一：解答題
1、已知：如圖7，e、f是平行四邊行abcd的對角線ac上的兩點，ae=cf。
求證：∠cdf＝∠abe
2、如圖8，把正方形abcd繞著點a，按順時針方向旋轉得到正方形aefg，邊fg與bc
交於點h．求證：hc=hf.
3、已知：如圖9，在△abc中，ab=ac，ad⊥bc，垂足為點d，an是△ab
外角∠cam的平分線，ce⊥an，垂足為點e，猜想四邊形adce的形狀，
並給予證明.
4、如圖10，在梯形紙片abcd中，ad//bc，ad>cd，將紙片
沿過點d的直線摺疊，使點c落在ad上的點c處，摺痕de
交bc於點e，鏈結c′e．
求證：四邊形cdc′e是菱形．
答案：1、證明：(1)∵ abcd 是平行四邊形，∴dc=ab ，dc ∥ab,
∴∠dcf=∠bae ,∵ ae=cf ， ∴△adf ≌△cbe ，∴∠cdf ＝∠abe
2、如圖8，把正方形abcd 繞著點a ，按順時針方向旋轉得到正方形aefg ，邊fg 與bc 交於點h ．求證：hc=hf.
解：證明：鏈結ah ，∵四邊形abcd ，aefg 都是正方形．
∴90b g ∠=∠=°，ag ab =，bc=gf ，又ah ah =．
rt rt ()agh abh hl ∴△≌△，hg hb =∴，∴hc=hf.
3、解：猜想四邊形adce 是矩形。
證明：在△a bc 中， ab =ac ，ad ⊥bc ． ∴ ∠bad =∠da c ．
∵ an 是△abc 外角∠cam 的平分線，∴ mae cae ∠=∠．
∴ ∠dae =∠dac +∠cae =2
1180°=90°．又 ∵ ad ⊥bc ， ce ⊥an ，∴ adc cea ∠=∠=90°，∴ 四邊形adce 為矩形．
4、證明：根據題意可知 de c cde 'δδ
則 '''cd c d c de cde ce c e =∠=∠=，，
∵ad//bc ∴∠c ′de=∠ced ，∴∠cde=∠ced ∴cd=ce
∴cd=c ′d=c ′e=ce
∴四邊形cdc ′e 為菱形
1．如圖，正方形abcd 和正方形a ′ob ′c ′是全等圖形，則當正方形a′ob ′c ′繞正方形abcd 的中心o 順時針旋轉的過程中．
（1）四邊形oecf 的面積如何變化．
（2）若正方形abcd 的面積是4，求四邊形oecf 的面積．
解：在梯形abcd 中由題設易得到：
△abd 是等腰三角形，且∠abd=∠cbd=∠adb=30°．過點d 作de ⊥bc ，則de=
12bd=23，be=6。過點a 作af ⊥bd 於f ，則ab=ad=4．故s 梯形abcd =12+43．
2．如圖，abcd 中，o 是對角線ac 的中點，ef ⊥ac 交cd 於e ，交ab 於f ，問四邊形afce 是菱形嗎？請說明理由．
解：四邊形afce 是菱形．
∵四邊形abcd 是平行四邊形．
∴oa=oc ，ce ∥af ．
∴∠eco=∠fao ，∠afo=∠ceo ．
∴△eoc ≌△foa ，∴ce=af ．
而ce ∥af ，∴四邊形afce 是平行四邊形．
又∵ef 是垂直平分線，∴ae=ce ．
∴四邊形afce 是菱形．
3．如圖，在△abc 中，∠b=∠c ，d 是bc 的中點，de ⊥ab ，df ⊥ac ，垂足分別為e 、f ．求證：（1）△bde ≌cdf ．（2）△abc 是直角三角形時，四邊形aedf 是正方形．
19．證明：（1）,90d bc bd cd
de ab df ac bed cfd b c
是的中點
△bde ≌△cdf ．
（2）由∠a=90°，de ⊥ab ，df ⊥ac 知： aedf bed cfe de df =
四邊形是矩形矩形aedf 是正方形．
4．如圖，
abcd 中，e 、f 為對角線ac 上兩點，且ae=cf ，問：四邊形ebfd 是平行四邊形嗎？為什麼？
解：四邊形ebfd 是平行四邊形．在abcd 中，鏈結bd 交ac 於點o ，
則ob=od ，oa=oc ．又∵ae=cf ，∴oe=of ．
∴四邊形ebfd 是平行四邊形．
