知識梳理
菱形也是特殊的平行四邊形，當平行四邊形的兩個鄰邊發生變化時，即當兩個鄰邊相等時，平行四邊形變成了菱形。
1、菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
2、菱形的性質1：菱形的四條邊相等。
2：菱形的兩條對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角。
3、菱形的判定定理1：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
2：四邊相等的四邊形是菱形。
3：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
4：對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形。
4. 菱形的對稱性：
菱形既是軸對稱圖形（關於對角線所在的直線對稱）又是中心對稱圖形（關於對角線交點中心對稱）。
5. 菱形的面積：
平行四邊形的面積法則適用於求菱形的面積。
菱形的面積=兩條對角線的乘積的一半。
說明：要判定四邊形是菱形的方法：
法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。（這是定義證明）。
法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線互相垂直。（這是判定定理3）
法三：只需證出四邊都相等。（這是判定定理2）
典型例題
知識點一：菱形的性質
例1：已知：如圖，四邊形abcd是菱形，f是ab上一點，df交ac於e。
求證：∠afd=∠cbe。
解題後的思考：此題為鞏固菱形的性質而設定，同學們要熟練掌握菱形的性質。
例2：如圖是菱形花壇abcd，它的邊長為20m，∠abc=60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路ac和bd，求兩條小路的長和花壇的面積。
解題後的思考：這是一道合用菱形知識與直角三角形知識來求菱形面積的實際應用問題。此題除可用以鞏固菱形性質外，還可用不同的方法來計算菱形的面積，要學會熟練、靈活地運用知識。
例3：如圖，四邊形abcd是菱形。對角線ac=8㎝，db=6㎝，dh⊥ab於h。求dh的長。
解題後的思考：此題有一定的靈活性，同學們應在做題時積累經驗，以能靈活正確地解題。明白用等積法求高較為便捷。
知識點二：菱形的判定
例4：如圖已知：abcd的對角線ac的垂直平分線與邊ad、bc分別交於e、f。
求證：四邊形afce是菱形。
解題後的思考：菱形是特殊的平行四邊形，在證明菱形的問題時可先證它是平行四邊形，再利用其他條件判定它是菱形。
例5：如果將矩形紙片abcd沿ef摺疊，如圖，延長c′e交ad於h，鏈結gh，那麼ef與gh互相垂直平分嗎？
思路分析：
解題後的思考：此題屬於結論開放型試題，這類題是中考中的熱點題型。同學們不僅要熟悉菱形的判定方法，還要熟悉菱形的性質，以及摺疊（軸對稱）邊角之間的對應關係。
*例6：已知：如圖，△abc中， ∠acb=90°，be平分∠abc，cd⊥ab於d，eh⊥ab於h，cd交be於f。
求證：四邊形cehf為菱形。
解題後的思考：此題圖形較為複雜，同學們應具有一定的識圖能力，另外還要與以前學過的知識相結合並能靈活應用。
知識點三：矩形、菱形的綜合應用
**例7：如圖，在abcd中，e、f分別為邊ab、cd的中點，bd是對角線，ag∥db交cb的延長線於g。
（1）求證：△ade≌△cbf；
（2）若四邊形bedf是菱形，則四邊形agbd是什麼特殊四邊形？並證明你的結論。
解題後的思考：矩形和菱形都是特殊的平行四邊形，但二者間有區別和聯絡，同學們要熟練掌握它們的性質和判定。
小結：應用菱形判定定理3時，要注意其性質包括兩個條件：（1）是乙個平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂直。
二者缺一不可，如，對角線互相垂直的四邊形是菱形嗎？為什麼？同時可用右圖來證實，雖然對角線ac⊥bd，但它們都不是菱形。
判定菱形的方法有
提分技巧
1、在記憶菱形的性質和判定時應與矩形的性質和判定對比記憶，從邊、角、對角線三方面找到它們的區別與聯絡。
2、菱形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸，這兩條對稱軸是菱形的對角線所在的直線，所以兩條對稱軸互相垂直。
3、菱形被對角線分成了四個全等的直角三角形，在計算或證明時常用到這個結論。
4、菱形的面積公式是（其中a、b是菱形的兩條對角線的長）。即：「菱形的面積等於它的兩條對角線的乘積的一半」。
還要指出：當不易求出對角線的長時，就用平行四邊形面積的一般計算方法計算菱形面積，即s=底×高。
同步練習（答題時間：60分鐘）
1. 如圖，在菱形abcd中，對角線ac、bd相交於點o，e為bc的中點，則下列式子中一定成立的是（ ）
a. ac=2oe b. bc=2oec. ad=oe d. ob=oe
2. 如圖，在菱形abcd中，下列說法不一定成立的是（ ）
a. 四邊形abcd是平行四邊形
b. ac⊥bd
c. △abd是等邊三角形
d. ∠cab＝∠cad
3. 如圖，如果要使abcd成為菱形，需要新增乙個條件，那麼你新增的條件是______
4. 菱形的兩條對角線長分別是6和8，則菱形的邊長為
5. abcd的對角線相交於點o，分別新增下列條件：
①ac⊥bd；②ab=bc;③ac平分∠bad；④ao=do，使得abcd是菱形的條件有______個。
6. 菱形的周長為20，一條對角線長為8，則菱形的面積為cm2。
7. 在四邊形abcd中，對角線ac、bd交於點o，從①ab=cd；②ab∥cd；③oa=oc；④ob=od；⑤ac⊥bd；⑦ac平分∠bad這六個條件中，選取三個推出四邊形abcd是菱形。如①②⑤abcd是菱形，再寫出兩個符合要求的條件：
________abcd是菱形；________abcd是菱形。
8. 如圖所示，ad是△abc的角平分線.de∥ac交ab於e，df∥ab交ac於f.四邊形aedf是菱形嗎？說明你的理由。
10. 如圖，已知在△abc中，ad是角平分線，ad的垂直平分線分別交ab、ac於點e、f。
求證：四邊形aedf是菱形。
第十九章第2節特殊的平行四邊形 正方形
課程解讀 1 學習目標 1.掌握正方形的概念 性質和判定，並會用它們進行有關的論證和計算。2.理解正方形與平行四邊形 矩形 菱形的聯絡和區別。二 重點 難點 正方形的定義及正方形與平行四邊形 矩形 菱形的聯絡 正方形與矩形 菱形的關係及正方形的性質與判定的靈活運用 三 考點分析 正方形不僅是特殊的平...
平行四邊形及特殊平行四邊形
一 平行四邊形 知識梳理 1 掌握平行四邊形的概念和性質 2 四邊形的不穩定性 3 掌握平行四邊形有關性質和四邊形是平行四邊形的條件 4 能用平行四邊形的相關性質和判定進行簡單的邏輯推理證明 例題精講 例題1.下列命題中錯誤的是 a 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 b 對角線相等的平行四邊形是...
平行四邊形與特殊的平行四邊形
平行四邊形的性質與判定 一 總結平行四邊形的性質與判定原理 問題1 我們學習平行四邊形的性質是從哪幾個方面來研究的？從 邊 角 線 三個方面，其中 線 指的是對角線。問題2 判定乙個四邊形是平行四邊形必須有幾個條件？必須具備兩個條件 注意判定原理5 對角線互相平分 也是兩個等量。二 總結與平行四邊形...