5個基本事實：
1. 兩直線平行，同位角相等
2. 同位角相等，兩直線平行
3. 邊角邊
4. 角邊角
5. 邊邊邊
定理及其證明：
1. 同角的餘角相等。
2. 對頂角相等。
3. 兩直線平行，內錯角相等
4. 同旁內角互補，兩直線平行。
5. 平行於同一直線的兩直線平行。
6. 三角形內角和為180。
已知：△abc
求證：∠a+∠b+∠c=180
方法①證明：作bc延長線cd，過點c作ce∥ab∵ce∥ab（已知）
∴∠1=∠b（兩直線平行，同位角相等）
2=∠a（兩直線平行，內錯角相等）
∵∠1+∠2+∠acb=180（平角的定義）∴∠a+∠b+∠acb=180（等量代換）方法②證明：過點a作ef∥bc
∵ef∥bc（已知）
∴∠1=∠c，∠2=∠b（兩直線平行，內錯角相等）∵∠1+∠2+∠bac=180（平角的定義）∴∠c+∠b+∠bac=180（等量代換）方法③證明：作ca的延長線ad，過點a作∠1=∠c1=∠c（已知）
∴ae∥bc（同位角相等，兩直線平行）
eab=∠b（兩直線平行，內錯角相等）
1+∠eab+∠bac=180 （平角的定義）c+∠b+∠bac=180 （等量代換）
方法④證明：在bc上任取一點d，過點d分別作de∥ab交ac於e，df∥ac交ab於f.
∵de∥ab，df∥ac
∴四邊形afde是平行四邊形（平行四邊形的定義）∴∠bdf=∠c（兩直線平行，同位角相等）∠edc=∠b（兩直線平行，同位角相等）
∴∠edf=∠a（平行四邊形的對角相等）
∵∠bdf+∠edf+∠edc=180°（平角的定義）∴∠a+∠b+∠c=180°（等量代換）
7. 兩角及其中一角對邊對應相等的兩個三角形全等。
已知：在△abc與△def中，∠a=∠d, ∠b=∠e，bc=ef求證：△abc≌△def
證明：∵在△abc中，∠a+∠b+∠c=180（三角形內角和等於180）
∴∠c=180-∠a-∠b（等式性質）
∵在△def中，∠d+∠e+∠f=180（三角形內角和等於180）∴∠f=180-∠d-∠e（等式性質）
∵∠a=∠d, ∠b=∠e(已知)
∴∠c=∠f（等量代換）
∵在△abc與△def中
∠b=∠e
bc=ef
∠c=∠f
∴△abc≌△def(asa)
8. 等腰三角形每個內角都為60度。
9. 等邊對等角。
已知：在△abc中，ab=ac
求證：∠b=∠c
證明：作∠bac平分線ad，交bc於點d
∵ad平分∠bac（已知）
∴∠bad=∠cad（角平分線定義）
∵在△abd與△acd中
ab=ac （已知）
bad=∠cad（已證）
ad=ad（公共邊）
abd≌△acd（sas）
b=∠c（全等三角形對應角相等）
10. 三線合一。
已知：在等腰三角形abc中，ab=ac, ad⊥bc求證：ad平分∠bac,bd=cd
證明：∵ad⊥bc（已知）
∴∠adb=∠adc=90°（垂直定義）
∵△abc為等腰三角形（已知）
∴ab=ac（等腰三角形定義）
∴∠b=∠c（等邊對等角）
∵在△abd與△acd中
∠b=∠c（已證）
∠adb=∠adc（已證）
ad=ad
∴△abd≌△acd（aas）
∴bd=cd（全等三角形對應邊相等）
∠bad=∠cad（全等三角形對應角相等）11. 等角對等邊。（輔助線不能選中線）
已知：在△abc中，∠b=∠c
求證：ab=ac
證明：作ad⊥bc
∵ad⊥bc（已知）
∴∠adb=∠adc=90°（垂直定義）
∵在△abd與△acd中
∠b=∠c（已知）
∠adb=∠adc（已證）
ad=ad
∴△abd≌△acd（aas）
∴ab=ac（全等三角形對應邊相等）
12. 線段垂直平分線上的點到線端兩端距離相等。
已知：cd是ab的垂直平分線，m是cd上一點，求證：ma=mb
證明：∵o為ab中點（已知）
∴ao=bo
∵cd⊥ab （已知）
∴∠moa=∠mob=90°（垂直定義）
∵在△moa與△mob中
mo=mo（公共邊）
∠moa=∠mob（已證）
ao=bo（已證）
∴△moa≌△mob(sas)
∴ma=mb(全等三角形的對應邊相等）
13. 到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。
已知：ma=mb
求證：m**段ab的垂直平分線上
證明：1.當m不在ab上時
過點m作cd⊥ab,交ab於點o
∵cd⊥ab（已知）
∴∠moa=∠mob=90°(垂直定義）
∵ma=mb（已知）
∴∠a=∠b（等邊對等角）
∵在△moa與△mob中
∠moa=∠mob(已證）
∠a=∠b（已證）
ma=mb(已知）
∴△moa≌△mob(aas)
∴ao=bo(全等三角形的對應邊相等）
∵ao=bo mo⊥ab
∴cd是線段ab的垂直平分線
∴點m**段ab的垂直平分線上
2.當m在ab上時
∵ma=mb
∴m是ab中點
∴點m**段ab的垂直平分線上
綜上所述，m是ab垂直平分線上的點。
14. 三個角都相等的三角形是等邊三角形。
15. hl（利用勾股定理證明）
16. 角平分線上的點到角兩邊距離相等。
已知：oc平分∠aob，點p在oc上，pd⊥oa，pe⊥ob.
