1．向量的概念
①向量既有大小又有方向的量。向量一般用……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：幾何表示法，；座標表示法。
向量的大小即向量的模（長度），記作||即向量的大小，記作｜|。
向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小
②零向量
長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝｜｜＝0。由於的方向是任意的，且規定平行於任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有「非零向量」這個條件。（注意與0的區別）
③單位向量
模為1個單位長度的向量，向量為單位向量｜｜＝1。
④平行向量（共線向量）
方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作∥。由於向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。
數學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現在必須區分清楚共線向量中的「共線」與幾何中的「共線」、的含義，要理解好平行向量中的「平行」與幾何中的「平行」是不一樣的
⑤相等向量
長度相等且方向相同的向量相等向量經過平移後總可以重合，記為。大小相等，方向相同 。
2．向量的運算
（1）向量加法
求兩個向量和的運算叫做向量的加法
設，則+==。
規定：（1）；
（2）向量加法滿**換律與結合律；
向量加法的「三角形法則」與「平行四邊形法則」
（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。
（2） 三角形法則的特點是「首尾相接」，由第乙個向量的起點指向最後乙個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點
當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連線時，用三角形法則。
向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加： ，但這時必須「首尾相連」。
（2）向量的減法
①相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量
記作,零向量的相反向量仍是零向量。關於相反向量有： （i）=； (iiiii)若、是互為相反向量，則=,=,+=。
②向量減法
向量加上的相反向量叫做與的差，
記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法
③作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）。
（3）實數與向量的積
①實數λ與向量的積是乙個向量，記作λ，它的長度與方向規定如下：
（ⅰ）；
（ⅱ）當時，λ的方向與的方向相同；當時，λ的方向與的方向相反；當時，，方向是任意的。
②數乘向量滿**換律、結合律與分配律
3．兩個向量共線定理：
向量與非零向量共線有且只有乙個實數，使得=。
4．平面向量的基本定理
如果是乙個平面內的兩個不共線向量，那麼對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底
5．平面向量的座標表示
（1）平面向量的座標表示：在直角座標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內的任一向量可表示成，由於與數對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量的座標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的座標，y叫做在y軸上的座標。
規定：（1）相等的向量座標相同，座標相同的向量是相等的向量；
（2）向量的座標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關係。
（2）平面向量的座標運算：
①若，則；
②若，則；
③若=(x,y)，則=(x, y)；
④若，則。
6．向量的數量積
（1）兩個非零向量的夾角
已知非零向量a與a，作＝，＝，則∠aｏa＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角；
說明：（1）當θ＝０時，與同向；
（2）當θ＝π時，與反向；
（3）當θ＝時，與垂直，記⊥；
（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，範圍0≤≤180。
（2）數量積的概念
已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數量積（或內積）。規定；
向量的投影：︱︱cos=∈r，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；
（3）數量積的幾何意義： ·等於的長度與在方向上的投影的乘積
（4）向量數量積的性質
①向量的模與平方的關係：。
②乘法公式成立；；
③平面向量數量積的運算律
交換律成立：；
對實數的結合律成立：；
分配律成立：。
④向量的夾角：cos==。
當且僅當兩個非零向量與同方向時，θ=00，當且僅當與反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題
（5）兩個向量的數量積的座標運算
已知兩個向量，則·=。
（6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥。
兩個非零向量垂直的充要條件：⊥·＝o，平面向量數量積的性質。
（7）平面內兩點間的距離公式
設，則或。
如果表示向量的有向線段的起點和終點的座標分別為、，那麼(平面內兩點間的距離公式)
6 1平面向量的概念及線性運算基礎知識
第一節平面向量的概念及線性運算 1 向量的有關概念 向量 既有大小又有方向的量 向量的大小叫做 向量的長度 或稱模 平面向量是自由向量。零向量 長度為零的向量其方向是任意的。記作 單位向量 長度等於1個單位的向量，非零向量的單位向量為。平行向量 方向相同或相反的非零向量。共線向量 方向相同或相反的非...
平面向量的概念及線性運算 學案
1.2009山東卷理 設p是 abc所在平面內的一點，則 a.b.c.d.2.2009北京卷理 向量不共線，如果，那麼 a 且同向b 且反向 c 且同向d 且反向 3.2009廣東卷理 一質點受到平面上的三個力的作用而處於平衡狀態 已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為 a.6b.2 cd ...
4 1平面向量的概念及其線性運算答
第一節平面向量的概念及其線性運算 1 設a0為單位向量，下列命題中 若a為平面內的某個向量，則a a a0 若a與a0平行，則a a a0 若a與a0平行且 a 1，則a a0，假命題的個數是 a 0b 1 c 2 d 3 解析 選d 向量是既有大小又有方向的量，a與 a a0的模相同，但方向不一定...