不等式與線性規劃重點、難點、易錯點分析
1、不等式的概念與性質
1、由基本性質比較大小、證明不等式
（1）作差
（2）作商
（3）分析比較
（4）取平方
（5）分子或分母有理化
（6）影象
（7）單調性
2、根據均值不等式比較大小、證明不等式
2、範圍問題
1、解方程法
2、待定係數法
3、確定平面區域法
3、利用均值不等式求值域與最值
1、湊項法
2、湊係數法
3、分離係數
4、換元法
5、雙勾曲線
6、整體代換
7、取平方
4、解不等式
1、一元二次不等式
2、含參不等式（分類討論）
3、分式不等式（分式化整式）
4、高次不等式（穿根法）
5、絕對值不等式
（1）分段討論
（2）數形結合
（3）取平方
5、不等式成立問題
1、恆成立問題
2、能成立問題
3、恰成立問題
6、不等式的實際應用
1、基本不等式在實際應用題中的應用
2、二次不等式解集的簡單應用
3、一元二次不等式在實際中的應用
4、均值不等式的應用
7、二元一次方程組與線性規劃
1、求線性目標函式的取值範圍
2、已知線性約束條件，探求線性目標關係最值問題
3、已知線性約束條件，探求分式目標關係最值問題
4、已知線性約束條件，探求區域面積與周長問題
5、求線性目標函式中所含引數的取值範圍
6、已知最優解，探求目標函式引數問題
7、已知最優解，探求約束條件函式引數問題
8、求可行域中整點個數
（1)平移找解法
（2)整點調整法
（3）逐一檢驗法
9、求非線性目標函式的最值
10、比值問題
八、線性規劃實際應用
題型：1、不等式的概念與性質
1、比較大小
（1）作差法
例1：已知-1 （2）作商法
例1：比較aabb與abba（a，b為不相等的正數）的大小
（3）均值不等式法
例1：已知a，b∈r，則，，，的大小順序是
例2：已知a，b∈r，a≠b，且a+b=2，則（ ）
1c. ab≤1 2、證明不等式
（1）利用性質證明不等式
例1：已知a，b是正實數，求證：≥
例2：已知a，b，x，y是正整數，且，x>y，求證：
（2）利用均值不等式證明不等式
例1．已知為兩兩不相等的實數，求證：
例2. 正數a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
例3. 已知a、b、c，且。求證：
分析：不等式右邊數字8，使我們聯想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個「2」連乘，又，可由此變形入手。
解： a、b、c，。。同理，。上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得
。當且僅當時取等號。
二、範圍問題
例1：設f(x)=ax2+bx且1≤f(-1）≤2,3≤f(1）≤4，求f(-2）的取值範圍。
【分析】此題有三種解法：①利用解方程的思想 ②待定係數法
確定平面區域
例2：（1）已知-π/2≤ɑ＜β≤π/2，求的取值範圍
（2）已知-1三、利用均值不等式求值域與最值
技巧一：湊項
例已知，求函式的最大值。
解：因，所以首先要「調整」符號，又不是常數，所以對要進行拆、湊項，
， 當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。
評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的係數，使其積為定值。
技巧二：湊係數
例1. 當時，求的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上乙個係數即可。
當，即x＝2時取等號當x＝2時，的最大值為8。
評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊係數後可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。
變式：設，求函式的最大值。
解：∵∴∴
當且僅當即時等號成立。
技巧三： 分離
例3. 求的值域。
解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。
當,即時,（當且僅當x＝1時取「＝」號）。
技巧四：換元
解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。
當,即t=時,（當t=2即x＝1時取「＝」號）。
評注：分式函式求最值，通常直接將分子配湊後將式子分開或將分母換元後將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恆正或恆負的形式，然後運用均值不等式來求最值。
技巧五：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結合函式的單調性。
例：求函式的值域。
解：令，則
因，但解得不在區間，故等號不成立，考慮單調性。
因為在區間單調遞增，所以在其子區間為單調遞增函式，故。
所以，所求函式的值域為。
練習．求下列函式的最小值，並求取得最小值時，x 的值.