求證：pd=pe
證明：∵oc平分∠aob（已知）
∴∠aop=∠bop（角平分線定理）
∵pd⊥oa，pe⊥ob（已知）
∴∠pdo=∠peo=90°
∵在△pdo與△peo中
∠aop=∠bop(已證)
∠pdo=∠peo(已證)
op=op（公共邊）
∴△pdo≌△peo（aas）
∴pd=pe（全等三角形對應邊相等）
17. 角的內部到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。
已知：如圖，pd⊥oa，pe⊥ob，pd=pe求證：點p在∠aob的角平分線上
證明：連線並延長op
∵在△pdo中，pd⊥oa（已知）
∴△pdo是直角三角形
∵在△peo中，pe⊥ob（已知）
∴△peo是直角三角形
∵在rt△pdo與 rt△peo中
pd=pe（已知）
po=po（公共邊）
∴rt△pdo≌rt△peo（hl）
∴∠dpo=∠epo（全等三角形對應角相等）∴op平分∠aob
∴點p在∠aob的角平分線上
18. 平行四邊形對角線互相平分
已知：在 abcd中，ac、bd交於點o求證：ac、bd互相平分
證明：∵abcd是平行四邊形
∴ab∥cd，ad∥bc(平行四邊形定義)∵ab∥cd
∴∠1=∠2，∠5=∠6（兩直線平行，內錯角相等）∵ad∥cb
∴∠3=∠4（兩直線平行，內錯角相等）
∵在△abc與△cda中，
∠1=∠2(已證)
ac=ac （公共邊）
5=∠6（已證）
∴△abc≌△cda（asa）
∴ab=cd（全等三角形對應邊相等）
∵在△aob與△cod中，
∠1=∠2(已證)
ab=cd（已證）
∠5=∠6（已證）
∴△aob≌△cod（asa）
∴ao=co,bo=do
即ac與bd互相平分
19. 平行四邊形對邊相等。
20. 平行四邊形對角相等。
已知：abcd是平行四邊形
求證：∠a=∠c,∠b=∠d
證明：∵abcd是平行四邊形
∴ab∥cd ad∥bc
∵ab∥cd
∴∠a+∠d=180°
∵ad∥bc
∴∠a+∠b=180°（兩直線平行，同旁內角互補）∴∠b=∠d(同角的補角相等)
同理可得∠a=∠c
21. 矩形的四個角都是直角
22. 矩形的對角線相等。
已知：在矩形abcd中，對角線ac、bd交於點o求證：ac=bd
證明：∵四邊形abcd是矩形（已知）
∴ab=cd(矩形的對邊相等)
∠abc=∠dcb=90°（矩形的四個內角都是直角）∵在△abc與△dcb中
ab=dc（已證）
∠abc=∠dcb（已證）
bc=cb（公共邊相等）
∴△abc≌△dcb（sas）
∴ac=db（全等三角形的對應邊相等）
23. 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
已知：在rt△abc中，∠b=90°，o是ac中點求證： b0=ac
證明：延長bo至點d，使bo=do，連線ad，cd∵bo=do，ao=co()
∴四邊形abcd是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）∵在 abcd中,∠abc=90°
∴abcd是矩形（矩形定義）
∴ac=bd（矩形的對角線相等）
∵bo=do
∴bo=bd=ac(等量代換)
24. 菱形的四條邊都相等。
25. 菱形的對角線互相垂直，並且每條對角線平分一組對角已知：在菱形abcd中，對角線ac、bd交於點o。
求證：ac⊥bd，ac平分∠bad和∠bcd,bd平分∠adc和∠abc。
證明：∵四邊形abcd是菱形（已知）
∴ab=bc=cd=da（菱形的四條邊都相等）bo=do（菱形對角線互相平分）
∵在△abd中，ab=ad，ob=od
∴ao⊥bd，ac平分∠bad（等腰三角形三線合一）同理可得：
ac平分∠bcd，bd平分∠adc、∠abc26. 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
已知：在四邊形abcd中，ad∥bc，ad=bc。
求證：四邊形abcd是平行四邊形。
初一常用幾何證明的定理總結
平面直角座標系各個象限內和座標軸的點的座標的符號規律 1 x軸將座標平面分為兩部分，x軸上方的縱座標為正數 x軸下方的點縱座標為負數。即第 一 二象限及y軸正方向 也稱y軸正半軸 上的點的縱座標為正數 第 三 四象限及y軸負方向 也稱y軸負半軸 上的點的縱座標為負數。反之，如果點p a b 在x軸上...
平面幾何中幾個重要定理的證明
一 塞瓦定理 1 塞瓦定理及其證明 定理 在abc內一點p，該點與abc的三個頂點相連所在的三條直線分別交abc三邊ab bc ca於點d e f，且d e f三點均不是abc的頂點，則有 證明 運用面積比可得 根據等比定理有 所以 同理可得，三式相乘得 注 在運用三角形的面積比時，要把握住兩個三角...
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