概念教學必須體現概念的形成過程
人民教育出版社中數室章建躍南京師範大學附屬中學陶維林
當前，不重視章節起始課的教學，概念教學走過場，以解題教學代替概念教學的現象比較普遍．在章節起始時，許多老師沒有把本章節要解決的主要問題、基本過程和主要思想方法等納入教學任務中；概念教學常常採用「乙個定義，幾項注意」的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學生提供充分的概括本質特徵的機會，認為讓學生多做幾道題目更實惠．更令人擔憂的是，有些老師不知如何教概念．
李邦河院士認為，「數學根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！」[1]以解題教學代替概念教學的做法嚴重偏離了數學的正軌，必須糾正．否則，學生在數學上耗費大量時間、精力，結果可能是對數學的內容、方法和意義知之甚少，「數學育人」終將落空．
本文是我們繼「函式的概念」教學案例[2]後做的又乙個案例，主要指導思想是「數學概念……首要表現在概念的形成」[1]，概念教學必須讓學生經歷概念的形成過程；基本想法是聚焦概念教學，探索概念教學的基本規律．期待我們的案例能拋磚引玉，希望廣大教師積極參與「如何教好數學概念」的討論．
一、對教學內容的基本認識
《平面向量》是「人教a版」數學4的一章，本節課包括「章引言」和「2.1平面向量的實際背景及基本概念」兩部分．
在配套的《教師教學用書》中，介紹了章頭圖和章引言的編寫意圖，其中有這樣的敘述：「章引言說明了向量的研究物件及研究方法，揭示了向量與幾何、代數之間的關係，運用向量法可將幾何性質的研究轉化為向量的運算，使幾何問題通過向量運算得到解決……」．因此，「章引言」（包括「章頭圖」）起「導遊圖」作用，是本章學習的「先行組織者」，應有充分的重視．教學時，可以滲透在具體內容中，不必作抽象講解，以避免空洞說教．
許多老師認為，「平面向量的實際背景及基本概念」一節「概念多但不難理解」，但我們認為「其實不然」．事實上，從「概念的形成」的角度看，本節內容，重要的不是向量的形式化定義及幾個相關概念，而是獲得數學研究物件、認識數學新物件的基本方法，蘊含了用數學的觀點刻畫和研究現實事物的方法和途徑，這是乙個帶有「本源」性質的過程．
這裡，為了幫助學生建立向量的概念，與數、形的相關概念（數及其運算、直線（段）的平行關係等）模擬與聯絡是值得重視的．在學生的已有經驗中，與本節內容相關的有：數的抽象過程、實數的絕對值（線段的長度）、數的相等、0和1的特殊性、線段的平行或共線等，這些將為學生自覺、有序、有效地認知向量概念提供「固著點」．具體教學時，要設計乙個能讓學生開展概括活動的過程，引導他們經歷從具體事例（位移、力、速度等）中領悟向量概念的本質特徵，模擬數的概念獲得向量概念的定義及表示，模擬數的集合認識「向量的集合」，模擬直線（段）的基本關係認識向量的基本關係．要使學生從中體會到認識乙個數學概念的「基本套路」：從具體背景中抽象出共同本質特徵——定義——表示——定義「相等」（這件事情很重要，但往往不被注意）、「單位元」、「0元」——某些特殊關係．由此看來，向量概念的形成並不是一件容易的事情．
二、教學過程概述
2023年11月初，在河南省舉辦的高中數學課標教材跟進式培訓中，我們以本節課為載體開展了概念教學的研討活動．下面呈現的是教學設計和課堂中發生的主要事件．
1．向量概念的形成
1．1 讓學生感受引入概念的必要性
引子：甲、乙兩車分別以v1=40km，v2=50km的速度從同一地點出發向北行駛．2小時後，它們相距20km．
甲、乙兩車分別以v1=40km，v2=50km的速度從同一地點出發，甲車向北，乙車向南．2小時後，它們相距180km．
它們的行駛速度一樣，為什麼2小時後的距離相差這麼大？
