巧用旋轉解題
溫州市實驗中學周利明
傳統幾何中，有許多旋轉的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋轉的方法是幾何學習中必備的技巧，本文將介紹旋轉方法的幾種典型用法，與廣大讀者共同學習、交流。
1．利用旋轉求角度的大小
例1：在等腰直角△abc中, ∠acb=90°,ac=bc, p是△abc內一點,滿足pa=、pb=2、pc=1求∠bpc的度數.
分析：本題借助常規方法的入手是比較困難的，雖然三條線段的
長度是已知的，但是這三條線段不是三角形的三條邊長，因此
要得到角度的大小是不太容易的，因此我們可以借助
旋轉來分析問題，因為ac=bc，這就給我們利用旋轉
創造了條件，因此可以考慮將繞點c逆時針旋轉，
得,連線，通過三角形的邊與角的關係分別求得和，就可得到的大小。
解：由已知ac=bc，將繞點c逆時針旋轉，得,連線；
由旋轉可知：，，；
∴，∴是等腰直角三角形 ， ∴且，
在中，∵，
∴是直角三角形，且，
∴．例2：如圖所示,正方形abcd的邊長為1，p、q分別為邊ab、ad上的點,的周長為2，求的大小．
分析：本題在已知三角形的周長和正方形的邊長的條件下求角度的大小是比較困難的，因為正方形的邊長bc=dc,所以可以考慮將繞點c順時針旋轉90°，易證e、d、q三點共線，通過證明和全等即可求得的大小．
解：∵ bc=dc，
∴ 將繞點c順時針旋轉90°得；
∴，，，
； ∴，
且，∴ e、d、q三點共線，
∵的周長為2，即，
又 ∵，
∴， 在和中：，∴ ；
∴．練習１：p為正方形內一點,且pa=1,bp=2,pc=3,求∠apb的大小．
2．利用旋轉求線段的長度
例3：如圖，p是等邊△abc內一點，pa=2，，pc=4，求bc的長。
分析：本題bc雖然和cp、bp同處乙個三角形，但是要求其長還缺角度，因此直接從已知條件入手是比較困難的，但是我們只要適當運用旋轉的
方法，就可以是問題簡單化；因為本題的△abc是等邊三
角形，所以其三邊是相等的，因此聯想到將△abc內部的
某個三角形進行旋轉也是比較容易的；
解：∵ △abc是等邊三角形，
∴ 將△bpa繞點b逆時針旋轉60°，則ba與bc重合，
∴且 bp=be，pa=ec，連線ep；
∵，∴是等邊三角形，
∴∵ 在中：；
∴，∵， ∴，
∴，∴．
例4：如圖，在梯形abcd中，ad//bc（bc>ad），∠d=90°，bc=cd=12，∠abe=45°，若ae=10。求ce的長度。
分析：仔細分析就會發現本題所給的條件不易
直接求得ce的長度，還需要做一些變化，經觀察
容易發現把把△bce繞點b順時針旋轉90°，
可構成乙個正方形，然後通過三角形全等，就找出
邊之間的關係。
解：把△bce繞點b順時針旋轉90°得，連線，易證a、g、f三點一線，且易知四邊形bcdg為正方形．
由旋轉可得：，，
∵， ∴
∴ 在和中：，
∴ 在， ∴，
設，則，，
；在，，即；
∴， 解之得：
∴ ce的長為4或6．
練習2：如圖四邊形abcd中，ab=ad，∠a=∠c=90°，其面積為16，求a到bc的距離．
3．利用旋轉探求線段之間的關係
例5：如圖，在凸四邊形abcd中，∠abc=30°，∠adc=60°，ad=dc，求證：．
分析：由本題的結論不難想到在直角三角形中應用
勾股定理可以證得含有平方關係的線段之間的關係，因此
我們就需要將結論中的這三條線段放到同乙個直角三角形中，
由於ad=dc，所以可以考慮將繞點d順時針方向旋轉60°，
