一．命題邏輯
例：給出┐(p∧q)(┐p∨┐q)的真值表
解：一般說來，n個命題變元組成的命題公式共有2n種真值指派。
● 定理1：任何兩個重言式的合取或析取，仍然是重言式。
證明：設a、b為兩個重言式，則a∧b和a∨b的真值分別等於t∧t和t∨t。
● 定理2：對乙個重言式的同一分量都用任何乙個命題公式置換，所得命題公式仍為乙個重言式。（即代入規則）
證明：由於重言式的真值與分量的真值指派無關，故對同一分量以任何乙個命題公式置換後，重言式的真值不變。
● 定理3：設a、b是兩個命題公式，ab當且僅當ab是乙個重言式。（前面已證）
證明：若ab，則對於a、b所包含的分量的任意指派，a、b均取相同的真值，即ab是乙個重言式；若ab是乙個重言式，即對於分量的任意指派，a、b均取相同的真值，即ab
● 定理1：設a1是命題公式a的子公式，若a1b1，則若將a中的a1用b1來替換，得到公式b ，則b與a等價，即ab.(替換規則)。
證明： 因為對變元的任一組指派， a1與b1真值相同，故以b1取代a1後，公式b與公式a相對於變元的任一指派的真值也必相同，所以ab。
● 證明下列命題公式(可以利用基本等價式)
q→(p∨(p∧q))q→p
(p∧q)∨(p∧┐q)p
(p→q)→(q∨r)p∨q∨r
p∧┐q∨qp∨q
解：1.原式q→(p∨p) ∧(p∨q) q→p∧(p∨q) q→p
2.原式 (（p∧q）∨p) ∧((p∧q) ∨┐q) (p∨p) ∧(p∨q) ∧(p∨┐q) ∧(q∨┐q) p∧(p∨q) ∧(p∨┐q) p∧pp
3.原式┐（┐p∨q）∨(q∨r) (p∧┐q) ∨(q∨r) (p∨q∨r) ∧(q∨┐q∨r) p∨q∨r（零率）
4.原式（ p∧┐q）∨q（p∨q）∧(┐q∨q) p∨q（運算次序優先順序
例: 求證: (p →q) ∨ ┐ (p →q) 為永真式。
解：原式（┐p∨q）∨（p∧┐q）(┐p∨q∨p) ∧（┐p∨q∨┐q）t
例： 求證┐q∧(p→q)┐p
證法1：前件真推導後件真
證法2：後件假推導前件假
證法3：定義
定理：設p、q為任意兩個命題公式，pq的充分必要條件是pq且qp。
證明：若pq，則pq為重言式，即p→q和q→p是重言式；若有pq且qp，則p→q和q→p是重言式，即pq為重言式
例已知a是b的充分條件, b是c的必要條件，c是d的必要條件, d是b的必要條件, 問：
(1) a是d的什麼條件?
(2) b是d的什麼條件?
解已知ab, cb, dc, bd, 故有
(1) ab, bd, 所以 ad, 即 a是d的充分條件
(2) dc, cb, 所以 db, 又因為bd, 所以 bd, 即 b是d的充要條件。
定理：如果ab，則a* b*。
證明：設p1,p2,…,pn是出現在命題公式a、b中的原子變元，因為ab，即：a(p1,p2,…,pn)b(p1,p2,…,pn)是乙個重言式。故有：
a(┐p1,┐p2,…,┐pn)b(┐p1,┐p2,…,┐pn)是乙個重言式。即a(┐p1,┐p2,…,┐pn)b(┐p1,┐p2,…,┐pn)
┐a* ┐b* ，即a* b*
例判斷下面各推理是否正確.
(1)如果天氣涼快,小王就不去游泳.天氣涼快,所以小王沒去游泳.
(2)如果我上街,我一定去新華書店.我沒上街.所以我沒去新華書店.
解: 解上述型別的推理問題,應先將命題符號化,然後寫出前提、結論和推理的形式結構,最後進行判斷.
(1)p：天氣涼快; q：小王去游泳.
前提：p→q, p.
結論： q.
推理的形式結構為
p→q)∧p)→ q
判斷(*)是否為重言式.
①真值表法
真值表的最後一列全為1,因而(*)是重言式.所以推理正確.
②等價演演算法
p→ q)∧p)→ q 1.
③主析取正規化法
p→ q)∧p)→ q
m0∨m1∨m2∨m3
由②,③同樣能判斷推理正確.
