第三節與圓相關的比例線段及圓內接四邊形
一．考綱要求
掌握相交弦定理、割線定理、切割線定理；理解圓內接四邊形的性質定理與判定定理
2．知識梳理
1.圓內接四邊形的性質與判定定理
定理1：圓的內接四邊形的對角
定理2：圓內接四邊形的外角等於它的內角的
圓內接四邊形判定定理：如果乙個四邊形的對角互補，那麼這個四邊形的四個頂點 。
推論：如果四邊形的乙個外角等於它的內角的對角，那麼這個四邊形的四個頂點
2.與圓有關的比例線段
相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。
割線定理：從園外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長積相等。
切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
三．診斷練習
1、如圖1，ab是⊙o的直徑，p是ab延長線上一點，pc切⊙o於點c，pc=3，pb=1，則⊙o的半徑為
2、如圖2，pab是⊙o的割線，ab=4，ap=5，⊙o的半徑為6，則po
3、如圖3，點p是⊙o的直徑ba延長線上一點，pc與⊙o相切於點c，cd⊥ab，垂足為d，鏈結ac、bc、oc，那麼下列結論中正確結論的個數有個
①pc2=pa·pb；②pc·oc=op·cd；③oa2=od·op；④oa（cp－cd）=ap·cd．
4、如圖4，已知⊙o的切線pc與直徑ba的延長線相交於點p，c是切點，過a的切線交pc於d，如果cd∶pd=1∶2，da=2，那麼⊙o的半徑oc
四．範例導析
例1如圖5，ab是⊙o的直徑，c是⊙o外一點，且ac＝ab，bc交⊙o於點d．已知bc＝4，ad＝6，ac交⊙o於點e，求四邊形abde的周長．
例2 如圖6，已知ad是△abc的外角∠eac的平分線，交bc的延長線於點d，延長da交△abc的外接圓於點f，連線fb，fc．
（1）求證：fb＝fc；
（2）若ab是△abc的外接圓的直徑，∠eac ＝120°，
bc＝6，求ad的長．
例3如圖7，⊙1和⊙o2都經過a、b兩點，經過點a的直線cd與⊙o1交於點c，與⊙o2交於點d經過點b的直線ef與⊙o1交於點e，與⊙o2交於點f．
求證：ce∥df．
五．鞏固練習
1.（2011·北京卷理5改編）如圖，、、分別與圓o切於點、、，延長與圓o交於另一點．給出下列三個結論：
①；②；
③∽．其中，所有正確結論的序號是
簡析 ①正確． ，即．
．②正確．，由切割線定理可知，
．③錯誤．如圖，連線，若∽，則有．
由右圖可知與矛盾．
綜上，應填入的序號是①②．
2.（2011·天津卷理）如圖，已知圓中兩條弦與相交於點，是延長線上一點，且，，若與圓相切，則線段的長為
【解析】設af=4x,bf==2x,be=x,則由相交弦定理得:,
即,即,由切割線定理得: ,所以.
3.如圖，已知是⊙o外一點，為⊙o的切線，為切點，割線經過圓心o，若，，則的度數為________．
簡析由切割線定理得：
，．如圖，連線，則，．
在中，，，．
又，，．
4.（2011·新課標全國卷）如圖，，分別為的邊，上的點，且不與的頂點重合．已知的長為，的長為，，的長是關於的方程的兩個根．
（1）證明：，，，四點共圓；
（2）若，且，，求，，，所在圓的半徑．
簡析（1）如圖，連線，根據題意，在和中，
，即．又，從而．
因此．所以，，，四點共圓．
（2），時，方程的兩根為，．
故，．如圖，取的中點，的中點，分別過，作，的垂線，兩垂線相交於點，連線．
因為，，，四點共圓，所以，，，四點所在圓的圓心為，半徑為．由於，故，．
，．故，，，四點所在圓的半徑為．
5.（2011·遼寧卷）如圖，，，，四點在同一圓上，的延長線與的延長線交於點，且．
（1）證明：；
（2）延長到，延長到，使得，證明：，，，四點共圓．
簡析（1）因為，所以．
因為，，，四點在同一圓上，所以．
故．所以．
（2）由（1）知，．因為，
故，從而．
連線，，則，故．
又，，所以．
所以．故，，，四點共圓．
6. 如圖所示，已知是以為直徑的半圓上一點，於點，直線與過點的切線相交於點，為的中點，連線並延長交於點，直線交直線於點．
（1）求證：點是的中點；
（2）求證：是⊙的切線；
（3）若，求⊙的半徑．
簡析（1）∵，，∴，
∴．∵，
∴，即點是的中點．
（2）如圖，連線，，
∵是直徑，∴．
在中，是的中點，，
∴．∵，，
∴，∵，∴，即，
∴是⊙的切線．
（3）由得．可證明且．
由切割線定理得．①
在中，由勾股定理得．②
由①、②可得．解之，得或（捨去）．
∴，∴⊙的半徑為．
第三講利用相似進行幾何的計算與證明
例1 1 兩個相似三角形的面積比為，與它們對應高之比之間的關係為 2 如圖1，已知de bc，cd和be相交於o，若，則ad db 3 如圖2，已知ab cd,bo oc 1 4,點e f分別是oc，od的中點，則ef ab的值為 4 如圖3，已知de fg bc,且ad fd fb 1 2 3,則...
第三講推理與證明學生
1 歸納推理的一般步驟 通過觀察某些個別情況發現某些相同性質 從已知的相同性質中推出乙個明確表述的一般性命題 猜想 2 模擬推理的一般步驟 找出兩類事物之間的相似性或一致性 用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出乙個明確的命題 猜想 3 綜合法的特點是 從 已知 看 可知 逐步推向 未知 要求...
第三講動態幾何 含答案
中考數學重難點專題講座 第三講動態幾何問題 前言 從歷年中考來看，動態問題經常作為壓軸題目出現，得分率也是最低的。動態問題一般分兩類，一類是代數綜合方面，在座標系中有動點，動直線，一般是利用多種函式交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設立動點 線以及整體平移翻轉，對考生的綜合分析能...