第39課頻率與概率的應用
編寫：江蘇省江陰市要塞中學夏建平
第一部分講解部分
（一）課標要求
1．理解事件發生的頻率與概率之間的關係，加深學生對概率的理解，進一步體會概率是描述隨機現象的數學模型．
2．能運用列表法計算簡單事件發生的概率，能用實驗或模擬實驗的方法估計一些複雜的隨機事件發生的概率
（二）知識要點
1．頻率是實驗的結果，它與實驗的方法、過程、次數有密切關係，當實驗次數足夠多時，我們認為它越接近概率. 概率是事件發生的必然結果，它對乙個事件來說是確定值..
2．概率是表示事件發生的可能性大小的數；通常概率的大小是通過若干次重複實驗，用觀察到的頻率值的方法估計，有些問題的頻率值，也可以開動腦筋分析出來.
3．概率的**：通常概率可以通過若干次重複實驗來進行**. 但是由於受環境的影響不能做實驗時，可選用模擬試驗，其方法是：
①用替代的實物模擬試驗；②用計算器產生的隨機數來模擬試驗；不論選擇哪種方法，都必須保證試驗在相同的條件下進行，否則回影響其結果.
4．用列表求概率，很多情況下需要排除不需要的結果，而這對很多同學來說恰恰是難點，畫樹狀圖就很好地避免了此種情況.
5．遊戲是否公平，主要看雙方獲勝的概率是否相等，如果相等就公平；如果雙方獲勝的概率不等，那麼通過分值控制，只要「概率×分值」的結果相等，那麼也是公平的.
（三）考點精講
考點一 ：用頻率估計概率
例1．（2023年湖北省**市）在乙個不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的桌球共有20個，除顏色外，形狀、大小、質地等完全相同．小明通過多次摸球實驗後發現其中投到紅色、黑色球的頻率穩定在5%和15%，則口袋中白色球的個數很可能是個．
【分析】在同樣條件下，大量反覆試驗時，隨機事件發生的頻率逐漸穩定在概率附近，可以從比例關係入手，先求得白球的頻率，再乘以總球數求解．
【解】白色球的個數是：20×（1﹣5%﹣15%）=20×80%=16.
【評注】本題主要考查了利用頻率估計概率，解答此題的關鍵是要計算出口袋中白色球所佔的比例，再計算其個數．
考點二 ：遊戲的公平性問題
例2．（2023年雲南省昭通市）某校舉辦藝術節，其中a班和b班的節目總成績並列第一，學校決定從a、b兩班中選派乙個班代表學校參加全省比賽，b班班長想法是：用八張撲克牌，將數字為1，2，3，5的四張牌給a班班長，將數字為4，6，7，8的四張牌留給自已，並按如下遊戲規則進行：a班班長和b班班長從各自的四張牌中隨機抽出一張，然後將抽出的兩張撲克牌數字相加，如果和為偶數，則a班去；如果和為奇數，則b班去．
（1）請用樹狀圖或列表的方法求a班去參賽的概率．
（2）b班班長設計的遊戲規則公平嗎？若公平，請說明理由；若不公平，請你設計一種公平的遊戲規則．
【分析】（1）利用列表法得出所有可能結果，即可求出a班去參賽的概率；（2）根據（1）中所求資料即可得出a班去的概率，以及b班去的概率，進而修改規則得出答案．
【解】（1）所有可能的結果如下表：
一共16種結果，每種結果出現的可能性相同，其中和為偶數有6種結果，∴ p（和為偶數）==；即a班去參賽的概率為；
（2）由（1）列表的結果可知：a班去的概率為，b班去的概率為，所以遊戲不公平，對b班有利．
遊戲規則改為：若和為偶數，則a班得5分；若和為奇數，則b班得3分，則遊戲是公平的．
【評注】本題中涉及的遊戲規則是否公平，就是看a、b兩班去的概率是否相同.第（2）小題規則修改的方法不惟一，只要使得a、b兩班的概率相等即可.
