數值分析作業
數值分析之曲線擬合
1. 問題的提出
在化工設計及化工模擬算中，需要大量的物性引數及各種裝置引數。這些引數有些可以通過計算得到，但大量的引數還是要通過實驗測量得到。實驗測得的常常是一組離散資料序列，如果序列，含有不可避免的誤差，或者無法同時滿足某特定的函式，這時通常通過資料擬合來完成，曲線擬合往往並不需要曲線通過給定的所有資料點（即待定引數的數量比給定的資料點的數量少），而只要求用曲線（函式）近似代替給定的列表函式，時，其誤差在某種度量意義下最小。
如：要求所作的逼近函式最優地靠近樣點，即向量的誤差或距離最小。按所求的逼近函式和樣點之間誤差最小原則作 「最優」標準的構造的逼近函式，稱為擬合函式。
2. 曲線擬合的方法及擬合標準
2.1 曲線擬合的方法
設在上給出一組資料
， 以及一組線性無關的函式族，，其中。問題是要在曲線族
中尋找乙個合適的曲線以某種原則使其無限逼近資料點所表示的函式關係。
現在定義如下：
若曲線使
成立，這就是最小二乘逼近，這種方法稱為曲線擬合的最小二乘法。可知，若要求曲線，就是按條件求出係數。
求最小二乘法的方法：
設就等價於
即成立。
其中2.2 擬合標準
擬合曲線與資料點之間的誤差或距離有不同的定義方法：
1. 用各點誤差的絕對值的和表示：
2. 用各點誤差按絕對值的最大值表示：
3. 用各點誤差的平方和表示：
式中的稱為均方誤差。
3. 曲線擬合的幾種型別
3.1 單變數擬合
1. 線性擬合
給定一組資料，作擬合曲線，均方誤差為
由數學知識可知，的極小值需要滿足
整理得到擬合曲線滿足的方程
式稱為擬合曲線的法方程。可用消元法或克萊姆方法求解。
2. 二次擬合函式
給定一組資料，用二次項式函式擬合這組資料。
設，作出擬合函式與資料序列的均方誤差表示式
由數學知識可知，的極小值滿足
整理上式得二次多項式函式擬合需滿足的條件方程
解此方程得到在均方誤差最小意義下的擬合函式。式稱為多項式擬合的法方程，法方程的係數矩陣是對稱的。當擬合多項式時，法方程的係數矩陣是病態的，在用通常的有有迭代法求解線性方程時會發散，在計算中要採用一些特殊的演算法以保護解的準確性。
3.2 多變數曲線擬合
上面所述的幾種曲線擬合的方法只涉及單變數函式的曲線擬合，但實際在化工實驗資料處理及模型引數擬合時，通常會碰到多變數的引數擬合問題。其中最典型的例子就是傳熱實驗中的努賽爾數、雷諾數及普朗特數之間的擬合問題：
給定一組資料序列，，用一次多項式函式擬合這組資料。
設，作出擬合函式與資料序列的均方誤差
由多元函式的極值原理，的極小值滿足
整理上式得二次多項式函式擬合需滿足的條件方程
通過求解方程就可以得到多變數函式線性擬合時的引數，由於方程不是線性方程，可能通過對方程兩邊同時取對數，得到以下線性方程
只要作如下變數代換
並將實驗資料代入法方程就可能求出方程中的係數。
4. 例項分析
正庚烷和甲苯構成的二元溶液，溶液和組成的實驗結果如表4-1所示。其中表示正庚烷的摩爾分數，表示混合熱。
表4-1 正庚烷的含量（摩爾分數）與混合熱的關係
從散點圖（圖4-1）看，是一條拋物線，可以用拋物線方程來擬合。
按照拋物線方程：
如果我們在曲線上任取一點，則有
兩式相減，得：
令， 則式變為：，可以看出，這與之間呈線性關係。
因此，可用對作圖，看它是否存**性關係，並用相關係數檢驗的方法做定量檢驗。
我們選定其中一組資料作業，於是計算出：
用對作圖，果然得到一條直線。見圖4-2。
計算的相關係數為：
