高考複習專題：簡單的線性規劃
專題要點
簡單的線性規劃：能從實際問題中抽象出二元一次不等式組。 理解二元一次不等式組表示平面的區域，能夠準確的畫出可行域。
能夠將實際問題抽象概括為線性規劃問題，培養應用線性規劃的知識解決實際問題的能力。
線性規劃等內容已成為高考的熱點，在複習時要給於重視,另外，不等式的證明、繁瑣的推理逐漸趨於淡化,在複習時也應是注意。
考查主要有三種：一是求給定可行域的最優解；二是求給定可行域的面積；三是給出可行域的最優解，求目標函式（或者可行域）中引數的範圍。多以選擇填空題形式出現，不排除以解答題形式出現。
考綱要求
了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組；了解線性規劃的意義並會簡單應用。
典例精析
線性規劃是高考熱點之一,考查內容設計最優解,最值,區域面積與形狀等,通常通過畫可行域,移線,數形結合等方法解決問題。
考點1：求給定可行域的最優解
例1.（2012廣東文）已知變數、滿足約束條件,則的最小值為 （ ）
a．3 b．1 c． d．
解析:c.畫出可行域,可知當代表直線過點時,取到最小值.聯立,解得,所以的最小值為.
例2.（2009天津）設變數x，y滿足約束條件：.則目標函式z=2x+3y的最小值為
（a）6 （b）7 （c）8 （d）23
解析：畫出不等式表示的可行域，如右圖，
讓目標函式表示直線在可行域上平移，知在點b自目標函式取到最小值，解方程組得，所以，故選擇b.
發散思維：若將目標函式改為求的取值範圍；或者改為求的取值範圍；
或者改為求的最大值；或者或者改為求的最大值。
方法思路：解決線性規則問題首先要作出可行域，再注意目標函式所表示的幾何意義，數形結合找出目標函式達到最值時可行域的頂點（或邊界上的點），但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決。
練習1.（2012天津）設變數滿足約束條件,則目標函式的最小值為 （ ）
a． b． c． d．3
【解析】做出不等式對應的可行域如圖,由得,由圖象可知當直線經過點時,直線的截距最大,而此時最小為,選b.
練習2．在約束條件下，的最小值為________．
解析在座標平面內畫出題中的不等式組表示的平面區域，注意到可視為該區域內的點(x，y)與點(1,0)之間距離，結合圖形可知，該距離的最小值等於點(1,0)到直線2y－x＝1的距離，即為＝. 答案
練習3、（2011廣東文、理數）已知平面直角座標系xoy上的區域d由不等式組給定．若m（x，y）為d上的動點，點a的座標為，則z=的最大值為（ ）
a、3 b、4 c、3 d、4
解答：解：首先做出可行域，如圖所示：
z==，即y=﹣x+z 做出l0：y=﹣x，將此直線平行移動，當直線y=﹣x+z經過點a時，直線在y軸上截距最大時，z有最大值．
因為a（，2），所以z的最大值為4故選b
練習4.（2011福建）已知o是座標原點，點a(－1,1)，若點m(x，y)為平面區域上的乙個動點，則·的取值範圍是( )
a．[－1,0] b．[0,1] c．[0,2d．[－1,2]
【分析】 由於·＝－x＋y，實際上就是**性約束條件下，求線性目標函式z＝－x＋y的最大值和最小值．
【解析】 畫出不等式組表示的平面區域(如圖)，又·＝－x＋y，取目標函式z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率為1的一組平行線．
當它經過點c(1,1)時，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0；當它經過點b(0,2)時，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2.
∴z的取值範圍是[0,2]，即·的取值範圍是[0,2]，故選c.
考點2：求給定可行域的面積
例3．在平面直角座標系中，不等式組表示的平面區域的面積為（ ）
abcd．
答案c考點3：給出最優解求目標函式（或者可行域）中引數
例4．(2012廣州一模文數)在平面直角座標系中，若不等式組表示的
平面區域的面積為4，則實數的值為
a．1b．2c．3d．4
答案b練習5.（2009福建卷文）在平面直角座標系中，若不等式組（為常數）所表示的平面區域內的面積等於2，則的值為
a. -5b. 1c. 2d. 3
解析解析如圖可得黃色即為滿足的直線恆過（0，1），故看作直線繞點（0，1）旋轉，當a=-5時，則可行域不是乙個封閉區域，當a=1時，面積是1；a=2時，面積是；當a=3時，面積恰好為2，故選d.
練習6. 設二元一次不等式組所表示的平面區域為m，使函式y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象過區域m的a的取值範圍是c
（a）[1,3b)[2c)[2,9d)[,9]
練習7．設z＝x＋y，其中x、y滿足，若z的最大值為6，則z的最小值為
a．－3b．3
c．2d．－2
解析如圖所示，作出不等式組所確定的可行域△oab，目標函式的幾何意義是直線x＋y－z＝0在y軸上的截距，由圖可知，當目標函式經過點a時，取得最大值，由解得a(k，k)，故最大值為z＝k＋k＝2k，由題意，得2k＝6，故k＝3.當目標函式經過點b時，取得最小值，由解得b(－6,3)，故最小值為z＝－6＋3＝－3.故選a.