意圖：向量概念不是憑空產生的．用這一簡單、直觀例子中的「速度不僅有大小，而且有方向」，讓學生感受「既有大小又有方向的量」的客觀存在，自然引出學習內容．
問題1 你能否再舉出一些既有方向，又有大小的量？
意圖：啟用學生的已有相關經驗．
（學生能容易地舉出重力、浮力、作用力等物理中學過的量．）
追問：生活中有沒有只有大小，沒有方向的量？請你舉例．
意圖：形成區別不同量的必要性．
（學生所舉的例子有年齡、身高、面積等．）
概念抽象需要典型豐富的例項．讓學生舉例可以觀察到他們對概念屬性的領悟，形成對概念的初步認識，為進一步抽象概括做準備．
t：由同學們的舉例可見，現實中有的量只有大小沒有方向，有的量既有大小又有方向．類似於從一支筆、一本書、一棵樹……中抽象出只有大小的數量1，數學中對位移、力……這些既有大小又有方向的量進行抽象，就形成一種新的量——向量（板書概念）．
1．2 向量的幾何表示
問題2 數學中，定義概念後，通常要用符號表示它．怎樣把你所舉例子中的向量表示出來呢？
意圖：讓學生先嘗試向量的表示方法，自覺接受用帶有箭頭的線段（有向線段）來表示向量．
（讓學生在黑板上畫．學生畫了用帶有箭頭的線段表示力，開始時沒有對帶箭頭的線段加註起點、終點的字母，也沒有給出大小，寫出的f 上方沒有加箭頭．教師引導學生不斷完善，最終形成了用帶箭頭的線段表示向量．有的學生還標出了單位長，以比較兩個向量的大小．）
t：看來大家都認為用帶箭頭的線段表示向量比較好．在初中，常用ab，cd，a，b，c等表示線段．現在，我們加上箭頭，用，，，，等表示向量．以前ab與ba表示同一線段，現在和表示同一向量嗎？為什麼？
s：不．向量和起點、終點正好相反．
t：對，方向是向量的本質屬性之一．向量的另一本質屬性是大小，我們用||表示，稱為向量的模．同樣，用||來表示向量的模．因為向量有大小和方向兩個要素，只用代數形式或幾何形式是無法確定的，必須兩者結合．
1．3 零向量與單位向量
t：現在，我們已經建立了乙個向量的集合．就象每個人都有名字一樣，這個集合中的每乙個向量都有了名稱．那麼
問題3 你認為在所有向量組成的集合中，哪些向量較特殊？
意圖：引導學生學會觀察一組物件．面對一組物件，首先注意特殊物件是自然的．
（學生普遍認為零向量、單位向量是特殊的．）
t：大家為什麼認為它們最特殊？你們是怎麼想的？
意圖：挖掘結果背後的思維過程．企圖引導學生把向量集合與實數集模擬．
（課堂中，學生從長度這個角度進行了解釋，認為零向量的長度是0，單位向量的長度是1，最為特殊．這表明他們已經在把向量集與實數集作模擬．從實數集的認知經驗出發，自然會想到零向量、單位向量的特殊性．）
t：是的．模擬實數的學習經驗有利於向量的學習．在實數中，0是數的正負分界點，有0就可定義相反數；1是「單位」，作用很大．對實數的研究經驗告訴我們，「引進乙個新的數就要研究它的運算；引進一種運算就要研究運算律」．可以預見，引進向量就要研究向量的運算，進而就要研究相應的運算律或運算法則．所以，對於向量，還有許多內容等待我們去研究．
2．相等向量、平行向量、共線向量、相反向量概念的形成
問題4 觀察圖1中的正六邊形abcdef．給圖中的一些線段加上箭頭表示向量，並說說你所標註的向量之間的關係．（舉例）
意圖：不是先給出相等向量、平行向量、共線向量、相反向量的定義，再做練習鞏固，而是讓學生參與概念的定義過程，使概念成為學生觀察、歸納、概括之後的自然產物．
留給學生足夠的時間，並提出問題5，組織學生交流．
問題5 你是怎樣研究的？比如，你畫了哪幾個向量？你認為它們有怎樣的關係？
意圖：不僅關注結果，更要關注過程．尤其要挖掘學生用向量概念思維的過程．