5．如圖，矩形紙片abcd 中，ab ＝3 cm ，bc ＝4 cm ．現將a ，c 重合，使紙片
摺疊壓平，設摺痕為ef ，試求af 的長和重疊部分△aef 的面積．
【提示】把af 取作△aef 的底，af 邊上的高等於ab ＝3．
由摺疊過程知，ef 經過矩形的對稱中心，fd ＝be ，ae ＝ce ＝af ．由此可以在 △abe 中使用勾股定理求ae ，即求得af 的長．
【答案】如圖，鏈結ac ，交ef 於點o ，
由摺疊過程可知，oa ＝oc ，
∴ o 點為矩形的對稱中心．e 、f 關於o 點對稱，b 、d 也關於o 點對稱．
∴ be ＝fd ，ec ＝af ，
由ec 摺疊後與ea 重合，
∴ ec ＝ea ．
設af ＝x ，則be ＝fd ＝ad －af ＝4－x ，ae ＝af ＝x ．
在rt △abe 中，由勾股定理，得
ab 2＋be 2＝ae 2，即 32＋(4－x ) 2＝x 2． 解得 x ＝
825． ∴ s △aef ＝21×3×825＝16
75（cm 2） 故af 的長為825cm ，△aef 的面積為1675cm 2．
6．如圖，e 是矩形abcd 的邊ad 上一點，且be ＝ed ，p 是對角線bd 上任意一點，pf ⊥be ，pg ⊥ad ，垂足分別為f 、g ．求證：pf ＋pg ＝ab ．
【提示】延長gp 交bc 於h ，只要證ph ＝pf 即可，所以只要證∠pbf ＝∠pbh ．
【答案】∵ be ＝de ，
∴ ∠ebd ＝∠edb ．
∵ 在矩形abcd 中，ad ∥bc ，
∴ ∠dbc ＝∠adb ，
∴ ∠ebd ＝∠cbd ．
延長gp 交bc 於h 點．
∵ pg ⊥ad ，
∴ ph ⊥bc ．
∵ pf ⊥be ，p 是∠ebc 的平分線上．
∴ pf ＝ph ．
∵ 四邊形abhg 中，
∠a ＝∠abh ＝∠bhg ＝∠hga ＝90°．
∴ 四邊形abhg 為矩形，
∴ ab ＝gh ＝gp ＋ph ＝gp ＋pf
故 pf ＋pg ＝ab ．
7．已知：如圖，以正方形abcd 的對角線為邊作菱形aefc ，b 在fe 的延長線上．
求證：ae 、af 把∠bac 三等分．
【提示】證出∠cae ＝30°即可．
【答案】鏈結bd ，交ac 於點o ，作eg ⊥ac ，垂足為g 點．
∵ 四邊形aefc 為菱形，
∴ ef ∥ac ．
∴ ge ＝ob ．
∵ 四邊形abcd 為正方形，
∴ ob ⊥ac ，
∴ ob ge ，
∵ ae ＝ac ，ob ＝21bd ＝2
1ac ， ∴ eg ＝2
1ae ， ∴ ∠eag ＝30°．
∴ ∠bae ＝15°．
在菱形aefc 中，af 平分∠eac ，
∴ ∠eaf ＝∠fac ＝2
1∠eac ＝15° ∴ ∠eab ＝∠fae ＝∠fac ．
即ae 、af 將∠bac 三等分．
8.如圖，已知m 、n 兩點在正方形abcd 的對角線bd 上移動，∠m** 為定角，鏈結am 、an ，並延長分別交bc 、cd 於e 、f 兩點，則∠cme 與∠**f 在m 、n 兩點移動過程，它們的和是否有變化？證明你的結論．
【提示】bd 為正方形abcd 的對稱軸，
∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4，
用∠1和∠2表示∠m** 以及∠emc ＋∠fnc ．
【答案】∵ bd 為正方形abcd 的對稱軸，
∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴ ∠emc ＝180°－∠1－∠3＝180°－2∠1．
同理 ∠fnc ＝180°－2∠2．
∴ ∠emc ＋∠fnc ＝360°－2（∠1＋∠2）．
∵ ∠m** ＝180°－（∠1＋∠2），
∴ ∠emc ＋∠fnc 總與2∠m** 相等．
因此∠emc ＋∠fnc 始終為定角，這定角為∠m** 的2倍．
9．如圖（1），ab 、cd 是兩條線段，m 是ab 的中點，s △dmc 、s △dac 和s △dbc 分別
表示△dmc 、△dac 、△dbc 的面積．當ab ∥cd 時，有
