強化練習：
1. 如圖，ad∥fe，點b、c在ad上，∠1＝∠2，bf＝bc
⑴求證：四邊形bcef是菱形
2 若ab＝bc＝cd，求證：△acf≌△bde
2. 如圖，在△abc中，d是bc邊上的一點，e是ad的中點，過a點作bc的平行線交ce的延長線於點f，且af=bd，鏈結bf。
（1） 求證：bd=cd；
（2） 如果ab=ac，試判斷四邊形afbd的形狀，並證明你的結論。
3. 如圖，已知長方形abcd，過點c引∠a的平分線am的垂線，垂足為m，am交bc於e，連線mb，md。
（1）求證：be=dc；
（2）求證：∠mbe=∠mdc。
中考實戰
1. 已知：在△abc中，ab=ac=a，m為底邊bc上的任意一點，
過點m分別作ab、ac的平行線交ac於p，交ab於q。
2） 求四邊形aqmp的周長。
3） 寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）。
4） m位於bc的什麼位置時，四邊形aqmp為菱形？
說明你的理由。
2. 已知：如圖，在△，若將△繞點
順時針旋轉得到△．
（1）試猜想有何關係？說明理由；
（2）若△的面積為3cm，求四邊形的面積；
（3）當為多少度時，四邊形為矩形？說明理由
3. 已知：如圖，在□abcd 中，e、f分別為邊ab、cd的中點，bd是對角線，ag∥db交cb的延長線於g．
（1）求證：△ade≌△cbf；
（2）若四邊形 bedf是菱形，則四邊形agbd是什麼特殊四邊形？並證明你的結論．
4. 將平行四邊形紙片abcd按如圖方式摺疊，使點c與a重合，點d落到d′ 處，摺痕為ef．
（1）求證：△abe≌△ad′f；
（2）連線cf，判斷四邊形aecf是什麼特殊四邊形？證明你的結論．
5.如圖，在正方形中，是上一點，延長到，使，連線並延長交於．
（1）求證：；
（2）將繞點順時針旋轉得到，
判斷四邊形是什麼特殊四邊形？並說明理由．
6.如圖，在中，ae是bc邊上的高，將沿方向平移，
使點e與點c重合，得．
（1）求證：；
（2）若，當ab與bc滿足什麼數量關係時，
四邊形是菱形？證明你的結論．
7.如圖，在正方形abcd中，點e、f分別在bc和cd上，ae = af．
（1）求證：be = df；
（2）連線ac交ef於點o，延長oc至點m，使om = oa，
連線em、fm．判斷四邊形aemf是什麼特殊四邊形？
並證明你的結論．
8. 在□abcd中，e、f分別是ab、cd的中點，連線af、ce．
(1)求證：△bec≌△dfa；
(2)連線ac，當ca＝cb時，判斷四邊形aecf是什麼特殊四邊形？
並證明你的結論
拓展延伸：
1. 如圖（1），在△ab c中，∠acb＝，ac＝cb，將△ab c旋轉到△edc時， ab與ce交於f，ed與ab、bc分別交於m、h．
（1）此時cf＝ch嗎？說明理由；
（2）如圖(2)，△abc不動，將△edc繞點c旋轉到∠bce=時，試判斷四邊形acdm是什麼四邊形？並說明你的理由．
2. 已知：如圖，在菱形abcd中，f為邊bc的中點，df與對角線ac交於點m，過m作me⊥cd於點e，∠1=∠2．
（1）若ce=1，求bc的長；
（2）求證：am=df+me．
3.如圖4－3－33(1)，一張矩形紙片abcd，其中ad＝8 cm，ab＝6 cm，先沿對角線bd對折，點c落在點c′的位置，bc′交ad於點g.