（課堂中，有的學生首先關注大小；有的學生首先畫出向量與，認為它們長度相等且方向相同，是相等的向量；也有學生首先畫出向量與，認為它們是共線的向量；等．教師適時介入，解釋數學中的向量是自由向量，可以平移，因此，與也稱為共線向量．「平行向量」的產生比較順利，但「相反向量」的產生有困難，其間還模擬了「相反數」．）
歸納得到：
（1）從「方向」角度看，有方向相同或相反，就是平行向量，記為 ∥；
（2）從「長度」角度看，有模相等的向量，||=||；
（3）既關注方向，又關注長度，有相等向量=，相反向量=－．
t：我們規定：零向量與任意向量都平行，即∥．
問題6 由相等向量的概念知道，向量完全由它的方向和模確定．由此，你能說說數學中的向量與物理中的向量的異同嗎？另外，向量的平行、共線與線段的平行、共線有什麼聯絡與區別？
意圖：讓學生注意把向量概念與物理背景、幾何背景明確區分，真正抓住向量的本質特徵，完成「數學化」的過程．
3．閱讀課本
請同學們把課本看一遍，看看我們的討論過程與課本講的是否一致，有什麼遺漏？有什麼不同？
意圖：通過閱讀，對本課的內容再一次進行歸整、明晰．引導學生重視課本．
4．課堂練習
教科書p77中的「練習」部分．
5．課堂小結
問題7（引導學生自己小結）能否畫個圖，把今天學的內容梳理一下？
（有的學生提出可以把本課的內容分為三個部分，與圖2所呈現的內容基本一致，只是把「特殊關係」說成了「向量的性質」，這也是正確的．教師肯定了她的結論，展示了圖2．）
t：今天我們學習向量的概念及其表示方法，並初步研究了向量這個集合，發現了其中的兩個特殊向量，以及向量之間的一些特殊關係．同學們要認真體會其中的基本思路，即：從同類具體事例中抽象出共同本質特徵——下定義——符號表示——認識特殊物件——考察某些特殊關係．
這裡特別要注意，因為向量帶有方向，所以只用代數的形式已無法表示，必須結合幾何的形式．因此，向量具有代數形式和幾何形式的「雙重身份」．隨著學習的深入，我們會看到這種身份給向量帶來的力量．
另外，我們用模擬數集的方法初步認識了向量的集合．我們知道，數與運算分不開，數的概念的發展也與運算不可分割．例如，為了解方程x2=2，我們需要有無理數概念，於是要有「開方」運算．引進一種新的數，就要研究關於它的運算；引進一種運算，就要研究相應的運算律．今天我們引進了乙個新的量——向量，下面我們該研究它的哪些問題？如何研究？請同學們課後認真考慮，下節課來交流．（說罷，教師在「特殊關係」的右邊增加了省略號「……」．）
6．布置作業（略）．
三、教學反思
1．起始課應把「基本套路」作為核心目標
平面向量的概念的反思
人教a版 的主編寄語中說 數學概念 數學方法與數學思想的起源與發展都是自然的 如果有人感到某個概念不自然，是強加於人的，那麼只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應用，以及它與其他概念的聯絡，你就會發現它實際上是水到渠成 渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味 我們認為，這應該成為概念教學的基...
7 1 1平面向量的概念
課題 7.1.1 平面向量的概念及線性運算 教學目標 知識目標 1 了解向量 向量的相等 共線向量等概念 2 掌握向量 向量的相等 共線向量等概念 能力目標 通過這些內容的學習，培養學生的運算技能與熟悉思維能力 教學重點 向量的線性運算 教學難點 已知兩個向量，求這兩個向量的差向量以及非零向量平行的...
平面向量概念與運算
第36課時平面向量概念及運算 一 目標與要求 識記平面向量的概念，識記平面向量的幾何表示和相等向量與共線向量的含義 理解平面向量加法，減法與數乘運算及其幾何意義 二 要點知識 1 平面向量的基本概念 既有又有的量叫做向量。向量可以用有向線段表示，向量的 也就是向量的長度 或稱模 記作 向量的基本概念...