一次函式知識點總結
2014.8.3
一次函式：一次函式影象與性質是中考必考的內容之一。中考試題中分值約為10分左右題型多樣，形式靈活，綜合應用性強。
甚至有存在**題目出現。主要考察內容：①會畫一次函式的影象，並掌握其性質。
②會根據已知條件，利用待定係數法確定一次函式的解析式。③能用一次函式解決實際問題。④考察一ic函式與二元一次方程組，一元一次不等式的關係。
突破方法：①正確理解掌握一次函式的概念，影象和性質。②運用數學結合的思想解與一次函式影象有關的問題。
③掌握用待定係數法球一次函式解析式。④做一些綜合題的訓練，提高分析問題的能力。
函式性質：
1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k. 即：y=kx+b（k，b為常數，k≠0）， ∵當x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。
2.當x=0時，b為函式在y軸上的點,座標為(0，b)。
3當b=0時(即 y=kx)，一次函式影象變為正比例函式，正比例函式是特殊的一次函式。
4.在兩個一次函式表示式中：
當兩一次函式表示式中的k相同，b也相同時，兩一次函式影象重合；
當兩一次函式表示式中的k相同，b不相同時，兩一次函式影象平行；
當兩一次函式表示式中的k不相同，b不相同時，兩一次函式影象相交； 當兩一次函式表示式中的k不相同，b相同時，兩一次函式影象交於y軸上的同一點（0，b）。
若兩個變數x,y間的關係式可以表示成y=kx+b(k,b為常數，k不等於0）則稱y是x的一次函式
影象性質
1．作法與圖形：通過如下3個步驟：
（1）列表.
（2）描點；[一般取兩個點,根據「兩點確定一條直線」的道理，也可叫「兩點法」。 一般的y=kx+b(k≠0）的圖象過（0，b）和（-b/k，0）兩點畫直線即可。
正比例函式y=kx(k≠0）的圖象是過座標原點的一條直線，一般取（0,0）和（1，k）兩點。
（3）連線，可以作出一次函式的圖象——一條直線。因此，作一次函式的圖象只需知道2點，並連成直線即可。（通常找函式圖象與x軸和y軸的交點分別是-k分之b與0，0與b）.
2．性質：
（1）在一次函式上的任意一點p（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。
（2）一次函式與y軸交點的座標總是（0，b)，與x軸總是交於（-b/k，0）正比例函式的影象都是過原點。
3．函式不是數，它是指某一變化過程中兩個變數之間的關係。
4．k，b與函式影象所在象限：
y=kx時（即b等於0，y與x成正比例)：
當k>0時，直線必通過第
一、三象限，y隨x的增大而增大；
當k<0時，直線必通過第
二、四象限，y隨x的增大而減小。
y=kx+b時：
當 k>0,b>0, 這時此函式的圖象經過第
一、二、三象限；
當 k>0,b<0, 這時此函式的圖象經過第
一、三、四象限；
當 k<0,b>0, 這時此函式的圖象經過第
一、二、四象限；
當 k<0,b<0, 這時此函式的圖象經過第
二、三、四象限；
當b>0時，直線必通過第
一、二象限；
當b<0時，直線必通過第
三、四象限。
特別地，當b=0時，直線通過原點o（0，0）表示的是正比例函式的影象。
這時，當k>0時，直線只通過第
一、三象限，不會通過第
二、四象限。
當k<0時，直線只通過第
二、四象限，不會通過第
一、三象限。
4、特殊位置關係：
當平面直角座標系中兩直線平行時，其函式解析式中k值（即一次項係數）相等
當平面直角座標系中兩直線垂直時，其函式解析式中k值互為負倒數（即兩個k值的乘積為-1） ）
③點斜式 y-y1=k(x-x1)（k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的乙個點）
④兩點式 (y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直線上（x1,y1）與（x2,y3）兩點）
⑤截距式 （a、b分別為直線在x、y軸上的截距）
⑥實用型 （由實際問題來做）
公式1.求函式影象的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）
5.求兩個一次函式式影象交點座標：解兩函式式
