線性規劃講義
（1）了解線性規劃的意義、了解可行域的意義；
（2）掌握簡單的二元線性規劃問題的解法．
（3）鞏固**法求線性目標函式的最大、最小值的方法；
（4）會用畫網格的方法求解整數線性規劃問題．
（5）培養學生的數學應用意識和解決問題的能力
【知識梳理】
簡單的線性規劃問題
一、知識點
1. 目標函式: ｐ ＝２ｘ＋ｙ是乙個含有兩個變數 ｘ 和ｙ 的函式，稱為目標函式．
2.可行域:約束條件所表示的平面區域稱為可行域.
3. 整點:座標為整數的點叫做整點．
4.線性規劃問題:求線性目標函式**性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規劃問題．只含有兩個變數的簡單線性規劃問題可用**法來解決．
5. 整數線性規劃:要求量取整數的線性規劃稱為整數線性規劃．
二、疑難知識導析
線性規劃是一門研究如何使用最少的人力、物力和財力去最優地完成科學研究、工業設計、經濟管理中實際問題的專門學科.主要在以下兩類問題中得到應用：一是在人力、物力、財務等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給一項任務，如何合理安排和規劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務.
1.對於不含邊界的區域，要將邊界畫成虛線．
2.確定二元一次不等式所表示的平面區域有多種方法，常用的一種方法是「選點法」：任選乙個不在直線上的點，檢驗它的座標是否滿足所給的不等式，若適合，則該點所在的一側即為不等式所表示的平面區域；否則，直線的另一側為所求的平面區域．若直線不過原點，通常選擇原點代入檢驗．
3. 平移直線 ｙ＝－kｘ ＋ｐ時，直線必須經過可行域．
4.對於有實際背景的線性規劃問題，可行域通常是位於第一象限內的乙個凸多邊形區域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點．
5.簡單線性規劃問題就是求線性目標函式**性約束條件下的最優解，無論此類題目是以什麼實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標函式；（2）由二元一次不等式表示的平面區域做出可行域；（3）在可行域內求目標函式的最優解.
積儲知識：
一． 1.點p(x0,y0)在直線ax+by+c=0上，則點p座標適合方程，即ax0+by0+c=0
2. 點p(x0,y0)在直線ax+by+c=0上方（左上或右上），則當b>0時，ax0+by0+c>0;當b<0時，ax0+by0+c<0
3. 點p(x0,y0)在直線ax+by+c=0下方（左下或右下），當b>0時，ax0+by0+c<0;當b<0時，ax0+by0+c>0
注意：（1）在直線ax+by+c=0同一側的所有點，把它的座標(x,y)代入ax+by+c,所得實數的符號都相同,
（2）在直線ax+by+c=0的兩側的兩點，把它的座標代入ax+by+c,所得到實數的符號相反,
即：1.點p(x1,y1)和點q(x2,y2)在直線 ax+by+c=0的同側，則有（ax1+by1+c）( ax2+by2+c)>0
2.點p(x1,y1)和點q(x2,y2)在直線 ax+by+c=0的兩側，則有（ax1+by1+c）( ax2+by2+c)<0
二.二元一次不等式表示平面區域:
①二元一次不等式ax+by+c>0（或<0）在平面直角座標系中表示直線ax+by+c=0某一側所有點組成的平面區域. 不包括邊界;
②二元一次不等式ax+by+c≥0（或≤0）在平面直角座標系中表示直線ax+by+c=0某一側所有點組成的平面區域且包括邊界;
注意：作圖時,不包括邊界畫成虛線;包括邊界畫成實線.