考點三 ：模擬實驗
例3．（2023年廣東佛山市）在學習擲硬幣的概率時，老師說：「擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率是」，小明做了下列三個模擬實驗來驗證：①取一枚新硬幣，在桌面上進行拋擲，計算正面朝上的次數與總次數的比值；②把乙個質地均勻的圓形轉盤平均分成偶數份，並依次標上奇數和偶數，轉動轉盤，計算指標落在奇數區域的次數與總次數的比值；③將乙個圓形紙板放在水平的桌面上，紙板正中間放乙個圓錐（如圖），從圓錐的正上方往下撒公尺粒，計算其中一半紙板上的公尺粒數與紙板上總公尺粒數的比值．上面的實驗中，不科學的有（ ）
a．0個b．1個c．2個 d．3個
【分析】逐個分析每個試驗的概率後，與原來的擲硬幣的概率比較即可．
【解】①由於一枚質地均勻的硬幣，只有正反兩面，故正面朝上的概率是；②由於把乙個質地均勻的圓形轉盤平均分成偶數份，並依次標上奇數和偶數，標奇數和偶數的轉盤各佔一半．指標落在奇數區域的次數與總次數的比值為；③由於圓錐是均勻的，所以落在圓形紙板上的公尺粒的個數也是均勻的分布的，與紙板面積成正比，可驗證其中一半紙板上的公尺粒數與紙板上總公尺粒數的比值為．三個試驗均科學，故選a．
【評注】選擇和拋硬幣類似的條件的試驗驗證拋硬幣實驗的概率，是一種常用的模擬試驗的方法．
考點四 ：學科內的簡單應用
例4．（2023年安徽省蕪湖市）在複習《反比例函式》一課時，同桌的小明和小芳有乙個問題觀點不一致．小明認為如果兩次分別從1～6六個整數中任取乙個數，第乙個數作為點p（m，n）的橫座標，第二個數作為點p（m，n）的縱座標，則點p（m，n）在反比例函式的圖象上的概率一定大於在反比例函式的圖象上的概率，而小芳卻認為兩者的概率相同．你贊成誰的觀點？
（1）試用列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有點p（m，n）的情形；
（2）分別求出點p（m，n）在兩個反比例函式的圖象上的概率，並說明誰的觀點正確．
【分析】（1）此題需要兩步完成，所以採用樹狀圖法或者採用列表法都比較簡單；解題時要注意是放回實驗還是不放回實驗，此題屬於放回實驗；（2）依據（1）分析求得所有等可能的出現結果，然後根據概率公式求出該事件的概率．
【解】（1）
畫樹狀圖得：
（2）∴一共有36種可能的結果，且每種結果的出現可能性相同，其中點（3，4），（4，3），（2，6），（6，2）在反比例函式的圖象上，點（2，3），（3，2），（1，6），（6，1）在反比例函式的圖象上，∴點p（m，n）在兩個反比例函式的圖象上的概率為，∴小芳的觀點正確．
【評注】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重複不遺漏的列出所有可能的結果. 其中列表法適合於兩步完成的事件，而畫樹狀圖法可以處理需要兩步或兩步以上完成的事件．
（四）易錯點剖析
[易錯點1] 思考不周致錯
例1． 從一副撲克牌中隨機抽出一張牌，問抽到黑桃牌或k的概率是多少？
【錯解】∵p（抽到黑桃牌）=，p（抽到k）=，∴p（抽到黑桃牌或k）=+=.
【誤區剖析】在概率的計算中，當所有可能出現的結果數出現交叉時，往往會出現重複累計，使所求的概率值增大的錯誤. 本題錯解的原因是：沒有注意到在所抽到的黑桃牌中有可能包括黑桃k，故在實際的概率計算中，重複累計了出現黑桃k的情況.
【正解】∵p（抽到黑桃牌）=，p（抽到k但不含黑桃k）=，∴p（抽到黑桃牌或k）=+==.
[易錯點2] 不能正確利用圖表求等可能事件的概率
例2．一張圓桌旁有四個座位a先坐在如圖所示的座位上，b，c，d三個隨機坐到其他三個座位上，求a與b不相鄰的概率。
【錯解】用樹形圖列出b，c，d的所有可能如下
所有可能出現的結果共6種，其中（a，c，b，d）、（a，c，d，b）、（a，d，b，c）、（a，d，c，b）中a與b都不與b相鄰，所以p（a與b不相鄰）為。
【誤區剖析】本題中a的座位已定，還有三個座位供b、c、d隨機選擇，所以用樹形圖法列出座位的所有可能是正確的.再根據所得6種結果找到a與b不相鄰的可能情況的思路也是正確的.但本題中a、b、c、d圍成一桌，因此與a相鄰的不但只是第二個座位，還有第四個座位.
也就是說（a、c、d、b）和（a、d、c、b）中a與b也是相鄰的.錯解中只認為（a、b、c、d）和（a、b、d、c）是相鄰是犯了常識性的錯誤.只看數學符號，不分析本題的具體情境,所以所求概率是錯誤的.
本題也可直接分析出a與b不相鄰，即b坐在a的對面的所有可能只有三種情況，即b坐a的對面,c坐a的對面,d坐a的對面。
【正解】p（a與b不相鄰）=.
（五）真題演練
1．（2023年四川省雅安市）已知一次函式y=kx+b，k從2，﹣3中隨機取乙個值，b從1，﹣1，﹣2中隨機取乙個值，則該一次函式的圖象經過
二、三、四象限的概率為
abc、 d、
2．週末，王雪帶領小朋友玩摸球遊戲：在不透明塑膠袋裡裝有1個白色和2個黃色的桌球，摸出兩個球都是黃色的獲勝．小明一次從袋裡摸出兩個球；小剛左手從袋裡摸出乙個球，然後右手摸出乙個球；小華則先從袋裡摸出乙個球看一下顏色，又放回袋裡，再從袋裡摸出乙個球．這時，小明急了，說：小剛、小華佔了便宜，不公平．你認為如何（ ）
a、不公平，小剛、小華佔便宜了b、公平
c、不公平，小華吃虧了d、不公平，小華佔便宜了
3．（2023年江蘇省淮安市）有一箱規格相同的紅、黃兩種顏色的小塑料球共1000個．為了估計這兩種顏色的球各有多少個，小明將箱子裡面的球攪勻後從中隨機摸出乙個球記下顏色，再把它放回箱子中，多次重複上述過程後．發現摸到紅球的頻率約為0.6，據此可以估計紅球的個數約為 ．
4．用計算器進行模擬實驗，估計6人中有兩人同乙個月過生日的概率，在選定隨機數範圍後，每次實驗要產生個隨機數．
5．（2023年貴州省貴陽市）乙隻不透明的袋子中裝有4個質地、大小均相同的小球，這些小球分別標有數字3、4、5、x．甲、乙兩人每次同時從袋中各隨機摸出1個球，並計算摸出的這2個小球上數字之和，記錄後都將小球放回袋中攪勻，進行重複實驗．實驗資料如下表
解答下列問題：
（1）如果實驗繼續進行下去，根據上表資料，出現「和為8」的頻率將穩定在它的概率附近．估計出現「和為8」的概率是 ．
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