（1）（2） (3)
2．已知，求函式的最大值.；3．，求函式的最大值.
技巧六：整體代換
多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。
1：已知，且，求的最小值。
錯解： ，且， 故。
錯因：解法中兩次連用均值不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。
正解：，
當且僅當時，上式等號成立，又，可得時， 。
變式： （1）若且，求的最小值
(2)已知且，求的最小值
技巧七已知x，y為正實數，且x 2＋＝1，求x的最大值.
分析：因條件和結論分別是二次和一次，故採用公式ab≤。
同時還應化簡中y2前面的係數為， x＝x＝x·
下面將x，分別看成兩個因式：
x·≤＝＝ 即x＝·x≤
技巧八：
已知a，b為正實數，2b＋ab＋a＝30，求函式y＝的最小值.
分析：這是乙個二元函式的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函式問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮後，再通過解不等式的途徑進行。
法一：a＝， ab＝·b＝
由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8
∴ ab≤18 ∴ y≥當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 ∴ 30－ab≥2
令u＝ 則u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3
∴≤3，ab≤18，∴y≥
點評：①本題考查不等式的應用、不等式的解法及運算能力；②如何由已知不等式出發求得的範圍，關鍵是尋找到之間的關係，由此想到不等式，這樣將已知條件轉換為含的不等式，進而解得的範圍.
變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。
技巧九、取平方
1、已知x，y為正實數，3x＋2y＝10，求函式w＝＋的最值.
解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關係，≤，本題很簡單
＋≤＝＝2
解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函式式為積的形式，再向「和為定值」條件靠攏。
w＞0，w2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20
∴ w≤＝2
變式: 求函式的最大值。
解析：注意到與的和為定值。
又，所以
當且僅當=，即時取等號。 故。
評注：本題將解析式兩邊平方構造出「和為定值」，為利用均值不等式創造了條件。
總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意「一正二定三相等」，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用均值不等式。
4、解不等式
1、一元二次不等式
例1：求解下列不等式
（1）2x2+4x+3>0 （2）-3x2-2x+8≥0 (3)
例2：解不等式3/2(-x2+5/3)≥1/2(x2-9)-3x
2、含參不等式
例1：若，則的取值範圍是
（答：或）；
例2：解不等式
（答：時， ；時，或；時，或）
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最後務必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義範圍的端點值。如關於的不等式的解集為，則不等式的解集為答：
（－1,2））
例3：解關於x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0
例4：已知不等式（a∈r）
（1)解這給關於x的不等式；
（2）若x=-a時不等式成立，求a的取值範圍。
3、分式不等式
例1：解不等式
（答：）；
例2：關於的不等式的解集為，則關於的不等式的解集為
（答：）.
4、高次不等式
例1：不等式（x+2）（x2-x-12）>0的解集為？
例2：解下列不等式：
（1）2x3-x2-15x>0
(2) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0
(3)≤2
5、絕對值不等式
（1）分段討論
例1：解不等式
（答：）
（2）數形結合
例2：解不等式
（答：）
（3）取平方
例3：若不等式對恆成立，則實數的取值範圍為______。
（答：）
5、不等式成立問題
1、恆成立問題
例1：設實數滿足，當時，的取值範圍是______
（答：）；
例2：不等式對一切實數恆成立，求實數的取值範圍_____
（答：）；
例3：若不等式對滿足的所有都成立，則的取值範圍_____
（答：（,））；
2、能成立問題
例1：已知不等式在實數集上的解集不是空集，求實數的取值範圍____
（答：）
3、恰成立問題
例：已知且，求使不等式恆成立的實數的取值範圍。
解：令，
。， 6、實際應用
1、基本不等式在實際應用題中的應用
例1：動物園要圍城相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的牆，其他各面用鋼筋網圍城。
（1）現有可圍成36m長網的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？
（2）若使每間虎籠面積為24m2，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網總長最小？
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