兩個一次函式 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 兩式任一式得到y=y0 則(x0,y0)即為 y1=k1x+b1 與 y2=k2x+b2 交點座標
6.求任意2點所連線段的中點座標：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
7.求任意2點的連線的一次函式解析式：（x-x1）/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (其中分母為0，則分子為0) x y +， +（正，正）在第一象限 - ，+ （負，正）在第二象限 - ，- （負，負）在第三象限 + ，- （正，負）在第四象限
8.若兩條直線y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那麼k1=k2，b1≠b2
9.如兩條直線y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那麼k1×k2=-1
10. y=k（x-n）+b就是向右平移n個單位
中考要求
1．經歷函式、一次函式等概念的抽象概括過程，體會函式及變數思想，進一步發展抽象思維能力；經歷一次函
數的圖象及其性質的探索過程，在合作與交流活動中發展合作意識和能力．
2．經歷利用一次函式及其圖象解決實際問題的過程，發展數學應用能力；經歷函式圖象資訊的識別與應用過程，
發展形象思維能力．
3．初步理解一次函式的概念；理解一次函式及其圖象的有關性質；初步體會方程和函式的關係．
4．能根據所給資訊確定一次函式表示式；會作一次函式的圖象，並利用它們解決簡單的實際問題.
中考熱點
一次函式知識是每年中考的重點知識，是每卷必考的主要內容．本知識點主要考查一次函式的圖象、性質及應用，這些知識能考查考生綜合能力、解決實際問題的能力．因此，一次函式的實際應用是中考的熱點，和幾何、方程所組成的綜合題是中考的熱點問題.
中考命題趨勢及複習對策
一次函式是數學中重要內容之一，題量約佔全部試題的5％～10％，分值約佔總分的5％～10％，題型既有低檔的填空題和選擇題，又有中檔的解答題，更有大量的綜合題，近幾年中考試卷中還出現了設計新穎、貼近生活、反映時代特徵的閱讀理解題、開放探索題、函式應用題，這部分試題包括了初中代數的所有數學思想和方法，全面地考查計算能力，邏輯思維能力、空間想象能力和創造能力．
針對中考命題趨勢，在複習時應先理解一次函式概念．掌握其性質和圖象，而且還要注重一次函式實際應用的練習．
重要知識點
一次函式的圖象和性質
正比例函式的圖象和性質
考點講析
1．一次函式的意義及其圖象和性質
⑴．一次函式：若兩個變數x、y間的關係式可以表示成y=kx＋b(k、b為常數，k ≠0）的形式，則稱y是x的一
次函式(x是自變數,y是因變數〕特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函式．
⑵．一次函式的圖象：一次函式y=kx+b的圖象是經過點(0，b),(－，0 ）的一條直線，正比例函式y=kx的圖
象是經過原點(0，0）的一條直線，如下表所示．
⑶．一次函式的性質：y=kx＋b(k、b為常數，k ≠0）當k ＞0時，y的值隨x的值增大而增大；當k＜0時，y的值隨x值的增大而減小．
⑷．直線y=kx＋b(k、b為常數，k ≠0）時在座標平面內的位置與k在的關係．
①直線經過第
一、二、三象限（直線不經過第四象限）；
②直線經過第
一、三、四象限（直線不經過第二象限）；
③直線經過第
一、二、四象限（直線不經過第三象限）；
④直線經過第
二、三、四象限（直線不經過第一象限）；
2．一次函式表示式的求法
⑴．待定係數法：先設出式子中的未知係數，再根據條件列議程或議程組求出未知係數，從而寫出這個式子的方法，叫做待定係數法，其中的未知係數也稱為待定係數。
⑵．用待定係數法求出函式表殼式的一般步驟：⑴寫出函式表示式的一般形式；⑵把已知條件(自變數與函式的對應值)公共秩序函式表示式中，得到關於待定係數的議程或議程組；⑶解方程(組)求出待定係數的值，從而寫出函式的表示式。
⑶．一次函式表示式的求法：確定一次函式表示式常用待定係數法，其中確定正比例函式表示式，只需一對x與y的值，確定一次函式表示式，需要兩對x與y的值。
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