(1)求證：ag＝c′g；
(2)如圖4－3－33(2)，再摺疊一次，使點d與點a重合，得摺痕en，en交ad於點m，求em的長．
（12)
4.如圖①，在正方形abcd中，點e，f分別為dc，bc邊上的點，且滿足∠eaf=45°，連線ef，求證de+bf=ef．
感悟解題方法，並完成下列填空：（將答案直接填在橫線上）
將△ade繞點a順時針旋轉90°得到△abg，此時ab與ad重合，由旋轉可得：
ab=ad，bg=de，∠1=∠2，∠abg=∠d=90°，
∴∠abg+∠abf=90°+90°=180°，
因此，點g，b，f在同一條直線上．
∵∠eaf=45° ∴∠2+∠3=∠bad－∠eaf=90°－45°=45°．
∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．
即∠gaf
又ag=ae，af=af
∴△gaf≌_______．
ef，故de+bf=ef．
⑵方法遷移：
如圖②，將沿斜邊翻摺得到△adc，點e，f分別為dc，bc邊上的點，且∠eaf=∠dab．試猜想de，bf，ef之間有何數量關係，並證明你的猜想．
⑶問題拓展：
如圖③，在四邊形abcd中，ab=ad，e，f分別為dc，bc上的點，滿足，試猜想當∠b與∠d滿足什麼關係時，可使得de+bf=ef．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．
5. 四邊形abcd是正方形，點e是邊bc的中點，∠aef=90°，且ef交正方形外角平分線cf於點f．請你認真閱讀下面關於這個圖的**片段，完成所提出的問題．
（1）**1：小強看到圖（*）後，很快發現ae=ef，這需要證明ae和ef所在的兩個三角形全等，但△abe和△ecf顯然不全等（乙個是直角三角形，乙個是鈍角三角形），考慮到點e是邊bc的中點，因此可以選取ab的中點m，連線em後嘗試著去證△aem≌efc就行了，隨即小強寫出了如下的證明過程：
證明：如圖1，取ab的中點m，連線em．
∵∠aef=90°
∴∠fec+∠aeb=90°
又∵∠eam+∠aeb=90°
∴∠eam=∠fec
∵點e，m分別為正方形的邊bc和ab的中點
∴am=ec
又可知△bme是等腰直角三角形
∴∠ame=135°
又∵cf是正方形外角的平分線
∴∠ecf=135°
∴△aem≌△efc（asa）
∴ae=ef
（2）**2：小強繼續探索，如圖2，若把條件「點e是邊bc的中點」改為「點e是邊bc上的任意一點」，其餘條件不變，發現ae=ef仍然成立，請你證明這一結論．
（3）**3：小強進一步還想試試，如圖3，若把條件「點e是邊bc的中點」改為「點e是邊bc延長線上的一點」，其餘條件仍不變，那麼結論ae=ef是否成立呢？若成立請你完成證明過程給小強看，若不成立請你說明理由．
6. 已知：正方形中，，繞點順時針旋轉，它的兩邊分別交（或它們的延長線）於點．
(1).當繞點旋轉到時（如圖1），求證：．
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（2）當繞點旋轉到時（如圖2），線段和之間有怎樣的數量關係？寫出猜想，並加以證明．
（3）當繞點旋轉到如圖3的位置時，線段和之間又有怎樣的數量關係？請直接寫出你的猜想．
7. 如圖，點e是矩形abcd的對角線bd上的一點，且be=bc，ab=3，bc=4，點p為直線ec上的一點，且pq⊥bc於點q，pr⊥bd於點r．
（1）如圖1，當點p為線段ec中點時，易證：pr+pq=（不需證明）．
（2）如圖2，當點p為線段ec上的任意一點（不與點e、點c重合）時，其它條件不變，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
（3）如圖3，當點p為線段ec延長線上的任意一點時，其它條件不變，則pr與pq之間又具有怎樣的數量關係？請直接寫出你的猜想．
8. 已知：在△abc中，∠bac=90°,ab=ac，點d為直線bc上一動點（點d不與b、c重合）.以ad為邊作正方形adef，連線cf.
(1)如圖1，當點d**段bc上時，求證： bd⊥cf. cf=bc-cd.
(2)如圖2，當點d**段bc的延長線上時，其它條件不變，請直接寫出cf、bc、cd三條線段之間的關係；
(3)如圖3，當點d**段bc的反向延長線上時，且點a、f分別在直線bc的兩側，其它條件不變：①請直接寫出cf、bc、cd三條線段之間的關係.②若連線正方形對角線ae、df,交點為o,連線oc,**△aoc的形狀，並說明理由.
9．已知為等邊三角形，點為直線上的一動點（點不與重合），以為邊
作菱形 (按逆時針排列），使,連線cf.
(1) 如圖13-1，當點d在邊bc上時，求證：
（2）如圖13-2，當點d在邊bc的延長線上且其他條件不變時，結論是否成立？
若不成立，請寫出ac、cf、cd之間存在的數量關係，並說明理由；
（3）如圖13-3，當點d在邊bc的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，並直接寫出ac、cf、
cd之間存在的數量關係。
幾何證明專題
倍長中線 例.3 如圖，已知在 中，平分，交於點.求證 證明 延長dc到e，使得ce cd,聯結aeade 60 ad ae c 90ade為等邊三角形 ac cdad de cd cedb da ad aebd de b 30 c 90bd 2dc bac 60 ad平分 bac bad 30 d...
幾何證明專題
一 要點歸納 1 平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直 線上截得的線段也相等 推論l 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必過第三邊 推論2 經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線必過另一腰 三角形中位線定理 三角形的j中位線平行於第三邊，並且等於第三邊的一半...
幾何證明專題訓練
8.2004.南京 如圖,e f是 abcd的對角線ac上兩點,ae cf.求證 1 abe cdf.2 be df.9.2003.北京海淀 如圖,在 abcd中,點e f在對角線ac上,且ae cf,請你以f為乙個端點,和圖中已標有字母的某一點連成一條新線段,猜想並證明它和圖中已有的某一線段相等....