使ad和dc重合，這樣就可以得到，然後通過證明
是等邊三角形就可以得到結論中線段之間的關係．
解：將繞點d順時針方向旋轉60°，使ad和dc重合，得並連線，
由旋轉可得：，，；
∴，∴是等邊三角形，∴，∵
∴，∴中：，
∴．例6：如圖，在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，d、e在bc上，∠dae=45°，求證： ．
分析：由本題的結論我們可以聯想到直角三角形中勾股定理的結論，因此我們就需要將結論中的三條線段放在同乙個直角三角形中，再由ab=ac,
我們不難想到將繞點a延順時針方向旋轉90°，
這樣我們就將、放到了同乙個三角形中，
同時我們也不難證明，然後我們只要設法證明，則結論可得．
解：∵ ab=ac，將繞點a延順時針方向旋轉90°得，連線，
由旋轉可得：，，，；
在和中：，∴ ；
∴， ∵
∴是，∴．練習3：如圖①、②、③，△abc是正三角形，△bdc是頂角∠bdc＝120的等腰三角形，以d為頂點作乙個60角，角的兩邊分別交ab、ac邊於m、n兩點，連線mn．
**：線段bm、mn、nc之間的關係，並加以證明．
4．利用旋轉求面積的大小
例7： 如圖正方形abcd中，，點e、f分別在bc、cd上，且∠bae=30°，∠daf=15°，求△aef的面積．
分析：本題由已知條件直接去求結論是比較困難的，
由於該題中含15°，30°等特殊角度，因此通過旋轉△adf，
可構作出45°角，構造三角形全等，通過等積變形來解決
問題是比較容易的。
解：將△adf繞a點延順時針方向旋轉90°得△abg，
由旋轉性質可知：，，，
∵， ∴ 點g、b、e三點共線，
又∵，∴，
在和中：，∴ ；
∴，又∵，
中：，∠bae=30°， ∴，
在rt△efc中，，
∴， ∴，
∴，∴，
∴例8：如圖a、b、c、d是圓周上的四個點，．且弦ab=8，弦cd=6，則圖中兩個弓形（陰影）的面積和是多少？
分析：從已知條件直接求兩個弓形面積難度較大，抓住已知條件，容易發現正好是整個圓弧的一半，因此通過將弓形cmd繞圓心旋轉使點d與點b重合，就可以得到直角三角形，然後求陰影部分的面積就會很容易．
解：由於，知的長正好是整個圓弧的一半，將弓形cmd繞圓心旋轉，使點d與點b重合（如圖2）：則恰好為半圓弧，
∴ ac為o的直徑， ∴∠abc=90°，
∴ 由勾股定理可求得，
．練習4：如圖△abc是等腰直角三角形，d為ab的中點，ab=2，扇形adg和bdh分別是以ad、bd為半徑的圓的，求陰影部分面積．
參***：
練習１：，提示：如圖將逆時針旋轉得，連線，分別求得和．
練習2： 距離為4，如圖通過旋轉變換得正方形．
練習3：，把△bdm繞點d順時針旋轉120°得到，易證．
練習4：，將扇形bdh和△bdc繞d點順時針旋轉180°．
觀察巧旋轉妙解題
沈岳夫旋轉是幾何圖形運動中的重要變換，隨著課程改革的進一步深入，利用旋轉知識進行有關計算或證明的題目很多，尤其是題目中沒有涉及到旋轉等文字，使不少學生在解答時無從著手，找不到解題的途徑，但如果能根據題目特徵加以觀察，通過旋轉，找到解題的突破口，那麼問題就簡單化了，現採擷部分試題加以歸納，供參考。
一. 通過旋轉，解答角度問題
例1. 如圖1，p是正三角形abc內的一點，且pa=6，pb=8，pc=10。求∠apb的度數。
圖1解析：先將部分已知條件集中到乙個三角形中，再研究這個三角形與所求的關係。
將△pac繞點a逆時針旋轉60°後，得到△fab，連線pf（如圖2），則bf=pc=10，fa=pa=6，∠fap=60°。