由此證明，我們確實把曲線變成了直線。這樣，就可以先求出直線方程的兩個常數，再寫出描述這條曲線的經驗方程式：
即將實驗資料代入，求出計算的值，結果見表4-2。
表4-2 經驗方程的計算值與實驗值的比較
如果想使曲線擬合的效果更好，可在方程中增加更高次的項：
5. 小結
曲線擬合涉及的乙個基本問題就是，最佳擬合意味著什麼？怎樣由實驗測得的資料設計和確定「最貼近」的擬合曲線，其關鍵在於選擇合適的曲線型別或模型型別，有時根據專業知識和工作經驗即可確定擬合曲線型別；在對擬合曲線一無所知的情況下，不妨先繪製資料的粗略圖形，或許可從中觀測出擬合曲線的型別；更一般地，對資料進行多種曲線擬合的擬合，並算均方誤差，用數學實驗的方法找出在最小二乘法意義下的誤差最小的擬合函式。
附錄：1. 用matlab程式設計軟體繪製圖4-1正庚烷的含量與混合熱的關係，對應的matlab程式如下：
x=[0.05 0.11 0.
17 0.18 0.28 0.
31 0.33 0.39 0.
44 0.53 0.54 0.
62 0.71 0.82];
y=[0.13 0.23 0.
32 0.35 0.44 0.
47 0.48 0.51 0.
52 0.51 0.50 0.
48 0.42 0.28];
plot(x,y,'-*r')
axis([0.0,1,0.0,0.6]);
title('圖4-1 正庚烷的含量與混合熱的關係')
xlabel('正庚烷的摩爾分數')
ylabel('混合熱kj/mol')
2. 用matlab程式設計軟體繪製圖4-2正庚烷的含量與混合熱的線性圖，對應的matlab程式如下：
x=[0.05 0.11 0.
17 0.18 0.28 0.
31 0.33 0.39 0.
44 0.53 0.54 0.
62 0.71 0.82];
y=[1.00 0.88 0.
75 0.65 0.50 0.
38 0.36 0.20 0.
00 -0.11 -0.20 -0.
22 -0.37 -0.63];
plot(x,y,'-*r')
axis([0.0,1.0,-1.0,1.2]);
title('圖4-2 正庚烷的含量與混合熱的線性圖')
xlabel('正庚烷的含量')
ylabel('y=(y-y0)/(x-x0)，x0=0.44;y0=0.52')
數值分析讀書報告
姓名 夏勇學院 數學與物理學院專業 資訊與計算科學 學號 20091001897 專業號 123092 目錄數值分析讀書報告 1 科學計算 1 關於插值法的一些問題 1 函式逼近 3 數值積分運算的問題 4 有關線性方程組 5 在我們平時的運算過程中,我們總會遇見一些問題,例如 兩個相近的數相減,絕...
數學讀書報告
讀 數學中的美 吳振奎 吳旻著 五月中旬我閱讀了吳振奎 吳旻兩位先生所著的 數學中的美 一書，書中從簡潔 和諧 奇異三個方面記述了數學的各個分支中的美。書中包含了從初等數學到高等數學的各方面知識。此書從哲學範疇出發，配以數學例項去解釋數學潛在規律，探索運用美學原理指導數學創造 發現的途徑，這對數學的...
《日出》讀書報告
對人物的刻畫，可以說是 日出 這部三幕劇的最成功之處。作者根據每個人物身份和經歷的不同，分別採取不同的描述方式，以塑造鮮明的人物形象。例如，對於作品的主人公之一陳白露和李石清，作者主要是描述他們性格的複雜性 內心的激烈衝突及其被窒息被毒化的心靈歷程，而對胡 四 顧八奶奶 張喬治 福生等形象的刻畫，則...