第七講. 不等式和線性規劃
1、不等式的基本概念
（1） 不等（等）號的定義：
（2） 不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.
（3） 同向不等式與異向不等式.
（4） 同解不等式與不等式的同解變形.
2.不等式的基本性質
（1）（對稱性）
（2）（傳遞性）
（3）（加法單調性）
（4）（同向不等式相加）
（5）（異向不等式相減）
（6）（7）（乘法單調性）
（8）（同向不等式相乘）
（異向不等式相除）
（倒數關係）
（11）（平方法則）
（12）（開方法則）
3.幾個重要不等式
（1）（2）（當僅當a=b時取等號）
（3）如果a,b都是正數，那麼 （當僅當a=b時取等號）
極值定理：若則：
如果p是定值, 那麼當x=y時，s的值最小；
如果s是定值, 那麼當x=y時，p的值最大.
利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等.
（當僅當a=b時取等號）
（7）4.幾個著名不等式
（1）平均不等式： 如果a,b都是正數，那麼 （當僅當a=b時取等號）即：平方平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均（a、b為正數）：
特別地，（當a = b時，）
常用不等式的放縮法：①
②5.不等式證明的幾種常用方法
比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根軸法）.
步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結），定解.
特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；
②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的討論.
（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則
（3）無理不等式：轉化為有理不等式求解
（4）.指數不等式：轉化為代數不等式
（5）對數不等式：轉化為代數不等式
（6）含絕對值不等式
應用分類討論思想去絕對值； 應用數形思想；
應用化歸思想等價轉化
注：常用不等式的解法舉例（x為正數）：
①②類似於，③
7、二次函式的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關係：
．8、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．
9、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的和的取值構成有序數對，所有這樣的有序數對構成的集合．
10、在平面直角座標系中，已知直線，座標平面內的點．
①若，，則點在直線的上方．
②若，，則點在直線的下方．
11、在平面直角座標系中，已知直線．
①若，則表示直線上方的區域；表示直線下方的區域．
②若，則表示直線下方的區域；表示直線上方的區域．
12、線性約束條件：由，的不等式（或方程）組成的不等式組，是，的線性約束條件．
目標函式：欲達到最大值或最小值所涉及的變數，的解析式．
線性目標函式：目標函式為，的一次解析式．
線性規劃問題：求線性目標函式**性約束條件下的最大值或最小值問題．
可行解：滿足線性約束條件的解．
可行域：所有可行解組成的集合．
最優解：使目標函式取得最大值或最小值的可行解．
典型題庫
第一部分
例1 解不等式
分析：解含有絕對值的不等式，通常是利用絕對值概念，將不等式中的絕對符號去掉，轉化成與之同解的不含絕對值的不等式（組），再去求解．去絕對值符號的關鍵是找零點（使絕對值等於零的那個數所對應的點），將數軸分成若干段，然後從左向右逐段討論．
解：令，∴，令，∴，如圖所示．
（1）當時原不等式化為
∴與條件矛盾，無解．
（2）當時，原不等式化為．
∴，故．
（3）當時，原不等式化為
．∴，故．
綜上，原不等式的解為．
說明：要注意找零點去絕對值符號最好畫數軸，零點分段，然後從左向右逐段討論，這樣做條理分明、不重不漏．
例2 求使不等式有解的的取值範圍．
分析：此題若用討論法，可以求解，但過程較繁；用絕對值的幾何意義去求解十分簡便．
解法一：將數軸分為三個區間
當時，原不等式變為有解的條件為，即；
當時，得，即；
當時，得，即，有解的條件為∴．
以上三種情況中任乙個均可滿足題目要求，故求它們的並集，即仍為．
解法二：設數，3，4在數軸上對應的點分別為p，a，b，如圖，由絕對值的幾何定義，原不等式的意義是p到a、b的距離之和小於．
因為，故數軸上任一點到a、b距離之和大於（等於1），即，故當時，有解．
一、選擇題：
1. 不等式組表示的平面區域是（ ）
2. 目標函式，將其看成直線方程時，的意義是（ ）
a.該直線的橫截距b.該直線的縱截距
c.該直線縱截距的一半的相反數 d.該直線縱截距的兩倍的相反數
3. 若，滿足，則的取值範圍是（ ）
a. b. c. d.
4. 方程在上有實根，則的取值範圍是（ ）
a. b. c. d.
5. 某產品的總成本（萬元）與產量（臺）之間的函式關係式是，
，若每台產品的售價為25萬元，則生產者不虧本時（銷售收入不小於總體）的最低產量是（ ）
a.100臺 b.120臺 c.150臺 d.180臺
二、填空題：
6. 不等式的解集是
7. 若，，則、的大小關係是
8. 已知點和點在直線的兩側，則的取值範圍是 .
三、解答題：
9．已知，，求的範圍.
10. 求下列函式的最值.
（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最小值；
（3）已知，求的最大值.
11. 又一年冬天即將來臨，學校小賣部準備制訂新一年的熱飲銷售計畫. 根據去年的統計，當熱飲單價為1.
5元/杯時，每日可賣出熱飲800杯，且熱飲單價每提高1毛時，日銷售量就降低20杯. 若該熱飲成本為0.9元/杯，為使今年的熱飲日銷售利潤不低於720元，應如何控制熱飲的單價？
答案第一部分1～5 bcddc
6. 7.＞ 8.
