勾股定理常見題型
（一）勾股定理的證明
【例】 如圖所示，可以利用兩個全等的直角三角形拼出乙個梯形．借助這個圖形，你能用面積法來驗證勾股定理嗎？
【練習】
1． 利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個圖形被稱為弦圖．觀察圖形，
驗證：c2＝a2＋b2.
2．乙個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發現了勾股定理的一種新的驗證方法.如圖，火柴盒的乙個側面abcd倒下到ab′c′d′的位置，連線cc′，設ab=a,bc=b,ac=c，請利用四邊形bcc′d′的面積驗證勾股定理：a2+b2=c2.
（二）翻折中的勾股定理
【例】．如圖，摺疊矩形的一邊，使點d落在bc邊的點f處，其中，你知道fc多長嗎？
【練習】
1、 如圖，矩形紙片abcd，ab=2，，沿對角線
bd摺疊（使和落在同一平面內），則a、e兩點
間的距離為
2.如圖長方形abcd中，ab=3，bc=4，將該矩形摺疊，使點c與點a重合，則摺痕ef的長為（ ）
（a）3.74 （b）3.75 （c）3.76 （d）3.77
3．如圖，有乙個直角三角形紙片，兩直角邊ac=6cm,bc=8cm,現將直角邊ac沿∠cab的角平分線ad摺疊，使它落在斜邊ab上，且與ae重合，你能求出cd的長嗎？
4. 如圖,摺疊矩形紙片abcd,先折出對角線bd,再摺疊使ad邊與bd重合,得到摺痕dg,若ab=8. bc=6,求ag的長.
（三）最值問題
1、點a和點b分別是稜長為20cm的正方體盒子上相鄰面的兩個中心，乙隻螞蟻在盒子表面由a處向b處爬行，所走最短路程是（ ）
2．已知長方體的長為2cm、寬為1cm、高為4cm，乙隻螞蟻如果沿長方體的表面從a點爬到b′點,那麼沿哪條路最近,最短的路程是多少?
3、如圖：有一圓柱，它的高等於，底面直徑等於（）在圓柱下底面的點有乙隻螞蟻，它想吃到上底面與相對的點處的食物，需要爬行的最短路程大約
4．如圖，乙個牧童在小河的南4km的a處牧馬，而他正位於他的小屋b的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然後回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？
（四）方位角與勾股定理
【例】甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，沒有了水，需要尋找水源．為了不致於走散，他們用兩部對話機聯絡，已知對話機的有效距離為15千公尺．早晨8：00甲先出發，他以6千公尺/時的速度向東行走，1小時後乙出發，他以5千公尺/時的速度向北行進，上午10：00，甲、乙二人相距多遠？
還能保持聯絡嗎？
【練習】
1．如圖，甲乙兩船從港口a同時出發，甲船以16海浬/時速度向北偏東40°航行，乙船向南偏東50°航行，3小時後，甲船到達c島，乙船到達b島.若c、b兩島相距60海浬，問乙船的航速是多少？
2、如圖，北海海面上，一艘解放軍**正在基地a的正東方向且距a地40海浬的b處訓練，突然接基地命令，要該艦前住c島，接送一病危漁民到基地醫院救治，已知c島在a的北偏東方向，且在b北偏西方向，**從b處出發，平均每小時走20海浬，需要多少時間才能把患病漁民送到基地醫院？（精確到0.1小時，參考資料：
）（五）勾股定理的逆用
【例】如圖，已知四邊形abcd中，∠b=90°，ab=3，bc=4，cd=12，ad=13，求四邊形abcd的面積.
【練習】
1. 如圖，e、f分別是正方形abcd中bc和cd邊上的點，且ab=4，
ce=bc，f為cd的中點，連線af、ae，問△aef是什麼三角形？
請說明理由.
2、 如圖所示，在四邊形abcd中，已知：，
且，求的度數。
2． 如圖，在△abc中，∠acb=90，ac=bc，p是△abc內的一點，
且pb=1，pc=2，pa=3，求∠bpc的度數．
（六）逆用勾股定理作無理線段
【例】右圖是由36個邊長為1的小正方形拼成的，連線小正方形中的點a、b、c、d、e、f得線段ab、bc、cd、de、ef、fa，請說出這些線段中長度是有理數的是哪些？長度是無理數的是哪些？並在數軸上作出表示、、、、的點.
【練習】
1．如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1，任意鏈結這些小正方形的頂點，可得到一些線段.請在圖中畫出這樣的線段，並選擇其中的乙個說明這樣畫的道理.
《勾股定理》考點專項訓練
考點一、已知兩邊求第三邊
1．在直角三角形中,若兩直角邊的長分別為1cm，2cm ，則斜邊長為
2．已知直角三角形的兩邊長為3、2，則另一條邊長是
3．在乙個直角三角形中，若斜邊長為5cm，直角邊的長為3cm，則另一條直角邊的長為( ).