三、判斷二元一次不等式表示哪一側平面區域的方法:
方法一:取特殊點檢驗; 「直線定界、特殊點定域
原因:由於對在直線ax+by+c=0的同一側的所有點(x,y),把它的座標(x,y)代入ax+by+c,所得到的實數的符號都相同,所以只需在此直線的某一側取乙個特殊點(x0,y0),從ax0+by0+c的正負即可判斷ax+by+c>0表示直線哪一側的平面區域.特殊地, 當c≠0時，常把原點作為特殊點，當c=0時，可用（0，1）或（1，0）當特殊點，若點座標代入適合不等式則此點所在的區域為需畫的區域，否則是另一側區域為需畫區域。
方法二：利用規律：
1.ax+by+c>0,當b>0時表示直線ax+by+c=0上方（左上或右上），
當b<0時表示直線ax+by+c=0下方（左下或右下）;
2.ax+by+c<0,當b>0時表示直線ax+by+c=0下方（左下或右下）
當b<0時表示直線ax+by+c=0上方（左上或右上）。
四、線性規劃的有關概念：
①線性約束條件線性目標函式：
③線性規劃問題可行解、可行域和最優解：
【經典例題】
一．建構數學
1．問題：在約束條件下，如何求目標函式的最大值？
首先，作出約束條件所表示的平面區域，這一區域稱為可行域，如圖（1）所示．
其次，將目標函式變形為的形式，它表示一條直線，斜率為，且在軸上的截距為．
平移直線，當它經過兩直線與的交點時，直線在軸上的截距最大，如圖（2）所示．
因此，當時，目標函式取得最大值，即當甲、乙兩種產品分別生產和時，可獲得最大利潤萬元．
這類求線性目標函式**性約束條件下的最大值或最小值問題，通常稱為線性規劃問題．其中使目標函式取得最大值，它叫做這個問題的最優解．對於只含有兩個變數的簡單線性規劃問題可用**法來解決．
說明：平移直線時，要始終保持直線經過可行域（即直線與可行域有公共點）．
二．數**用
例1．設，式中變數滿足條件，求的最大值和最小值．
解：由題意，變數所滿足的每個不等式都表示乙個平面區域，不等式組則表示這些平面區域的公共區域．由圖知，原點不在公共區域內，當時，，即點在直線：上，
作一組平行於的直線：，，
可知：當在的右上方時，直線上的點
滿足，即，
而且，直線往右平移時，隨之增大．
由圖象可知，
當直線經過點時，對應的最大，
當直線經過點時，對應的最小，
所以，，．
例2．設，式中滿足條件，求的最大值和最小值．
解：由引例可知：直線與所在直線平行，
則由引例的解題過程知，
當與所在直線重合時最大，此時滿足條件的最優解有無數多個，
當經過點時，對應最小，
∴，．例3．已知滿足不等式組，求使取最大值的整數．
解：不等式組的解集為三直線：，：，：所圍成的三角形內部（不含邊界），設與，與，與交點分別為，則座標分別為，， ，
作一組平行線：平行於：，
當往右上方移動時，隨之增大，
∴當過點時最大為，但不是整數解，
又由知可取，
當時，代入原不等式組得， ∴；
當時，得或， ∴或；
當時，， ∴，
故的最大整數解為或．
例4．投資生產a產品時，每生產100噸需要資金200萬元，需場地200平方公尺，可獲利潤300萬元；投資生產b產品時，每生產100公尺需要資金300萬元，需場地100平方公尺，可獲利潤200萬元．現某單位可使用資金1400萬元，場地900平方公尺，問：應作怎樣的組合投資，可使獲利最大？
分析：這是乙個二元線性規劃問題，可先將題中資料整理成下表，以方便理解題意：
然後根據此表資料，設出未知數，列出約束條件和目標函式，最後用**法求解
解：設生產a產品百噸，生產b產品公尺，利潤為百萬元，
則約束條件為，目標函式為．
作出可行域（如圖），
將目標函式變形為，它表示斜率為，在軸上截距為的直線，平移直線，當它經過直線與和的交點時，最大，也即最大．此時，．