答案 a
練習8.（2012課標文）已知正三角形abc的頂點a(1,1),b(1,3),頂點c在第一象限,若點(x,y)在△abc內部,則的取值範圍是 （ ）
a．(1-,2) b．(0,2) c．(-1,2) d．(0,1+)
【命題意圖】本題主要考查簡單線性規劃解法,是簡單題.
【解析】有題設知c(1+,2),作出直線:,平移直線,有影象知,直線過b點時, =2,過c時, =,∴取值範圍為(1-,2),故選a.
練習9.（2012福建文）若直線上存在點滿足約束條件,則實數的最大值為（ ）
a．-1 b．1 c． d．2
【答案】b
【解析】與的交點為,所以只有才能符合條件,b正確.
【考點定位】本題主要考查一元二次不等式表示平面區域,考查分析判斷能力.邏輯推理能力和求解能力.
練習10.（2012福建理）若函式影象上存在點滿足約束條件,則實數的最大值為（ ）
a． b．1 c． d．2
【答案】b
【解析】與的交點為,所以只有才能符合條件,b正確.
【考點定位】本題主要考查一元一次不等式組表示平面區域,考查分析判斷能力、邏輯推理能力和求解計算能力
考點四：實際應用與大題
例5（2009四川卷理）某企業生產甲、乙兩種產品，已知生產每噸甲產品要用a原料3噸、b原料2噸；生產每噸乙產品要用a原料1噸、b原料3噸。銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元，每噸乙產品可獲得利潤3萬元，該企業在乙個生產週期內消耗a原料不超過13噸，b原料不超過18噸，那麼該企業可獲得最大利潤是
a. 12萬元 b. 20萬元 c. 25萬元 d. 27萬元
解析：設甲、乙種兩種產品各需生產、噸，可使利潤最大，故本題即
已知約束條件，求目標函式的最大值，可求出最優解為，故，故選擇d。
練習11. （2012四川理）某公司生產甲、乙兩種桶裝產品.已知生產甲產品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生產乙產品1桶需耗原料2千克,原料1千克.
每桶甲產品的利潤是300元,每桶乙產品的利潤是400元.公司在生產這兩種產品的計畫中,要求每天消耗、原料都不超過12千克.通過合理安排生產計畫,從每天生產的甲、乙兩種產品中,公司共可獲得的最大利潤是 （ ）
a．1800元 b．2400元 c．2800元 d．3100元
[答案]c
[解析]設公司每天生產甲種產品x桶,乙種產品y桶,公司共可獲得利潤為z元/天,則由已知,得 z=300x+400y
且 畫可行域如圖所示,目標函式z=300x+400y可變形為
y= 這是隨z變化的一族平行直線
解方程組即a(4,4)
[點評]解決線性規劃題目的常規步驟:一列(列出約束條件)、二畫(畫出可行域)、三作(作目標函式變形式的平行線)、四求(求出最優解).
練習12.(2012廣州二模文數)甲、乙、丙三種食物的維生素含量及成本如下表所示：
某工廠欲將這三種食物混合成100kg的混合食物，設所用食物甲、乙、丙的重量分別為
（1）試以表示混合食物的成本;
（2）若混合食物至少需含35000單位維生素及40000單位維生素，問取什麼值時，混合食物的成本最少？
(本小題主要考查線性規劃等知識, 考查資料處理能力、運算求解能力和應用意識)
（1）解：依題意得2分
由，得，代入，
得3分(1) 解:依題意知、、要滿足的條件為 ……… 6分
把代入方程組得…… 9分
如圖可行域（陰影部分）的乙個頂點為.… 10分
讓目標函式在可行域上移動,
由此可知在處取得最小值
……… 11分
∴當(kg), (kg), (kg)時, 混合食物的成本最少. ……… 12分
【點評】解答線性規劃應用題的一般步驟可歸納為:
(1)審題——仔細閱讀,明確有哪些限制條件,目標函式是什麼?
(2)轉化——設元.寫出約束條件和目標函式;
專題七簡單的線性規劃
一 預備知識 1 解方程組 會解二元一次方程組 複習題 1 解方程組.2 解方程組 2 不等式表示的區域 正確畫出不等式表示的區域 複習題 1 在直角座標系中畫出不等式表示的區域.2 在直角座標系中畫出不等式表示的區域.3 在直角座標系中畫出不等式表示的區域.4 在直角座標系中畫出不等式組表示的區域...
簡單的線性規劃
教學目標 1 使學生了解並會用二元一次不等式表示平面區域以及用二元一次不等式組表示平面區域 2 了解線性規化的意義以及線性約束條件 線性目標函式 線性規化問題 可行解 可行域以及最優解等基本概念 3 了解線性規化問題的 法，並能應用它解決一些簡單的實際問題 4 培養學生觀察 聯想以及作圖的能力，滲透...
簡單的線性規劃
3.3 簡單的線性規劃 導學案 姓名班級組別組名 學習目標 1 了解線性約束條件 線性目標函式 可行域 可行解 最優解的基本概念 2 理解明確線性規劃問題的解決方法 3 能用線性規劃的方法解決一些簡單的實際問題，並體會數學知識形成過程中所蘊涵的思想和方法。重點難點 重點 利用可行域求目標函式的最值問...