∴△fap是等邊三角形，fp=pa=6。
在△pbf中，
∴∠bpf=90°
∴∠apb=∠apf+∠fpb=60°+90°=150°
圖2二. 通過旋轉，計算線段長度問題
例2. 如圖3，p是正△abc內一點，pa=2，，pc=4，求bc的長。
圖3解析：此題乍一看似乎無從著手，但只要運用旋轉的方法來解題，就顯得十分容易。
將△bpa繞點b逆時針旋轉60°，則ba與bc重合（如圖4），bp=bm，pa=mc，連線mp。
則△mbp是正三角形，即，
由，故∠cmp=90°，
因為，所以∠mpc=30°，
又因為∠mpb=60°，
故∠cpb=90°，得圖4
例3. 如圖5，在梯形abcd中，ad//bc（bc>ad），∠d=90°，bc=cd=12，∠abe=45°，若ae=10。求ce的長度。
圖5解析：經觀察，把△bce繞點b順時針旋轉90°，可構成乙個正方形，然後通過三角形全等，找出邊之間的關係。
延長oa，把△bce繞點b順時針旋轉90°，與da的延長線分別交於點g，點m（如圖6），易知四邊形bcdg為正方形。
∴bc=bg
又∠=cbe=∠gbm
∴rt△bec≌rt△bmg
∴bm=be，∠abe=∠abm=45°
∴△abe≌△abm
∴am=ae=10
設ce=x，
則。在rt△ade中，，即∴
∴所以ce的長為4或6。
圖6三. 通過旋轉，巧算面積問題
例4. 如圖7，正方形abcd中，，點e、f分別在bc、cd上，且∠bae=30°，∠daf=15°，求△aef的面積。
圖7解析：由於該題中含15°，30°等特殊角度，通過旋轉△adf，可構作出45°角，構造三角形全等，通過等積變形而獲解。
將△adf繞a點順時針旋轉90°到△abg的位置（如圖8），
由旋轉性質可知：ag=af，∠bag=∠fad=15°，
故∠gae=15°+30°=45°。
∴∠eaf=90°
∴∠gae=∠fae
又∵ae=ae
∴△aeg≌△aef（sas）
∴ef=eg，∠aef=∠aeg=60°
在rt△abe中，，∠bae=30°，則be=1，
在rt△efc中，∠fec=，∴∴
即圖8例5. 如圖9，a、b、c、d是圓周上的四個點，。且弦ab=8，弦cd=4，則圖中兩個弓形（陰影）的面積和是多少？（結果保留三個有效數字）
圖9解析：要直接求兩個弓形面積難度較大，抓住已知條件，運用整體思維可簡易求得。
由於，知長等於圓的周長的一半，將弓形cmd繞圓心旋轉，使點d與點b重合（如圖10），
則恰好為半圓弧，此時ac為圓o的直徑，從而∠abc=90°，
由勾股定理可求得，
故其面積和為15.4。
圖10四. 通過分割、旋轉、拼接平行四邊形
例6. 如圖11，已知四邊形紙片abcd，現需將該紙片剪成乙個與它面積相等的平行四邊形紙片，如果限定裁剪線最多有兩條，能否做到用「能」或「不能」填空），若填「能」，請確定裁剪線的位置，並說明拼接方法；若填「不能」，請簡要說明理由。
旋轉的幾何證明
1 內蒙古 如圖 兩個不全等的等腰直角三角形和疊放在一起，並且有公共的直角頂點 1 將圖 中的繞點順時針旋轉角，在圖 中作出旋轉後的 保留作圖痕跡，不寫作法，不證明 2 在圖 中，你發現線段，的數量關係是直線，相交成度角 3 將圖 中的繞點順時針旋轉乙個銳角，得到圖 這時 2 中的兩個結論是否成立？...
幾何證明中的旋轉
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