例1如圖，ab是⊙o的弦（非直徑），c、d是ab上兩點，並且oc=od，求證：ac=bd．
例2已知：如圖，在△abc中，ab=ac，以ab為直徑的⊙o與bc交於點d，與ac交於點e，求證：△dec為等腰三角形．
例3如圖，ab是⊙o的直徑，弦ac與ab成30°角，cd與⊙o切於c，交ab的延長線於d，求證：ac=cd．
例4如圖20-12，bc為⊙o的直徑，ad⊥bc，垂足為d，，bf和ad交於e，
求證：ae=be．
例5如圖，ab是⊙o的直徑，以oa為直徑的⊙o1與⊙o2的弦相交於d，de⊥oc，垂足為e．
（1）求證：ad=dc．（2）求證：de是⊙o1的切線．
例6如圖，已知直線mn與以ab為直徑的半圓相切於點c，∠a=28°．
（1）求∠acm的度數．（2）在mn上是否存在一點d，使ab·cd=ac·bc，說明理由．
例7如圖，在rt△abc中，∠c=90°，ac=5，bc=12，⊙o的半徑為3．
（1）若圓心o與c重合時，⊙o與ab有怎樣的位置關係？
（2）若點o沿ca移動，當oc等於多少時，⊙o與ab相切？
19.如圖，rt△abc內接於⊙o，ac=bc，∠bac的平分線ad與⊙0交於點d，與bc交於點e，延長bd，與ac的延長線交於點f，鏈結cd，g是cd的中點，鏈結0g．(1)判斷0g與cd的位置關係，寫出你的結論並證明；(2)求證：ae=bf；（3）若，求⊙o的面積。
一、選擇題
1．已知ab、cd是⊙o的兩條直徑，則四邊形adbc一定是（ ）
a．等腰梯形 b．正方形 c．菱形 d．矩形
2．如圖1，de是⊙o的直徑，弦ab⊥ed於c，鏈結ae、be、ao、bo，則圖中全等三角形有（ ）
a．3對 b．2對 c．1對 d．0對
圖1圖2圖3圖4
3．垂徑定理及推論中的四條性質：①經過圓心；②垂直於弦；③平分弦；④平分弦所對的弧．由上述四條性質組成的命題中，假命題是（ ）
ab．①③②④
cd．②③①④
4．rt△abc中，∠c=90°，ac=3cm，bc=4cm，給出下列三個結論：①以點c為圓心，2.3cm長為半徑的圓與ab相離；②以點c為圓心，2.
4cm長為半徑的圓與ab相切；③以點c為圓心，2.5cm長為半徑的圓與ab相交，則上述結論正確的有（ ）
a．0個 b．1個 c．2個 d．3個
5．在⊙o中，c是的中點，d是上的任意一點（與a、c不重合），則（ ）
a．ac+cb=ad+db b．ac+cb c．ac+cb>ad+db d．ac+cb與ad+db的大小關係不確定
6．如圖2，梯形abcd內接於⊙o，ad∥bc，ef切⊙o於點c，則圖中與∠acb相等的角（不包括∠acb）共有（ ）．
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
7．如圖3，在△abc中，ad是高，ae是直徑，ae交bc於g，有下列四個結論：①ad2=bd·cd；②be2=eg·ae；③ae·ad=ab·ac；④ag·eg=bg·cg．其中正確結論的有（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
8．如圖4，ab是⊙o的直徑，cd為弦，ae⊥cd於e，bf⊥cd於f，交⊙o於g．下面的結論：①ec=df；②ae+bf=ab；③ae=gf；④fg·fb=ec·ed．其中正確的有（ ）
a．①②③ b．①③④ c．②③④ d．①②④
9．如圖5，圓內接△abc的外角∠ach的平分線與圓交於d點，dp⊥ac，垂足是p，dh⊥bh，垂足是h，下列結論：①ch=cp；②；③ap=bh；④dh為圓的切線，其中一定成立的是（ ）
a．①②④ b．①③④ c．②③④ d．①②③
圖5圖6圖7圖8
10．如圖6，在⊙o中，ab=2cd，那麼（ ）
ab．;
cd．ad與2cd的大小關係可能不確定
二、填空題
11．在⊙o中，若ab⊥mn於c，ab為直徑，mn為弦，試寫出乙個你認為正確的結論
12．已知⊙o1和⊙o2的半徑分別為10cm，6cm，oo的長為3cm，則⊙o1與⊙o2的位置關係是 ．