(2)p：我上街; q：我去新華書店.
前提：p→q, p. 結論： q.
推理的形式結構為
p→q)∧ p) → q
((p→q)∧ p)→ q
m0∨m2∨m3
可見(**)不是重言式,所以推理不正確.還可用其他方法判斷之.
例證明下列前提是不相容的。
1. 若a因病缺了許多課, 那麼他中學考試失敗。
2. 若a中學考試失敗, 則他沒有知識。
3. 若a讀了許多書, 則他有知識。
4. a因病缺了許多課, 而且讀了許多書。
證明符號化題目:
p: 因病缺了許多課,
q: 中學考試失敗,
r: 有知識,
s: 讀了許多書。
問題要證明前提
pq, qr, sr, p∧s是不相容的。
下面我們用另外一種形式的格式證明
（即後面講的「構造證明」的格式）：
編號公式依據
(1p∧sp
(2p1); i1
(3s1); i2
(4pqp
(5q2),(4); i8
(6srp
(7r3),(6); i8
(8qrp
(9r5),(8); i9
(10r∧r7),(9)
例張三說李四在說謊, 李四說王五在說謊, 王五說張
三、李四都在說謊。問誰說真話, 誰說假話？
解設a:張三說真話; b:李四說真話; c:王五說真話
依題意有 ab, bc, ca∧b。
(a b)∧(b c)∧(c a∧b)
(ab)∧(ba)∧(bc)∧(c b) ∧(c(a∧b))∧((a∧b)c)
(a∧b∧c)∧((a∨b)∧c)) ∧((a∧b∧c)∨(a∧c)∨(b∧c))
a∧b∧c
即: 李四說真話, 張三和王五說假話。
● 例1.9.3：求證： s是前提w，w→┐q,┐q→r和r→s的有效結論。
● 證明：
(5) r t,(3)(4)i8
(7) s t,(5)(6)i8
（這部分的t，i8等是另外一本書的內容，所以不用管，只要會推就行）
例前提: 如果馬會飛或羊吃草, 則母雞就會是飛鳥; 如果母雞是飛鳥, 那麼烤熟的鴨子還會跑; 烤熟的鴨子不會跑。結論: 羊不吃草。
解符號化上述語句, p: 馬會飛, q: 羊吃草, r: 母雞是飛鳥, s: 烤熟的鴨子還會跑, s: 烤熟的鴨子不會跑, q: 羊不吃草。
前提集合, 結論c : q。
(1) sp
(2) rsp
(3) r1), (2), i9
(4) p∨qr p
(5p∨q3), (4), i9
(6) p∧q (5), e5
(7) q6), i 2
例如果我的考試通過, 那麼我很快樂。如果我快樂, 那麼陽光很好。現在是凌晨一點, 天很暖和。試給出結論。
解設p: 我的考試通過, q: 我很快樂, r: 陽光很好, s: 天很暖和。把「凌晨一點」理解為陽光不好。
前提為: pq, qr, r∧s。
編號公式依據
(1pq p
(2qr p
(3pr (1), (2)；i11
(4r∧s p
(5r (4)；i1
(6p (3), (5)；i9
結論: p, 我的考試沒通過。
例前提: p∨q, pr, rs; 結論: sq。
證明 (1) s cp
(2) rs p
(3) sr (2), e
(4r (1), (3), i
(5) pr p
(6) rp (5), e
(7) p (4), (6), i
(8) p∨q p
(9) pq (8), e
(10) q (7), (9), i
(11) sq (1), (10), cp
（cp規則這部分因為好像多了乙個條件，所以用起來可能會比較簡單）
例1.9.5：證明r→s可從前提p→(q→s)，┐r∨p和q推出。
證明：(cp規則，因為結論r→s為條件式)
(5) q→s t, (3,4)i8
(7) s t,(5)(6)i8
(8) r→s cp,(2)(7)
例1.9.4：證明從前提p→q，┐(q∨r)可演繹出┐p.
證明：(反證法)
(7) q∧┐q t,(3)(6)
例 「如果春暖花開, 燕子就會飛回北方。如果燕子飛回北方, 則冰雪融化。所以, 如果冰雪沒有融化, 則沒有春暖花開。
」證明這些語句構成乙個正確的推理。證: 令 p:
春暖花開。q: 燕子飛回北方。
r:冰雪融化。則上述問題轉化成證明:
pq, qr rp
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