2.1 數列的概念與簡單表示法
第一課時數列的概念與通項公式
1.數列的概念
(1)數列：按照一定順序排列著的一列數稱為數列．
(2)項：數列中的每乙個數叫做這個數列的項．第1項通常叫做首項，排在第n位的數稱為這個數列的第n項．
2.數列的表示
數列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為，這裡n是序號．
3.數列的分類
(1)按項的個數分類：
(2)按項的變化趨勢分類：
4.數列的通項公式
如果數列的第n項與序號n之間的關係可以用乙個式子來表示，那麼這個公式叫做這個數列的通項公式．
1.an和是否相同？
提示：不相同．表示數列a1，a2，…，an，…，而an只表示中的第n項．
2.an＝和an＝(n∈n*)都是數列0,1,0,1，…的通項公式嗎？
提示：是．
根據數列的前幾項，寫出下列各數列的乙個通項公式：
(1)，，，，…；
(2)，2，，8，，…；
(3)7,77,777，…；
(4)0,3,8,15,24，…；
(5)，，，，，…；
(6)，－1，，－，，－，….
[自主解答] (1)注意前四項中有兩項的分子為4，不妨把分子統一為4，即為，，，，…，於是它們的分母相差3，因而有an＝.
(2)類似(1)統一分母為2，則有，，，，，…，因而有an＝.
(3)把各項除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，所以an＝(10n－1)．
(4)觀察數列遞增速度較快，有點像成平方地遞增，不妨用平方數列對照看一看，即1,22,32,42,52，…，很快發現an＝n2－1.
(5)每一項的分子比分母少1，而分母組成數列21,22,23,24，…，所以an＝.
(6)偶數項為負而奇數項為正，故通項公式必含因式(－1)n＋1，觀察各項絕對值組成的數列，從第3項到第6項可見，分母分別由奇數7,9,11,13組成，而分子則是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照這樣的規律第1、2兩項可改寫為，－，所以an＝(－1)n＋1.
1.根據數列的前幾項寫通項公式，體現了由特殊到一般的認識事物的規律．解決這類問題一定要注意觀察項與序號的關係和相鄰項間的關係．具體地可參考以下幾個思路：
(1)統一項的結構，如都化成分數、根式等．
(2)分析這一結構中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的變化規律與對應序號間的函式關係式，如例1.(1)中可把分子、分母分別處理．
(3)對於符號交替出現的情況，可觀察其絕對值，再以(－1)n(n∈n*)處理符號，如例1(6)．
(4)對於週期出現的數列，可考慮拆成幾個簡單數列和的形式，或者利用週期函式，如三角函式等求通項．
2.必須熟練地掌握一些基本數列的通項公式，比如下面這些數列均屬於基本數列，它們的通項公式必須記住．
(1)數列－1,1，－1,1，…的通項公式是an＝(－1)n；
(2)數列1,2,3,4，…的通項公式是an＝n；
(3)數列1,3,5,7，…的通項公式是an＝2n－1；
(4)數列2,4,6,8，…的通項公式是an＝2n；
(5)數列1,2,4,8，…的通項公式是an＝2n－1；
(6)數列1,4,9,16，…的通項公式是an＝n2；
(7)數列，，，，…的通項公式是an＝.
1.寫出下列數列的乙個通項公式，使其前幾項分別是下列各數．
(1)，2，，8，，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)a，b，a，b，a，b，…；
(4)9,99,999,9 999，…；
(5)，－，，－，…；
(6)，，，，….
解：(1)數列的項，有的是分數，有的是整數，可將各項都統一成分數再觀察：，，，，，…，所以，它的乙個通項公式為an＝，n∈n*.
(2)數列各項的絕對值為1,3,5,7,9，…，是連續的正奇數，考慮(－1)n＋1具有轉換符號的作用，所以數列的乙個通項公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)，n∈n*.
(3)這是個擺動數列，可尋找其擺動平衡位置與擺動振幅，平衡位置：，振幅：，可用(－1)n＋1去調節，則原數列的乙個通項公式為an＝＋(－1)n＋1，n∈n*.
(4)各項加1後，變為10,100,1 000,10 000，…，此數列的通項公式為10n，可得原數列的乙個通項公式為an＝10n－1，n∈n*.
(5)這個數列的前4項的絕對值都等於序號與序號加1的積的倒數，且奇數項為正，偶數項為負，所以它的乙個通項公式是：an＝(－1)n＋1，n∈n*.
(6)這個數列的前4項的分母都是序號加上1，分子都是分母的平方減去1，所以它的乙個通項公式是：
an＝，n∈n*.
已知數列.
(1)求這個數列的第10項；
(2)是不是該數列中的項，為什麼？
(3)求證：數列中的各項都在區間(0,1)內．
[自主解答] 設f(n)＝
＝＝.(1)令n＝10，得第10項a10＝f(10)＝.
(2)令＝，得9n＝300.
此方程無正整數解，
所以不是該數列中的項．
(3)∵an＝＝＝1－，
又n∈n*，∴0<<1，∴0即數列中的各項都在區間(0,1)內．
若保持例2條件不變，試判斷在區間內有無數列中的項？若有，有幾項？
解：令∴∴
∴(1)由通項公式寫出數列的前幾項．主要是對n進行取值，然後代入通項公式，相當於函式中，已知函式解析式和自變數的值求函式值．
(2)判斷乙個數是否為該數列中的項．其方法是可由通項公式等於這個數解出n，根據n是否為正整數便可確定這個數是否為數列中的項．
2.已知數列的通項公式為an＝3n2－28n.
(1)寫出數列的第4項和第6項；
(2)問－49和68是該數列的項嗎？若是，是第幾項？若不是，請說明理由．
解：(1)根據an＝3n2－28n，
a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0.
∴n＝7或n＝(舍)．
∴－49是該數列的第7項，即a7＝－49.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
∴n＝－2或n＝.
∵－2n*， n*，∴68不是該數列的項.
【解題高手】【妙解題】
數列中，a1＝1，對所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2.
(1)求a3＋a5；
(2)**是否為此數列中的項；
(3)試比較an與an＋1(n≥2)的大小．
[巧思] 求出數列的通項公式是解決本題的關鍵．由a1·a2·a3·…·an＝n2可得a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，故可求an.
[妙解] ∵a1·a2·a3·…·an＝n2(n∈n*)，①
∴當n≥2時，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2.②
由，得an＝(n≥2)．
(1)∵an＝(n≥2)，∴a3＋a5＝＋＝.
(2)∵＝＝a16，∴是數列中的第16項．
(3)n≥2時，an－an＋1＝－
＝＝>0，
an>an＋
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