①倍長中線
【例. 3】如圖，已知在△中，，，平分，交於點.
求證：證明：延長dc到e，使得ce=cd,聯結aeade=60° ad=ae
∵∠c=90ade為等邊三角形
∴ac⊥cdad=de
∵cd=cedb=da
∴ad=aebd=de
∵∠b=30°∠c=90bd=2dc
∴∠bac=60°
∵ad平分∠bac
∴∠bad=30°
∴db=da ∠ade=60°
【例4.】 如圖，是的邊上的點，且，，是的中線。求證：。
證明：延長ae到點f,使得ef=ae 聯結df
在△abe和△fde中adc=∠abd+∠bda
be =deabe=∠fde
∠aeb=∠fedadc=∠adb+∠fde
ae=fe即 ∠adc = ∠adf
∴△abe ≌ △fde（sas在△adf和△adc中
∴ab=fd ∠abe=∠fdead=ad
∵ab=dcadf = ∠adc
∴ fd = dcdf =dc
∵∠adc=∠abd+∠badadf≌ adc(sas)
af=ac
ac=2ae
【變式練習】、 如圖，△abc中，bd=dc=ac，e是dc的中點，求證：ad平分∠bae.
證明：延長ae到點f,使得ef=ae 聯結df
在△ace和△fde中adb=∠acd+∠cda
ce =deace=∠fde
∠aec=∠fedadb=∠adc+∠fde
ae=fe即 ∠adb = ∠adf
∴△ace ≌ △fde（sas在△adf和△adb中
∴ac=fd ∠ace=∠fdead=ad
∵db=acadf = ∠adb
∴db = dfd f =db
∵∠adb=∠acd+∠cadadf≌ adb(sas)
∵ ac=dcfad=∠bad
∴ ∠cad=∠cdaad平分∠dae
【小結】熟悉法
一、法三「倍長中線」的輔助線包含的基本圖形「八字型」和「倍長中線」兩種基本操作方法，倍長中線，或者倍長過中點的一條線段以後的對於解決含有過中點線段有很好的效果。
【變式練習】：如圖所示，ad是△abc的中線，be交ac於e，交ad於f，且ac=bf。 求證：ae=ef。
證明：延長ad至點g，使得dg=ad，聯結bd
在△adc和△gdb中bg= bf
ad=gdbfg=∠bgf
∠adc=∠gdbcad =∠bgd
bd=dcbfg= ∠cad
∴△adc ≌△gdb（sasbfg=∠afe
得 ac= bg ∠cad =∠bgdafe=∠fae
∵ac=bfae =af
②、借助角平分線造全等
【例5】如圖，已知在△abc中，∠b=60°，△abc的角平分線ad,ce相交於點o，求證：oe=od
證明：在ac上擷取af=ae ,聯結of在△aoe和△aof中
在△abc中，∠b+∠bad+∠acb=180ae=af
∵∠b =60eao=∠fao
∴∠bad+∠acb=120ao = ao
∵ad平分∠bacaoe ≌△aof（asa在△cod和 △cof中
∴∠bac= 2∠oacaoe=∠aoe oe=ofdco =∠fco
∵ce平分∠acbaoe=60co=co
∴∠acb= 2∠acoaoe+∠aoe+∠foc=180doc=∠foc
∴2∠oac+2∠aco=120foc=6ocod ≌△cof（asa）
∴∠oac+∠aco=60aoe=∠codod =of
∵∠aoe=∠oac+∠acocod=60oe=of
∴∠aoe=60oe=od
【例6】．如圖，△abc中，∠bac=90度，ab=ac，bd是∠abc的平分線，bd的延長線垂直於過c點的直線於e，直線ce交ba的延長線於f．求證：bd=2ce．
證明：延長ba，ce交於點f，在δbef和δbec中，
∵∠1=∠2，be=be，∠bef=∠bec=90°，
∴δbef≌δbec，∴ef=ec，從而cf=2ce。
又∠1+∠f=∠3+∠f=90°，故∠1=∠3。
在δabd和δacf中，∵∠1=∠3，ab=ac，∠bad=∠caf=90°，
∴δabd≌δacf，∴bd=cf，∴bd=2ce。
【小結】解題後的思考：
1 於角平行線的問題，常用兩種輔助線；
②見中點即聯想到中位線。
③ 旋轉
【例7】正方形abcd中，e為bc上的一點，f為cd上的一點，be+df=ef，求∠eaf的度數.
gae=∠fae
延長eb到點g，使得bg =bedaf+∠baf=90°
先證明△adf ≌ △abegab =∠fad
可得到 af =ag ∠ daf = ∠gabgaf = 90°
∵ef =be +dfeaf = 45°
∴ ef = be+bg =ge
∴△gae ≌ △fae
【例8】. 將一張正方形紙片按如圖的方式摺疊，為摺痕，則的大小為___90°；
【例9】．如圖，已知∠abc=∠dbe=90°，db=be，ab=bc．(1)求證：ad=ce，ad⊥ce (2)若△dbe繞點b旋轉到△abc外部，其他條件不變，則(1)中結論是否仍成立?請證明
提示：∠abc=∠dbe =90ecb+∠ahb=90°
∴∠abc-∠dbc=∠dbe -∠dbcecb+∠chf=90°
即∠abd=∠cbehfc=90°
∴△abd ≌△ cbead⊥ ceh
ad=ce
∠bad=∠ecb
∵∠bad+∠ahb=90°
【例10】.如圖在rt△abc中,ab=ac,∠bac=90°,o為bc中點. (1)寫出o點到△abc三個頂點a、b、c的距離關係(不要求證明) (2)如果m、n分別**段ab、ac上移動,在移動過程中保持an=bm,請判斷△o m n的形狀,並證明你的結論.
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