過點a(1，|t|)和點b(－2,1)，當________時，直線的傾斜角為鈍角．
解析：表示出直線的斜率k＝，由直線的傾斜角為鈍角得＜0，求得－1＜t＜1.
答案：－1＜t＜1
2．兩條平行線l1：3x＋4y－2＝0，l2：ax＋6y＝5間的距離為________．
解析：由l1∥l2得＝，a＝，所以l2的方程為3x＋4y－＝0.l1、l2間的距離d＝＝.
答案：3．若直線l過點a(3,4)，且點b(－3,2)到直線l的距離最大，則直線l的方程為________．
解析：只有當l⊥ab時符合要求，∵kab＝＝，
∴l的斜率為－3.
∴直線l的方程為y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
答案：3x＋y－13＝0
4．設點p(x，y，z)關於原點的對稱點為q，則pq
解析：點p(x，y，z)關於原點的對稱點為q(－x，－y，－z)，
則pq＝2.
答案：2
5．已知點p是圓c：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一點，p點關於直線2x＋y－1＝0的對稱點在圓上，則實數a等於________．
解析：依題意可知，直線2x＋y－1＝0過圓心(－2，－)，則2×(－2)－－1＝0，
∴a＝－10.
答案：－10
6．圓x2＋y2＋4y－1＝0關於原點(0,0)對稱的圓的方程為________(標準方程)．
解析：先求出圓心(0，－2)關於原點的對稱點(0,2)，再讓半徑相等即可．
答案：x2＋(y－2)2＝5
7．對於任意實數λ，直線(λ＋2)x－(1＋λ)y－2＝0與點(－2，－2)的距離為d，則d的取值範圍為________．
解析：無論λ取何值，直線都過定點(2,2)，而點(2,2)與點(－2，－2)的距離為4，又點(－2，－2)不在已知直線上，故d＞0，所以0＜d≤4.
答案：0＜d≤4
8．圓x2＋y2－2x－3＝0與直線y＝ax＋1交點的個數為________．
解析：直線y＝ax＋1恆過定點(0,1)，而02＋12－2×0－3＜0，即點在圓內，所以直線與圓相交，有兩個交點．
答案：2
9．(2023年高考課標全國卷)過點a(4,1)的圓c與直線x－y－1＝0相切於點b(2,1)，則圓c的方程為________．
解析：由題意知a、b兩點在圓上，
∴直線ab的垂直平分線x＝3過圓心．
又圓c與直線y＝x－1相切於點b(2,1)，∴kbc＝－1.
∴直線bc的方程為y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3.
y＝－x＋3與x＝3聯立得圓心c的座標為(3,0)，
∴r＝bc＝＝.
∴圓c的方程為(x－3)2＋y2＝2.
答案：(x－3)2＋y2＝2
10．等腰直角三角形abc中，∠c＝90°，若點a、c的座標分別為(0,4)，(3,3)，則點b的座標是________．
解析：設b(x，y)，根據題意可得，
即.解得或，
∴b(2,0)或b(4,6)．
答案：(2,0)或(4,6)
11．已知直線y＝x＋b(b≠0)與x軸、y軸的交點分別為a、b，如果△aob的面積(o為原點)小於等於1，那麼b的取值範圍是________．
解析：令x＝0，則y＝b，∴點b座標是(0，b)；令y＝0，則x＝－2b，∴點a座標是(－2b,0)．
∴△aob的面積s＝·|b|·|－2b|＝b2≤1，
∴－1≤b≤1且b≠0.
答案：－1≤b≤1且b≠0
12．在平面直角座標系xoy中，若曲線x＝與直線x＝m有且只有乙個公共點，則實數m等於________．
解析：∵曲線x＝，即為x2＋y2＝4(x≥0)．
其圖形如圖所示的半圓．
∴直線x＝m與半圓有且只有乙個公共點時m＝2.
答案：2
解析：兩圓方程相減得相交弦所在直線為x＋y＋a＋b＝0，∴弦長＝2，∴a＝b時，弦長最大為2.
答案：2
14．直線x－y＋1＝0與2x－2y－1＝0是圓的兩條切線，則該圓的面積是________．
解析：∵兩平行直線間的距離即為圓的直徑．
∴2r＝＝，
∴r＝，
∴s圓＝πr2＝π.
