課程解讀
1、學習目標：
1. 掌握正方形的概念、性質和判定，並會用它們進行有關的論證和計算。
2. 理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯絡和區別。
二、重點、難點：
正方形的定義及正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯絡．正方形與矩形、菱形的關係及正方形的性質與判定的靈活運用．
三、考點分析：
正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是特殊的矩形和菱形。熟悉正方形的性質和判定，並能運用其解題。注意在解題過程中培養模擬思想、歸納思想、轉化思想。
特殊平行四邊形的知識是中考的熱點，各類題型均有涉及，分值較大。
知識梳理
典型例題
知識點一：特殊平行四邊形的區別與聯絡
例1.（1）下列命題中，真命題是 （ ）
a. 兩條對角線垂直的四邊形是菱形 b. 對角線垂直且相等的四邊形是正方形
c. 兩條對角線相等的四邊形是矩形 d. 兩條對角線相等的平行四邊形是矩形
（2）下列命題中的假命題是（ ）．
a. 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
b. 一組鄰邊相等的矩形是正方形
c. 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
d. 一組對邊相等且有乙個角是直角的四邊形是矩形
（3）用兩個全等的直角三角形拼下列圖形：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等邊三角形；一定可以拼成的是________（只填序號）．
（4）正方形具有而菱形不一定具有的性質是（ ）
a. 對角線相等b. 對角線互相垂直平分
c. 對角線平分一組對角 d. 四條邊相等
思路分析：
1）題意分析：此題考查特殊的平行四邊形的性質和判定。
2）解題思路：要熟練掌握特殊的平行四邊形的性質和判定方法。
解答過程：（1）考查了特殊的平行四邊形對角線間的區別和聯絡。
a. 兩條對角線垂直的四邊形是菱形 （×）；
b. 對角線垂直且相等的四邊形是正方形（×）；
c. 兩條對角線相等的四邊形是矩形（×）；
d. 兩條對角線相等的平行四邊形是矩形（√）。
應選：d
（2）考查了特殊的平行四邊形的判定之間的區別與聯絡。
a. 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（√）；
b. 一組鄰邊相等的矩形是正方形（√）；
c、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（√）；
d. 一組對邊相等且有乙個角是直角的四邊形是矩形（×）。
應選：d
（3）①平行四邊形；②矩形；⑤等腰三角形；應填①②⑤。
（4）考查正方形的性質，應選a。
解題後的思考：要重視基礎知識的落實，還要注意特殊的平行四邊形之間的區別與聯絡。注意在解題過程中培養模擬思想、歸納思想。
知識點二、正方形的性質
例2.已知：四邊形abcd是正方形，對角線ac、bd相交於點o（如圖）．
求證：△abo、△bco、△cdo、△dao是全等的等腰直角三角形．
思路分析：
1）題意分析：本題考查正方形的性質
2）解題思路：正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形，這是今後利用正方形性質解題的常用方法。
解答過程：∵四邊形abcd是正方形，
∴ac=bd，ac⊥bd，
ao=co=bo=do（正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分）．
∴ △abo、△bco、△cdo、△dao都是等腰直角三角形，
並且△abo ≌△bco≌△cdo≌△dao．
解題後的思考：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質。
例3. 已知：如圖，正方形abcd中，對角線的交點為o，e是ob上的一點，dg⊥ae於g，dg交oa於f．
求證：oe=of．
思路分析：
1）題意分析：本題考查了正方形的性質。
2）解題思路：要證明oe=of，只需證明oe、of所在的三角形全等即可，由於正方形的對角線垂直平分且相等，可以得到∠aoe=∠dof=90°，ao=do，再由同角或等角的餘角相等可以得到∠eao=∠fdo，根據asa可以得到△aeo≌△dfo，故結論可證。
解答過程：證明：∵ 四邊形abcd是正方形，
∴∠aoe=∠dof=90°，ao=do（正方形的兩條對角線垂直平分且相等）．
又∵dg⊥ae，
∴ ∠eao+∠aeo=∠edg+∠aeo=90°．
∴∠eao=∠fdo．
∴△aeo ≌△dfo（asa）
∴oe=of．
解題後的思考：注意證線段相等的最基本方法——尋找所證線段所在的三角形全等。
例4. 如圖，e、f分別為正方形abcd的邊bc、cd上的一點，am⊥ef，垂足為m，am=ab，則有ef=be+df，為什麼？
思路分析：
1）題意分析：此題考查正方形的性質
2）解題思路：要證明ef=be+df，只需證明be=em，df=fm，而連線ae、af．只要能說證明△abe≌△ame，△adf≌△amf即可．
解答過程：
連線ae、af．
∵abcd是正方形，，
∴ab⊥bc，又∵am⊥ef，
∴∠abe=∠ame=90o