因此，生產a產品百噸，生產b產品公尺，利潤最大為1475萬元．
說明：（1）解線性規劃應用題的一般步驟：①設出未知數；②列出約束條件（要注意考慮資料、變數、不等式的實際含義及計量單位的統一）；③建立目標函式；④求最優解．
1、對於有實際背景的線性規劃問題，可行域通常是位於第一象限內的乙個凸多邊形區域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點．
三、畫區域
1. 用不等式表示以，，為頂點的三角形內部的平面區域．
分析：首先要將三點中的任意兩點所確定的直線方程寫出，然後結合圖形考慮三角形內部區域應怎樣表示。
解：直線的斜率為：，其方程為．
可求得直線的方程為．直線的方程為．
的內部在不等式所表示平面區域內，同時在不等式所表示的平面區域內，同時又在不等式所表示的平面區域內（如圖）．
所以已知三角形內部的平面區域可由不等式組表示．
說明：用不等式組可以用來平面內的一定區域，注意三角形區域內部不包括邊界線．
2 畫出表示的區域，並求所有的正整數解．
解：原不等式等價於而求正整數解則意味著，還有限制條件，即求．
依照二元一次不等式表示的平面區域，
知表示的區域如下圖：
對於的正整數解，容易求
得，在其區域內的整數解為
、、、、．
3設，，；，，，用圖表示出點的範圍．
分析：題目中的，與，，是線性關係．
可借助於，，的範圍確定的範圍．
解：由得
由，，得畫出不等式組所示平面區域如圖所示．
說明：題目的條件隱蔽，應考慮到已有的，，的取值範圍．借助於三元一次方程組分別求出，，，從而求出，所滿足的不等式組找出的範圍．
4、已知x,y,a,b滿足條件：,2x+y+a=6,x+2y+b=6
（1）試畫出（）的存在的範圍； （2）求的最大值。
四、畫區域，求面積
例3 求不等式組所表示的平面區域的面積．
分析：關鍵是能夠將不等式組所表示的平面區域作出來，判斷其形狀進而求出其面積．而要將平面區域作出來的關鍵又是能夠對不等式組中的兩個不等式進行化簡和變形，如何變形？需對絕對值加以討論．
解：不等式可化為或；
不等式可化為或．
在平面直角座標系內作出四條射線：
， ，則不等式組所表示的平面區域如圖，由於與、與互相垂直，所以平面區域是乙個矩形．
根據兩條平行線之間的距離公式可得矩形的兩條邊的長度分別為和．所以其面積為．
五、求最值
一、與直線的截距有關的最值問題
1.如圖1所示，已知中的三頂點，
點在內部及邊界運動，請你**並討論以下問題：
①在點a 處有最大值 6 ，在邊界bc處有最小值 1 ；
②在點c 處有最大值 1 ，在點b 處有最小值
2若、滿足條件求的最大值和最小值．
不等式及線性規劃
高考考情解讀 1.本講在高考中主要考查兩數的大小比較 一元二次不等式的解法 基本不等式及線性規劃問題 基本不等式主要考查求最值問題，線性規劃主要考查直接求最優解和已知最優解求引數的值或取值範圍.2.多與集合 函式等知識交匯命題，以選擇 填空題的形式呈現，屬中檔題 1 四類不等式的解法 1 一元二次不...
不等式 含線性規劃
不等式1.2010上海文 15.滿足線性約束條件的目標函式的最大值是 a 1bc 2d 3.2.2010浙江理 7 若實數，滿足不等式組且的最大值為9，則實數 abc 1d 2 3.2010全國卷2理 5 不等式的解集為 ab cd 4.2010全國卷2文 2 不等式 0的解集為 a b c d 5...
不等式與線性規劃重點
不等式與線性規劃重點 難點 易錯點分析 1 不等式的概念與性質 1 由基本性質比較大小 證明不等式 1 作差 2 作商 3 分析比較 4 取平方 5 分子或分母有理化 6 影象 7 單調性 2 根據均值不等式比較大小 證明不等式 2 範圍問題 1 解方程法 2 待定係數法 3 確定平面區域法 3 利...