上海奉賢曙光中學宋寶國
數學思維方法的教學屬於數學教學範疇，蘊含著數學中的思維規律，是數學的靈魂，在數學教學中，適當地把培養學生思維能力作為教學的組成部分，數學教學只有兼顧到數學知識和數學思維方法兩個方面，才是真正體現以學生發展為本，真正教給學生對其今後的學習、生活和工作長期起作用，並做其終生受益的人類數學遺產，然而數學思維方法的教學是一項長期細緻的工作。在教學中往往表現為「教者有心，學者無意，日積月累，潛移默化」，必須有目的地使數學思維方法反映在教學內容和教學之中，本文以筆者多年在教學中數學思維方法教學的實踐與認識，談幾點看法和做法。
一、提供模擬
教學中提供模擬，猶如搭橋引渡，使學生溫故而知新。因為模擬是特殊到特殊的邏輯推理方法，所以選題時要因人因題而異，切合學生的實際，承上啟下、合乎邏輯，才能引導學生展開思維活動，舉例如下：
[例1]用「乘法原理」確定有幾種抽題的方法：
（1） 從6個試題中，3個學生分別抽出一題。
（2） 從6個試題中，乙個學生抽出3題完卷。
這兩個題，外形相似，性質不同，前者是排列問題，後者是組合問題。學生往往分辨不清，這裡由（1）模擬地轉入（2），兩相對照，涇渭分明，這是形同質異的模擬。
[例2]將6個人分成2列排隊，有幾種排法。
（1） 若一列2人，另一列4人：
（2） 一列3人，另一列也是3人。
這兩題形式不同，實質上都是6個人在六個不同位置上的排列問題，排法都是種，這種外形不同，性質相同的問題，是行異質同的模擬。
[例3]將6個人分成2組，有幾種方法。
（1）若一組2人，另一組4人：
（2）一組3人，另一組也是3人。
（1）有種分法，而（2）中因為兩組人數相同所以有中分法。這兩個題，外形不同，性質也不同，是形異質異的模擬。
如果將[例2][例3]加以比較，他們的外形相似，解法各異，為行同質異的模擬。
[例4]（1）已知（t為引數），求複數z在復平面上所對應的點的軌跡；
（2）若z在1+i，1-i間線段上移動，求複數z2在復平面上所對應的點的軌跡。
（1）令,由
故消去引數是雙曲線。
（2）令，按條件，，即，則再令，則，因為b,x,y都是實數，故消去b，得是拋物線的一部分。
這2個題，（1）未附條件比較簡單；（2）附有條件，需經兩次置換，才能求得軌跡，這是由淺入深的模擬。
常見模擬還有二維空間與三維空間模擬；將平面幾何的許多概念和判斷證明方法，從思想上把二維空間移到立體幾何的三維空間，數與形的模擬，也是一種非常有益的模擬，這是因為數學是研究客觀世界數量關係與空間形式及其和統一的科學。
注意把無限問題模擬有限問題中去，常是一種有害的模擬
例求，誤比：.
正確：.
以上舉數例，可見模擬不是千篇一律、固定不移的，問題的條件與需要不同，模擬的出發點就不同。
二、啟發分想
分想：是將大腦貯藏在內部形形色色的正確經驗、知識，根據問題分離出一種或若干種加以創造想象方法，開始訓練時，要求學生記錄分想過程。
[例5]若x,y是關於m的方程：的二個實根，求的最小值。
分想：（1）x、y為一元二次方程的兩個根，由韋達定理得
（2）有實根，由判別式解得或
（3）求二元二次函式最值，常歸宿為一元函式求最值，
由於求得
當時，[例6]求函式的值域.
分想：（1）研究任何函式，首先必須考慮其定義域，令顯然有： 則
（2）最小值是什麼？進一步明確自變數取值範圍：
由得有實數根，
則或（舍）.