a．4cm b．4cm或 c． d．不存在
4．在數軸上作出表示的點．
5．一種盛飲料的圓柱形杯，測得內部底面半徑為2.5㎝，
高為12㎝，吸管放進杯裡，杯口外面至少要露出4.6㎝，問吸管要做多長？
考點二、利用列方程求線段的長
1．把一根長為10㎝的鐵絲彎成乙個直角三角形的兩條直角邊，如果要使三角形的面積是9㎝2，那麼還要準備一根長為____的鐵絲才能把三角形做好．
2．如圖，將乙個邊長分別為4、8的長方形紙片abcd摺疊，
使c點與a點重合，則eb的長是（ ）．
a．3b．4
cd．5
3． 如圖，鐵路上a，b兩點相距25km，c，d為兩村莊，da⊥ab於a，
cb⊥ab於b，已知da=15km，cb=10km，現在要在鐵路ab上建一
個土特產品收購站e，使得c，d兩村到e站的距離相等，則e站
應建在離a站多少km處？
4．如圖，某學校（a點）與公路（直線l）的距離為300公尺，
又與公路車站（d點）的距離為500公尺，現要在公路上建乙個小
商店（c點），使之與該校a及車站d的距離相等，求商店與車站
之間的距離．
考點三、綜合其它考點的應用
1．直角三角形中，以直角邊為邊長的兩個正方形的面積為7，8，則以斜邊為邊長的正方形的面積為
2．如圖乙個圓柱，底圓周長6cm，高4cm，乙隻螞蟻沿外
壁爬行，要從a點爬到b點，則最少要爬行 cm
3．小雨用竹桿扎了乙個長80cm、寬60cm的長方形框架，由於四邊形容易變形，需要用一根竹桿作斜拉桿將四邊形定形，則斜拉桿最長需________cm ．
4．小楊從學校出發向南走150公尺，接著向東走了360公尺到九龍山商場，學校與九龍山商場的距離是公尺．
5．如圖：帶陰影部分的半圓的面積是多少？（取3）
6．已知，如圖在δabc中，ab=bc=ca=2cm，ad是邊bc上的高．
求 ①ad的長； ②δabc的面積．
7．在直角δabc中，斜邊長為2，周長為2+，求δabc的面積．
8．已知：如圖，在△abc中，∠c=90°，∠b=30°，ab的垂直平分線交bc於d，垂足為e，bd=4cm．求ac的長．
9．已知：如圖，△abc中，ab＞ac，ad是bc邊上的高．
求證：ab2-ac2=bc(bd-dc)．
10．已知直角三角形兩直角邊長分別為5和12， 求斜邊上的高．
11．小明想測量學校旗桿的高度，他採用如下的方法：先降旗
桿上的繩子接長一些，讓它垂到地面還多1公尺，然後將繩子
下端拉直，使它剛好接觸地面，測得繩下端離旗桿底部5公尺，
你能幫它計算一下旗桿的高度．
12．有乙隻鳥在一棵高4公尺的小樹梢上捉蟲子，它的夥伴在離該樹12公尺，高20公尺的一棵大樹的樹梢上發出友好的叫聲，它立刻以4公尺/秒的速度飛向大樹樹梢．那麼這只鳥至少幾秒才能到達大樹和夥伴在一起．
13． 如圖∠b=90，ab＝16cm，bc＝12cm，ad＝21cm,cd=29cm
求四邊形abcd的面積．
14．如圖，乙個梯子ab長2.5 公尺，頂端a靠在牆ac上，這時
梯子下端b與牆角c距離為1.5公尺，梯子滑動後停在de的位置
上，測得bd長為0.5公尺，求梯子頂端a下落了多少公尺？
15．在加工如圖的墊模時，請根據圖中的尺寸，求墊模中ab間的尺寸．
考點四、判別乙個三角形是否是直角三角形
1．若△abc的三個外角的度數之比為3：4：5，最大邊ab與最小邊bc的關係是
2．若乙個三角形的周長12cm,一邊長為3cm,其他兩邊之差為cm,則這個三角形
是3．將直角三角形的三邊擴大相同的倍數後，得到的三角形是 ( )．
a.直角三角形 b.銳角三角形 c.鈍角三角形 d.不是直角三角形
4．下列命題中是假命題的是( )．
a．△abc中,若∠b=∠c－∠a,則△abc是直角三角形.
b．△abc中,若a2=(b+c)(b－c),則△abc是直角三角形.
c．△abc中,若∠a∶∠b∶∠c=3∶4∶5則△abc是直角三角形.
d．△abc中,若a∶b∶c=5∶4∶3則△abc是直角三角形.
5．在△abc中，，那麼△abc是（ ）．
a．等腰三角形 b．鈍角三角形 c．直角三角形 d．等腰直角三角形
6．如圖，四邊形abcd中，f為dc的中點，e為bc上一點，
且．你能說明∠afe是直角嗎？
考點五、開放型試題
1．在直線l上依次擺放著七個正方形(如圖所示)．已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是s1、s2、s3、s4，則s1＋s2＋s3＋s4＝_______．
2．如圖①，分別以直角三角形abc三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用s1、s2、s3表示，則不難證明s1=s2+s3 .
(1) 如圖②，分別以直角三角形abc三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用s1、s2、s3表示，那麼s1、s2、s3之間有什麼關係？(不必證明)
《勾股定理》考點複習
勾股定理 專題複習 一 知識要點 1 勾股定理 勾股定理 直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。也就是說 如果直角三角形的兩直角邊為a b，斜邊為c 那麼 a2 b2 c2。公式的變形 a2 c2 b2，b2 c2 a2 2 勾股定理的逆定理 如果三角形abc的三邊長分別是a，b，c，且滿足a2...
勾股定理考點分析
考點一 已知兩邊求第三邊 1 在直角三角形中,若兩直角邊的長分別為1cm，2cm 則斜邊長為 2 已知直角三角形的兩邊長為3 2，則另一條邊長是 3 在乙個直角三角形中，若斜邊長為5cm，直角邊的長為3cm，則另一條直角邊的長為 a 4cm b 4cm或 c d 不存在 4 在數軸上作出表示的點 5...
19 9 2 勾股定理 勾股定理的應用
19.9 2 勾股定理 勾股定理的應用 要點歸納 應用勾股定理解決實際問題，要注意分析題目的條件，關注其中是否存在直角三角形。如果存在直角三角形，根據所給的三邊的條件，建立方程，從而使問題解決 如果問題中沒有直角三角形，可以通過新增輔助線構造出直角三角形，尋求定量關係，再根據勾股定理建立相應的方程。...