答案：π
二、解答題(本大題共6小題，共計90分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15．(本小題滿分14分)已知直線l的方程是3x＋4y－12＝0，求分別滿足下列條件的l′的方程：
(1)l′與l平行，且過點(－1,3)；
(2)l′與l垂直，且l′與座標軸圍成的三角形面積為4.
解：(1)設所求直線的方程為3x＋4y＋t＝0，將(－1,3)代入上式得－3＋12＋t＝0，有t＝－9.
∴所求直線方程為3x＋4y－9＝0.
(2)設所求直線方程為4x－3y＋c＝0，
則它與座標軸的交點分別為，，
∴s＝＝4，c＝±4，
∴所求直線方程為4x－3y±4＝0.
16．(本小題滿分14分)
如圖，已知△abc在第一象限中，a(1,1)、b(5,1)，∠a＝60°，∠b＝45°，求：
(1)ab邊所在直線的方程；
(2)ac邊、bc邊所在直線的方程．
解：(1)∵a(1,1)，b(5,1)，
∴直線ab的方程是y＝1.
(2)由題圖可知，kac＝tan 60°＝，
∴直線ac的方程是y－1＝(x－1)，
即x－y－＋1＝0.
∵kbc＝tan(180°－45°)＝－1，
∴直線bc的方程是y－1＝－(x－5)，
即x＋y－6＝0.
17．(本小題滿分14分)已知正方形的中心為直線x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交點，正方形一邊所在直線方程為x＋3y－2＝0，求其他三邊方程．
解：由得
∴中心座標為(－1,0)．
∴中心到已知邊的距離為＝，
設正方形相鄰兩邊方程為
x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.
∵正方形中心到各邊距離相等，
∴＝和＝，
∴m＝4或m＝－2(舍)，或n＝6或n＝0.
∴其他三邊方程為x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.
18．(本小題滿分16分)已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈r)表示的圖形是圓．
(1)求其中面積最大時圓的方程；
(2)若點p(3,4t2)恆在所給圓內，求t的取值範圍．
解：(1)方程即(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2
＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，
∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，∴－＜t＜1.
∵r＝＝，
∴t＝∈時，rmax＝，此時圓面積最大，
所對應的圓的方程是2＋2＝.
(2)當且僅當32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)4t2＋16t4＋9＜0時，點p恆在圓內．
∴8t2－6t＜0，即0＜t＜.
19．(本小題滿分16分)已知圓c：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，
(1)求實數m的取值範圍；
(2)若直線l：x＋2y－4＝0與圓c相交於m，n兩點，且om⊥on，求m的值．
解：(1)由x2＋y2－2x－4y＋m＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，故5－m＞0，即m＜5.
(2)設m(x1，y1)，n(x2，y2)．直線om，on的斜率顯然都存在，由om⊥on，得·＝－1，
即x1x2＋y1y2＝0.①
由得5y2－16y＋m＋8＝0.又因直線l與圓c交於m，n兩點，所以δ＝162－20(m＋8)＞0，得m＜，且y1＋y2＝，y1y2＝，所以x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2＝.代入①，得m＝，滿足m＜.
所以m＝.
20.(本小題滿分16分)如圖，圓x2＋y2＝8內有一點p(－1,2)，ab為過點p且傾斜角為α的弦．
(1)當α＝135°時，求ab；
(2)當弦ab被點p平分時，求出直線ab的方程；
(3)設過p點的弦的中點為m，求點m的座標所滿足的關係式．
解：(1)如圖所示，過點o做og⊥ab於g，鏈結oa，當α＝135°時，直線ab的斜率為－1，
故直線ab的方程為x＋y－1＝0，
∴og＝＝.
又∵r＝2，
∴ga＝＝＝，
∴ab＝2ga＝.
(2)當弦ab被點p平分時，op⊥ab，此時kop＝－2，
∴ab的點斜式方程為y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
(3)設ab的中點為m(x，y)，ab的斜率為k，om⊥ab，則
消去k，得x2＋y2－2y＋x＝0，當ab的斜率k不存在時也成立，故過點p的弦的中點的軌跡方程為x2＋y2－2y＋x＝0.
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