9. 解：作出不等式組所表示的平面區域如右圖所示，由圖可知，當直線繫過點、時，分別取得最大值和最小值.
由解得；由解得.
則，，所以範圍為.
10.解：（1），，，
當且僅當，即時，.
（2），，而，
當且僅當，時，.
（3），，則，
當且僅當，即時，.
11. 解：設該熱飲的銷售單價提高元，由題意知得
，化簡有，解得.
故熱飲的單價控制在之間時，今年的熱飲日銷售利潤不低於720元.
第二部分
12．已知(3,1)和(－4,6)在直線3x－2y＋a＝0的兩側，則a的取值範圍是( )
a．a<1或a>24b．a＝7或a＝24
c．－7解析：選c.將點代入直線中，只要異號即可．
13．(2023年高考福建卷)在平面直角座標系中，若不等式組(a為常數)所表示的平面區域的面積等於2，則a的值為( )
a．－5b．1
c．2d．3
解析：選d.由得a(1，a＋1)，
由得b(1,0)，
由得c(0,1)．
∵△abc的面積為2，且a>－1，
∴s△abc＝|a＋1|＝2，∴a＝3.
14.已知實數x，y滿足，如果目標函式z＝x－y的最小值為－1，則實數m等於( )
a．7b．5
c．4d．3
解析：選b.將直線y＝x＋1與y＝2x－1聯立解得a(2,3)，據題意即為最優解，又點a必在直線x＋y＝m上，代入求得m＝5.
15．(2023年高考上海卷)已知實數x、y滿足則目標函式z＝x－2y的最小值是________．
解析：如圖作出陰影部分為可行域，由得即a(3,6)，經過分析可知直線z＝x－2y經過a點時取最小值為－9.
答案：－9
16．不等式組所確定的平面區域記為d.點(x，y)是區域d上的點，若圓o：x2＋y2＝r2上的所有點都在區域d上，則圓o的面積的最大值是________．
解析：畫出不等式組所表示的平面區域(略)，其中離原點最近的距離為，故r的最大值為，所以圓o的面積的最大值是.
答案：17．如圖，△abc中，a(0,1)，b(－2，2)，c(2,6)，寫出△abc區域所表示的二元一次不等式組．
解：由兩點式得直線ab、bc、ca的方程並化簡為：
直線ab：x＋2y－2＝0，直線bc：x－y＋4＝0，直線ca：5x－2y＋2＝0.
∴原點(0,0)不在各直線上，將原點座標代入到各直線方程左端，結合式子的符號可得不等式組為.
18．若線性目標函式z＝x＋y**性約束條件下取得最大值時的最優解只有乙個，則實數a的取值範圍是________．
解析：作出可行域如圖：
由圖可知直線y＝－x與y＝－x＋3平行，若最大值只有乙個，則直線y＝a必須在直線y＝2x與y＝－x＋3的交點(1,2)的下方，故a≤2.
答案：a≤2
19．設不等式組所表示的平面區域為s，則s的面積為________；若a、b為s內的兩個點，則|ab|的最大值為________．
解析：原不等式組可以化為
畫出對應的平面區域圖形如圖所示的陰影部分．它是乙個直角梯形，且座標依次為e(2,0)，f(2,3)，c(－2,3)，d(－2，－2)．
故梯形面積為×4×(3＋5)＝16；顯然在平面區域內，d、f兩點距離最大為，即|ab|的最大值為.
答案：16
20．求由約束條件確定的平面區域的面積s和周長c.
解：由約束條件作出其所確定的平面區域(陰影部分)，其四個頂點為o(0,0)，b(3,0)，a(0,5)，p(1,4)．過p點作y軸的垂線，垂足為c.
則ac＝|5－4|＝1，pc＝|1－0|＝1，
oc＝4，ob＝3，ap＝，
pb＝＝2.
得s△acp＝ac·pc＝，
s梯形cobp＝(cp＋ob)·oc＝8.
所以s＝s△acp＋s梯形cobp＝，
c＝oa＋ap＋pb＋ob＝8＋＋2.
21.已知符號函式，則不等式的解集是 ；
22.已知關於的不等式＜0的解集是.則4
不等式 含線性規劃
不等式1.2010上海文 15.滿足線性約束條件的目標函式的最大值是 a 1bc 2d 3.2.2010浙江理 7 若實數，滿足不等式組且的最大值為9，則實數 abc 1d 2 3.2010全國卷2理 5 不等式的解集為 ab cd 4.2010全國卷2文 2 不等式 0的解集為 a b c d 5...
不等式及線性規劃
高考考情解讀 1.本講在高考中主要考查兩數的大小比較 一元二次不等式的解法 基本不等式及線性規劃問題 基本不等式主要考查求最值問題，線性規劃主要考查直接求最優解和已知最優解求引數的值或取值範圍.2.多與集合 函式等知識交匯命題，以選擇 填空題的形式呈現，屬中檔題 1 四類不等式的解法 1 一元二次不...
不等式與線性規劃重點
不等式與線性規劃重點 難點 易錯點分析 1 不等式的概念與性質 1 由基本性質比較大小 證明不等式 1 作差 2 作商 3 分析比較 4 取平方 5 分子或分母有理化 6 影象 7 單調性 2 根據均值不等式比較大小 證明不等式 2 範圍問題 1 解方程法 2 待定係數法 3 確定平面區域法 3 利...