1．下面三種說法中，正確的是( )
①乙個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基底；
②乙個平面內有無數多對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基底；
③零向量不可作為基底中的向量．
a．①② b．②③
c．①③ d．①②③
解析：選b.由於同一平面內任意一對不共線的向量都可以作為該平面所有向量的基底，故①錯誤，而②③正確，故選b.
2．設o是abcd的對角線交點，則下列向量組：①與；②與；③與；④與.其中可作為這個平行四邊形所在平面內所有向量的一組基底的是( )
a．①② b．①③
c．①④ d．③④
解析：選b.與不共線，故①可作為平行四邊形所在平面內所有向量的一組基底；又∥，故②不可以作為基底；與不共線，故③可以；與共線，故④不可以作為基底．
3．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1、e2不共線，則a＋b與c＝6e1－2e2的關係是( )
a．不共線 b．共線
c．相等 d．不確定
解析：選b.∵a＋b＝3e1－e2，
∴c＝2(a＋b)．∴a＋b與c共線．
4．e1、e2為基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若a、b、d三點共線，則k的值是( )
a．2 b．－3
c．－2 d．3
解析：選a.＝－＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2)，又a、b、d三點共線，則∥，則k＝2，故選a.
5．在△abc中，點d在邊cb的延長線上，且＝4＝r－s，則s＋r等於( )
a．0 b.
c. d．3
解析：選c.
如圖所示，由題意，得＝4，∴＝.
又∵＝－，
∴＝(－)
＝－.∴r＝s＝.∴s＋r＝.
6．在△abc中，d為bc邊的中點，已知＝a，＝b，則下列向量一定與同向的是( )
a. b.＋
c. d.－
解析：選a.＋＝2，
則＝(＋)＝(a＋b)，故選a.
7．已知向量e1、e2不共線，實數x、y滿足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，則x－y
解析：由平面向量基本定理，
可得：解得：
∴x－y＝3.
答案：3
8．設e1、e2是平面的一組基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則e1＋e2
解析：由方程組：
解得：所以e1＋e2＝(a－b)＋(a＋b)
＝a－b.
答案： a－b
9．在△abc中，∠bac＝90°，∠abc＝60°，ad⊥bc於d，若＝λ·＋μ·，則有序實數對(λ，μ)為
解析：∵＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋，答案：(，)
10.已知△abc中，d為bc的中點，e、f為bc的三等分點，若a＝a，a＝b，試分別用a，b表示a，a，a.
解：＝－＝b－a.
a＝a＋b＝a＋b
＝a＋(b－a)＝a＋b；
a＝a＋b＝a＋b
＝a＋(b－a)＝a＋b；
a＝a＋b＝a＋b
＝a＋(b－a)＝a＋b.
11．已知四邊形abcd為矩形，且ad＝2ab，又△ ade為等腰直角三角形，f為ed的中點，＝e1，＝e2，選擇作為矩形所在平面的基底，試用基底表示向量，，，.
解：如圖所示，
∵e1＝，e2＝，
∴＝－＝e2－e1.
由已知ad＝2ab＝de，且f為de的中點，四邊形abcd為矩形，
∴四邊形abdf為平行四邊形．
∴＝＝＝e2，
＝－＝2－＝2e2－e1，
＝＝e2－e1.
12．設e1、e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)證明：a、b可以作為一組基底；
(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ、μ的值．
解：(1)證明：設a＝λb(λ∈r)，則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1、e2不共線得
∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底．
(2)設c＝ma＋nb(m、n∈r)，
則3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，
得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴故所求λ、μ的值分別為3和1.
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