13．如圖7，c是⊙o的直徑ab延長線上一點，過點c作⊙o的切線cd，d為切點，鏈結ad、od、bd，請你根據圖中所給的條件（不再標字母或添輔助線），寫出乙個你認為正確的結論 ．
14．已知⊙o的直徑為10，p為直線l上一點，op=5，那麼直線l與⊙o的位置關係是_______．
15．在△abc中，∠c=90°，ac=3，bc=4，點o是△abc的外心，現以o為圓心，分別以2，2．5，3為半徑作⊙o，則點c與⊙o的位置關係分別是________．
16．以等腰△abc的一腰ab為直徑作圓，交底邊bc於d，則∠bad與∠cad的大小關係是∠bad________∠cad．
17．在△abc中，ab=5，ac=4，bc=3，以c為圓心，以2為半徑的圓與直線ab的位置關係是 ．
18．如圖8所示，a、b、c是⊙o上的三點，當bc平分∠abo時得結論
19.如圖，已知△abc內接於⊙o，直線de與⊙o相切於點a，db∥ca.求證：ab·da=bc·bd.
20.閱讀下面材料：
對於平面圖形a，如果存在乙個圓，使圖形a上的任意一點到圓心的距離都不大於這個圓的半徑，則稱圖形a被這個圓所覆蓋.
對於平面圖形a，如果存在兩個或兩個以上的圓，使圖形a上的任意一點到其中某個圓的圓心的距離都不大於這個圓的半徑，則稱圖形a被這些圓所覆蓋.
例如，圖(1)中的三角形被乙個圓所覆蓋，圖(2)中的四邊形被兩個圓所覆蓋.
回答下列問題：
(1)邊長為1cm的正方形被乙個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是______cm；
(2)邊長為1cm的等邊三角形被乙個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是_____cm；
(3)長為2cm，寬為1cm的矩形被兩個半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是______cm，這兩個圓的圓心距是_____cm.
21.如圖，⊙o與⊙o′相交於a、b兩點，點o在⊙o′上，⊙o′的弦oc交ab於點d.
(1)求證：oa2=oc·od；
(2)如果ac+bc=oc，⊙o的半徑為r.求證：ab=r
答案：一、選擇題
1．d 2．a 3．b 4．d 5．c 6．d 7．b 8．b 9．d 10．a
二、填空題
11．bm=bn等 12．內含 13．∠ado=∠bdc等 14．相交或相切
15．在圓外、在圓上、在圓內 16．= 17．相交 18．oc∥ab等
三、解答題
19．證明：過點o作oe∥ab於e，則ae=be．在△ocd中，oe⊥cd，oc=od，
∴ce=de．∴ac=bd．
20．證明：∵四邊形abde是圓內接四邊形，∴∠dec=∠b．
又∵ab=ac，∴∠b=∠c，∴∠dec=∠c，∴de=cd．
∴△dec為等腰三角形．
21．證明：鏈結bc，由ab是直徑可知，
∠abc=60°．
cd是切線∠bcd=∠a=30°∠d=30°=∠aac=cd．
22．證明：鏈結ab，ac，
∠bad=∠abfae=be．
23．證明：（1）鏈結od，ao是直徑ad=dc．
（2）鏈結o1d，
de是切線．
24．解：（1）鏈結bc，
∠b=62°．
mn是切線∠acm=∠b=62°．
（2）過點b作bd⊥mn，則
△acb∽△**b
ab·cd1=ac·bc．
過點a作ad2⊥mn，則
△abc∽△acd2
cd2·ab=ac·cb
25．解：（1）過點c作ch⊥ab於h，由三角形的面積公式得ab·ch=ac·bc，
∴ch==，即圓心到直線的距離d=．
∵d=>3，∴⊙o與ab相離．
（2）過點o作oe⊥ab於e，則oe=3．
∵∠aeo=∠c=90°，∠a=∠a，∴△aoe∽△abc，
∵oa==
∴oc=ac-oa=5-=．
∴當oc=時，⊙o與ab相切．毛
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