s △dmc ＝2
dbc dac s s1）如圖（2），若圖（1）中ab ∥cd 時，①式是否成立？請說明理由．
（2）如圖（3），若圖（1）中ab 與cd 相交於點o 時，s △dmc 與s △dac 和s △dbc 有何種相等關係？證明你的結論．
圖（1圖（2圖（3）
【提示】△dac ，△dmc 和△dbc 同底cd ，通過它們在cd 邊上的高的關係，來確定它們面積的關係．
【答案】（1）當ab ∥cd 時，①式仍成立．
分別過a 、m 、b 作cd 的垂線，ae 、mn 、bf 的垂足分別為e 、n 、f ．
∵ m 為ab 的中點，
∴ mn ＝
21（ae ＋bf ）． ∴ s △dac ＋s △dbc ＝21dc ·ae ＋21dc ·bf ＝2
1dc ·（ae ＋bf ）＝2 s △dmc ． ∴ s △dmc ＝
2dac dbc s s -
（2）對於圖（3）有s △dmc ＝2
dac dbc s s -． 證法一：∵ m 是ab 的中點，s △adm ＝s △bdm ，s △acm ＝s △bcm ，
s △dbc ＝s △bdm ＋s △bcm ＋s △dmc
s △dac ＝s △adm ＋s △acm －s △dmc
①－②得：s △dbc －s △dac ＝2 s △dmc
∴ s △dmc ＝2
dac dbc s s -．
證法二：如右圖，過a 作cd 的平行線l ，mn ⊥l ，垂足為n ，
be ⊥l ，垂足為e ．設a 、m 、b 到cd 的距離分別h 1、h 0、h 2．則mn ＝h 1＋h 0，be ＝h 2＋h 1．
∵ am ＝bm ，
∴ be ＝2 mn ．
∴ h 2＋h 1＝2（h 1＋h 0），
∴ h 0＝2
12h h -． ∴ s △dmc ＝2dac dbc s s -．
10．已知：如圖，△abc 中，點o 是ac 上邊上乙個動點，過點o 作直線mn ∥bc ，mn 交∠bca 的平分線於點e ，交∠bca 的外角平分線於點f ．
（1）求證eo ＝fo ．
（2）當點o 運動到何處時，四邊形aecf 是矩形？證明你的結論．
【提示】（1）證明oe ＝oc ＝of ；
（2）o 點的位置首先滿足四邊形aecf 是平行四邊形，然後證明它此時也是矩形．
【答案】（1）∵ ce 平分∠bca ，
∴ ∠bce ＝∠eco ．
又 mn ∥bc ，
∴ ∠bce ＝∠ceo ．
∴ ∠eco ＝∠ceo ．
∴ oe ＝oc ．
同理 oc ＝of ．
∴ oe ＝of ．
（2）當點o 運動到ac 邊的中點時，四邊形aecf 是矩形，證明如下：
∵ oe ＝of ，又o 是ac 的中點，
即 oa ＝oc ，
∴ 四邊形aecf 是平行四邊形．
∵ ce 、cf 分別平分∠bca 、∠acd ，且∠bca ＋∠acd ＝180°，
∴ ∠ecf ＝∠eco ＋∠ocf ＝2
1（∠bca ＋∠acd ）＝90°． ∴ □aecf 是矩形．
四邊形證明題
1.如圖，bd是 abcd的對角線，abd的平分線be交ad於點e，cdb的平分線df交bc於點f 求證 abe cdf 2.如圖已知e f分別是 abcd的邊bc ad上的點，且be df 1 求證 四邊形aecf是平行四邊形 2 若bc 10，bac 90 且四邊形aecf是菱形，求be的長 3...
四邊形證明題
21 如右圖所示，在abcd中，bf ad於f，be cd於e，若 a 60 af 3cm，ce 2cm，求abcd的周長 22 如圖所示，在abcd中，e f是對角線bd上的兩點，且be df.求證 1 ae cf 2 ae cf 23 如圖所示，abcd的周長是10 6，ab的長是5，de ab...
證明題 四邊形
四邊形1.已知 如圖，在平行四邊形abcd中，e f是對角線ac上的兩點，且af ec.求證 de bf.3 已知 如圖，在平行四邊形abcd中，點e f g h分別在邊ab bc cd da上，ae cg，ah cf，且eg平分 求證 1 aeh cgf 2 四邊形efgh是菱形 4.如圖，矩形a...