（3）當時，
（4）確定值域，
分想是一種比較簡便有用想象訓練方法，只要在平時教學中，要求學生對問題進行認真細微分想，形成一種思維習慣，思維能力是會迅速提高的。
三、展開聯想
聯想：主要借助於時間和空間上的接近而產生，根據心理的條件反射，教**用它，猶如穿針引線，根據教學內容，聯絡條件相近有關內容，使學生的知識前後連貫，由新憶舊，認舊引新，提高學生的思維能力，舉例如下：
[例7]解方程：
[解]：據複數相等的定義，得原方程的解是這是在複數集由乙個二元方程求得兩個未知數的確定實數的例題。引導學生聯想在實數集內的類似情況。於是得下面的[例8][例9][例10]
[例8]解方程
解：根據實數的偶次方非負數，得的原方程的解是
原方程的解是
[例9]解方程
[解]按對數的性質，有整理，得
原方程的解是
[例10]解方程
[解]配方：得
原方程的解是
[例11]求證：
證明：通常用數學歸納法證明，從式子結構可聯想函式設曲線上有兩點a bg為作軸交於n，交曲線與m，因為線段ab在曲線的上方，g當然也在曲線的上方，故
即.可推廣為
四、組合串聯
串聯：按照某一種思路為「軸」，將若干想象活動組合起來，形成乙個有層次、有過程，呈「動態」的想象活動，體現出邏輯遞進。
例如，在新授「兩角和與差的三角函式」一章時，用單位圓與解析幾何中兩點間距離公式匯出兩角和的余弦公式後，抓住「角的變化」這一軸串想，比較容易記住三角學的一系列基本公式。
再將各自分別相加減，得到三角函式的積化和差公式，又通過角的變換推出和差化積公式。
五、問題質疑
問題質疑就是提出疑難問題來討論。
在教學中提出的問題有時學生得出了錯誤的結論而且全體學生都信以為真，這時必有概念模糊，推理不嚴等問題存在，應就學生解題的過程，層層剖析，通過問題質疑，揭露其要害之所在，對疑難之處，要耐心啟發，循循善誘，不可越俎代庖，才能較好地解決學生的問題。
[例12]在項數為的等差數列中，求所有奇數項的和與所有偶數項是和之比。
給出如下解答，設等差數列的公差為d，則所有奇數項和所有偶數項之和
[例13]乙個等差數列共有項，其中奇數之和為305，偶數項之和為276，試求第項。
給出了如下解答：
由以上[例12][例13]的解法是否正確？命題是否正確？師生展開討論，通過舉例，最後得出了《構造2n+1項等差數列命題應注意的問題》創造性的結論，培養了學生的思維能力，分析問題，解決問題的能力，培養了學生的創新能力，下面給出個創新的結論與證明。
下面討論2n+1項等差數列命題的存在性問題，我們先看2n+1項等差數列的乙個性質。在項數為 2n+1的等差數列中，奇數項之和設為p，偶數項之和設為q，p和q有如下關係：
（1） 若p=q，則必有p=q=0。
（2） 若p，q中有乙個為零，則p=q=0。
（3） 若p0，且q0，則p，q必滿足
證明：等差數列的奇數項及偶數項分別組成公差為2d的等差數列。
即1）同理2）
（ⅰ） （1）-（2）代入（1） （2）且q=0
（ⅱ）不妨設p=0
（ⅲ）不妨設p0由（2）可知q0，pq
由（1）（2）
[證畢]
上述的性質說明了如下事實，當我們構造乙個項數為2n+1的等差
列的有關命題時（ⅰ）奇數項的和p與偶數項和q皆不為零時結論
為真命題
（ⅱ）若p=q或pq且這樣的等差數列是不存在的，故以此為條件構造的任一命題均假命題。
[例12]中，若奇數項和p與偶數項的和q為零時，命題不成立，
[例13]中，p=305，q=276，故為假命題。
六、分析綜合
分析，是把思維物件分成片段，逐段加以考察、綜合，是把分解的片段再聯合起來，對整體加以認識。可見有分析而無綜合，就得不到完整的認識，有綜合而無分析，就難說明認識的步驟，分析與綜合是相輔相成的統一過程。
在教學中，無論確立論點、進行推理、作出判斷，都不不開分析與綜合。經常地，反覆地闡明這一思維方法，對提高學生的思維能力與解決問題的能力，是大有裨益的。舉例如下：
[例14]且e，f分別在ab、ac上，求證（如圖）
[分析]分別作、的高fh、eg
若或推得的條件符合知己，且每步可逆，綜合
起來，命題得正。這個題設有給出三角形的邊或
角，如果考慮用三角法或解析法，就很難解決，
這是分析與綜合的典型方法。
[例15]證明
[分析]分別考察左邊三個分式，它們有如下的性質。
第乙個分式：
當時，其值為1，當或時，其值為0.
第二個分式：當時，其值為1，當或時，其值為0.
第三個分式：當時，其值為1，當或時，其值為0.
綜合以上分析，當，，時，都適合這個關於的二次式的等式，因此它不是方程而是恆定式，於是命題得證，這個題先抓住乙個分式進行考察，逐個擊破，然後再綜合起來，也是分析與綜合常用的方法。
通過平時教學經常注意學生思維方法培養，大多數學生形成了良好思維習慣，遇到問題首先必須善於分想，在分想基礎上按接近、模擬、否定關係進行聯想，對挫折失敗及時否定，分析綜合，改換思維方向再聯想，最後又把各種聯想有機地串起來，揭示更深刻邏輯關係。教學中應充分利用數學的現實原型作為反映數學思維方法的基本材料，選取一定的現原型作為反映數學思維方法的基本材料，選取一定的現實原型作為教學內容進行教學，不單純是易於入門的問題，同時也是領會數學思維方法的需要。
數學思維方法是數學中聯絡各項知識的紐帶，它較數學知識有更大的抽象性和概括性，在教學過程中，有目的、有計畫地進行長期滲透，使學生在接受知識的同時，也受到數學思維方法的薰陶和啟迪，這樣才能收到較好的效果。
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