∴ae=ae，am=ab
∴△abe≌△ame．
∴be=me．
同理可得，△adf≌△amf．
∴df=mf．
∴ef=me+mf=be+df．
解題後的思考：此題主要考查了以正方形為載體，用截長補短法證明線段和差的問題。注意基本方法——截長補短法的落實與應用。
知識點三、正方形的判定
例5. 已知：如圖，四邊形abcd是正方形，分別過a、c兩點作l1∥l2，作bm⊥l1於m，dn⊥l1於n，直線mb、dn分別交l2於q、p點．
求證：四邊形pqmn是正方形．
思路分析：
1）題意分析：此題考查正方形的判定。
2）解題思路：由已知可以證出四邊形pqmn是矩形，再證△abm≌△dan，證出am=dn，用同樣的方法證an=dp，即可證出mn=np．從而得出結論。
解答過程：
∵pn⊥l1，qm⊥l1，
∴pn∥qm，∠pnm=90°．
∵pq∥nm（l1//l2），
∴四邊形pqmn是矩形．
∵四邊形abcd是正方形
∴∠bad=∠adc=90°，ab=ad=dc（正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）．
∴∠1+∠2=90°．
又∵∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3．
∴△abm≌△dan．
∴am=dn． 同理 an=dp．
∴am+an=dn+dp
即mn=pn．
∴四邊形pqmn是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）．
解題後的思考：本題考查對正方形判定的應用，即先判定乙個四邊形是矩形，再證明一組鄰邊相等，從而判定這個四邊形是正方形。
例6. 如圖，已知平行四邊形中，對角線交於點，是延長線上的點，且是等邊三角形．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，求證：四邊形是正方形．
思路分析：
1）題意分析：本題考查特殊平行四邊形的區別與聯絡。
2）解題思路：（1）已知平行四邊形，要證四邊形是菱形，只需證對角線互相垂直，即．
（2）已知四邊形是菱形，只需證其有乙個內角等於90°即可。
解答過程：
（1）四邊形是平行四邊形，
。又是等邊三角形，
，即．（平行）四邊形是菱形；
（2）是等邊三角形，．
，．，．．
四邊形是菱形，．
四邊形是正方形．
解題後的思考：特殊平行四邊形的判定和性質是中考的熱點，經常和其他知識相融合，這是同學們要注意的。
知識點四、中點四邊形
例7. 如圖，在四邊形abcd中，e為ab上一點，△ade、△bce均為等邊三角形，p、q、m、n分別為ab、bc、cd、da邊上的中點，
求證：四邊形pqmn為菱形。
思路分析：
1）題意分析：本題考查了與特殊平行四邊形密切相連的中點四邊形的知識。
2）解題思路：順次相連任意四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形。中點四邊形主要是應用了三角形中位線的知識。一般情況下，新增的輔助線為所連線的對角線，它把四邊形分割成三角形。
解答過程：連線ac、bd
在四邊形abcd中，e為ab上一點，
△ade、△bce均為等邊三角形，
∴ae=de，be=ec
∠dea=∠ceb=60o
∴∠cea=∠deb
∴△aec≌△deb
∴ac=bd
∵p、q、m、n分別為ab、bc、cd、da邊上的中點，
在△adc中，mn=ac ，mn∥ac
同理可證：pq=ac ，pq∥ac，qm=bd ，qm∥bd， pn=bd ，pn∥bd
∴mn=pq=np=mq
∴四邊形pqmn為菱形
解題後的思考：
順次連線任意四邊形和平行四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形。如圖一中圖形。
順次連線對角線相等的四邊形的四邊中點所得的四邊形是菱形，
如矩形、等腰梯形或圖二中圖形等。
順次連線對角線垂直的四邊形的四邊中點所得的四邊形是矩形，
如菱形或圖三中圖形等。
第十九章 第2節 特殊的平行四邊形 菱形
知識梳理 菱形也是特殊的平行四邊形，當平行四邊形的兩個鄰邊發生變化時，即當兩個鄰邊相等時，平行四邊形變成了菱形。1 菱形的定義 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。2 菱形的性質1 菱形的四條邊相等。2 菱形的兩條對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角。3 菱形的判定定理1 有一組鄰邊相等的平...
平行四邊形及特殊平行四邊形
一 平行四邊形 知識梳理 1 掌握平行四邊形的概念和性質 2 四邊形的不穩定性 3 掌握平行四邊形有關性質和四邊形是平行四邊形的條件 4 能用平行四邊形的相關性質和判定進行簡單的邏輯推理證明 例題精講 例題1.下列命題中錯誤的是 a 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 b 對角線相等的平行四邊形是...
平行四邊形與特殊的平行四邊形
平行四邊形的性質與判定 一 總結平行四邊形的性質與判定原理 問題1 我們學習平行四邊形的性質是從哪幾個方面來研究的？從 邊 角 線 三個方面，其中 線 指的是對角線。問題2 判定乙個四邊形是平行四邊形必須有幾個條件？必須具備兩個條件 注意判定原理5 對角線互相平分 也是兩個等量。二 總結與平行四邊形...