一次函式知識點總結
一、函式
1.變數的定義:在某一變化過程中,我們稱數值發生變化的量為變數。
變數還分為自變數和因變數。
2.常量的定義:在某一變化過程中,有些量的數值始終不變,我們稱它們為常量。
3.函式的定義:一般地,在乙個變化過程中,如果有兩個變數x與y,並且對於x的每乙個確定的值,y都有唯一確定的值與其對應,那麼我們就說x是自變數,y是x的函式,y的值稱為函式值.
4.函式的三種表示法:(1)表示式法(解析式法);(2)列表法;(3)圖象法.
用數學式子表示函式的方法叫做表示式法(解析式法)。
由乙個函式的表示式,列出函式對應值**來表示函式的方法叫做列表法。
把這些對應值(有序的)看成點座標,在座標平面內描點,進而畫出函式的圖象來表示函式的方法叫做影象法。
5.求函式的自變數取值範圍的方法.
(1)要使函式的表示式有意義:整式(多項式和單項式)時為全體實數;分式時,讓分母≠0;含二次根號時,讓被開方數≠0 。
(2)對實際問題中的函式關係,要使實際問題有意義。注意可能含有隱含非負或大於0的條件。
6.求函式值方法:把所給自變數的值代入函式表示式中,就可以求出相應的函式值.
7.描點法畫函式圖象的一般步驟如下:
step1:列表(表中給出一些自變數的值及其對應的函式值);
step2:描點(在直角座標系中,以自變數的值為橫座標,相應的函式值為縱座標,描出**中數值對應的各點);
step3:連線(按照橫座標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連線起來).
8.判斷y是不是x的函式的題型
給出解析式讓你判斷:可給x值來求y的值,若y的值唯一確定,則y是x的函式;否則不是。
給出影象讓你判斷:過x軸做垂線,垂線與影象交點多餘乙個(≥2)時,y不是x的函式;否則y是x的函式。
二、正比例函式
1.正比例函式的定義:一般地,形如y=kx(k是常數,k≠0)的函式,叫做正比例函式,其中k叫做比例係數。
注意點自變數x的次數是一次冪,且只含有x的一次項;比例係數k≠0;不含有常數項,只有x一次冪的單項而已。
2.正比例函式影象:一般地,正比例函式的y=kx(k是常數,k≠0)的圖象是一條經過原點的直線,我們稱它為直線y=kx.
當k>0時,直線y=kx經過第
一、三象限(正奇),從左向右上公升,即隨著x的增大y也增大。
當k<0時,直線y=kx經過第
二、四象限(負偶),從左向右下降,即隨著x的增大y反而減小。
畫正比例函式的最簡單方法:
(1)先選取兩點,通常選出(0,0)與點(1,k);
(2)在座標平面內描出點(0,0)與點(1,k);
(3)過點(0,0)與點(1,k)做一條直線.
這條直線就是正比例函式y=kx(k≠0)的圖象。
三、一次函式
1.一次函式的定義:一般地,形如y=kx+b(k,b是常數,k≠0)的函式,叫做一次函式,當b=0時,y=kx+b即y=kx,所以說正比例函式是一種特殊的一次函式.注意點自變數x的次數是一次冪,且只含有x的一次項;比例係數k≠0;常數項可有可無。
2.一次函式y=kx+b的圖象是一條直線,我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移│b│個單位長度而得到(當b>0時,向上平移;當b<0時,向下平移).
3.係數k的意義:k表徵直線的傾斜程度,k值相同的直線相互平行,k不同的直線相交。
係數b的意義:b是直線與y軸交點的縱座標。
當k>0時,直線y=kx+b從左向右上公升,即隨著x的增大y也增大。
當k<0時,直線y=kx+b從左向右下降,即隨著x的增大y反而減小。
直線y=kx+b與y軸的交點是點(0,b)
與x軸的交點是點(-,0)
4.一次函式影象和解析式的係數之間的關係
5.畫一次函式影象的最簡單方法:
(1)先選取兩點,通常選出點(0,b)與點(-,0);
(2)在座標平面內描出點(0,0)與點(1,k);
(3)過點(0,b)與點(-,0)做一條直線.
這條直線就是正比例函式y=kx(k≠0)的圖象.
6. 待定係數法確定一次函式解析式:根據已知的自變數與函式的對應值,或函式影象直線上的點座標。
步驟: 寫出函式解析式的一般形式,其中包括未知的係數(需要確定這些係數,因此叫做待定係數).把自變數與函式的對應值(可能是以函式圖象上點的座標的形式給出)即x、y的值代入函式解析式中,得到關於待定係數的方程或方程組.(有幾個待定係數,就要有幾個方程)解方程或方程組,求出待定係數的值,從而寫出所求函式的解析式.
7.解析式與影象上點相互求解的題型
求解析式:解析式未知,但知道直線上兩個點座標,將點座標看作x、y值代入解析式組成含有k、b兩個未知數的方程組,求出k、b 的值在帶回解析式中就求出解析式了。
求直線上點座標:解析式已知,但點座標只知道橫縱座標中得乙個,將其代入解析式求出令乙個座標值即可。
四、一次函式與一元一次方程
由於任何一元一次方程都可以轉化為ax+b=0(a,b為常數,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以轉化為:當某個一次函式的值y=0時,求相應的自變數x的值,從圖象上看,這相當於已知直線y=ax+b,確定它與x軸交點的橫座標的值.
五、一次函式與一元一次不等式
由於任何一元一次不等式都可以轉化為ax+b>0或ax+b<0(a,b為常數,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看出:當一次函式值y大(小)於0時,求自變數x相應的取值範圍.
用一次函式圖象來解首先找到直線中滿足y>(<)0的部分,然後判斷這部分線的x的取值範圍。
六、一次函式與二元一次方程(組)
1.解二元一次方程組可以看作求兩個一次函式y=-x+與y=2x-1圖象的交點座標。
2.求兩條直線的交點的方法:將兩條直線的解析式組成方程組,求解方程組的x、y的值即為兩直線交點座標。
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