姓名: 夏勇學院:數學與物理學院專業:資訊與計算科學
學號:20091001897 專業號:123092
目錄數值分析讀書報告 1
科學計算 1
關於插值法的一些問題 1
函式逼近 3
數值積分運算的問題 4
有關線性方程組 5
在我們平時的運算過程中,我們總會遇見一些問題,例如:兩個相近的數相減,絕對值很小的數作除數等等.這在以前的話,我會把它們當作一般的運算進行處理,但是我學了數值分析中的數值運算產生的誤差之後,我了解到這樣的運算會造成很大的誤差,它會丟失有效數字,使運算的結果很差.
為了避免這樣的結果,我們應當把原有的運算化形後再進行運算,例如,我們直接運算的結果是不好的,但是我們經過化形成之後,再進行運算時,結果就會好很多.
插值法,就是一種近似的運算方法.在我們平時的學習中,我們會遇到許多的解不出來的函式.例如,我們在做實驗時,我們往往是得到了一些離散的點,然後需要通過這些離散的點來畫出這個函式的圖形,那我們應該怎麼畫出這個函式的圖形呢?
這就有乙個方法的問題.而插值法就為我們提供了這種方法.
我們通過用多項式來逼近這個函式.因為多項式函式簡單,而且其性質也很好.在多項式插值中,最簡單的就是把我們得到的離散的點代入多項式中,然後運算多形式的係數.
這個方法的思路很簡單,但是運算的時候太過於繁雜,所以我們一般是不用的.這樣我們就得想乙個好的方法,拉格朗日插值法是乙個.拉格朗日插值法的表達形式是:
,其中的，是我們已知的離散點，而.拉格朗日插值是乙個非常簡單的插值，它的表達形式一目了然，使得我們很好的理解。如果多項式的次數較低時，用這種方法是非常好的，但是當插值節點增減時，計算要全部重新進行，這就讓我們覺得它太繁瑣了，所以我們又提出了另外一種插值法，這就是牛頓插值法。
在牛頓法中，我們引進了均差的概念。k階均差：,所以牛頓插值的表示式是：
,這樣我們如果增減一些點時，就不需要再把原來已經運算過的東西再運算一遍了，這使我們的運算速度大大的提高了，讓我們的工作效率有了改善。牛頓插值有它的運算優勢，但是這種運算對於我們人來說，其還是很麻煩的，我們必須要求助於計算器或者電腦。
不管是拉格朗日插值，還是牛頓插值，它們只是滿足了在那些離散點處插值函式的函式值與原函式的函式值是相等的，但是其不能保證在這些點處它們的導數值相等，甚至是其高階導數值也相等。為了滿足這種要求，我們又提出了一種插值，它就是艾爾公尺特插值方法。由於考慮到實用性，我們只是介紹了兩個典型的艾爾公尺特插值，乙個是已知了三個點的函式值和某乙個的導數值，求其三次艾爾公尺特插值時，我們利用的是牛頓插值方法來計算的。
而另外一種情況是已知兩個函式值和其導數值，我們是用類似於拉格朗日插值的方法，運用基函式方法來運算的.
前面討論的插值函式雖然有的已經有了一致收斂性，但是其光滑性較差，對於像高速飛機的機翼形線，船體放樣等型值線往往要求有二階光滑度，既有二階連續導數。我們就提出了三次樣條插值。它就是在艾爾公尺特插值上的一種改進。
在數值計算中經常要計算函式值，如計算機中計算基本初等函式及其他特殊函式；當函式只在有限點集上給定函式值，要在包含該點集的區間上用公式給出函式的簡單表示式，這些都涉及在區間[a,b]上用簡單函式逼近已知複雜函式的問題，這就是函式逼近問題。在這裡我們討論的是，對函式類a中給定的函式f(x)，記作f(x) ,要求在另一類簡單的便於計算的函式類b中求函式p(x) ,使p(x)與f(x)的誤差在某種度量意義下最小。在這裡面，我們主要討論了正交多形式逼近，其中我們介紹了兩個特殊的正交多項式，乙個是勒讓德多項式，其表達形式是：
n=1,2, .而另乙個是切比雪夫多項式，其表達形式是： |x|1.
我們在用函式逼近時，用的就是這兩個函式。如果要求的是其最大誤差最小，那我們就用切比雪夫多項式來逼近，因為在同次的多項式中,切比雪夫多項式的最大值最小.但是如果要求的是使其誤差的二階範數最小,那麼就要用勒讓德多項式來逼近了,因為其的二階範數是和0靠的最近的,在同次的多項式中.
這主要是我們所用的最佳正交多項式的方法.
考慮了函式逼近之後,我們現在要考慮的就是對於一些較麻煩的函式怎麼求它的某些運算.例如函式的積分運算,如果函式的性質不好的話,我們就不能求出其值,那麼我們就要找乙個運算來逼近它.我們介紹的方法是公式:
其中的稱為求積節點，稱為求積係數。除此之外，我們還提出了代數精度的概念。為的就是能夠比較不同的求積公式的好壞。
在課本中，我們主要介紹的是梯形公式和辛普森公式。其中的辛普森公式有點特殊，因為它的代數精度是n+1,這是我們要注意的。後面我們為了提高求積精度，介紹了高斯求積公式，它可以把精度提高到2n+1，這是乙個非常好的求積公式。
通過它的啟發，我覺得我們可以找一些特殊的區間，使得一些求積公式的精度能夠得到大的提高，這是有價值的。
關於解線性方程，我們在很早就知道有乙個方法叫作迭代方法。在這裡，我們主要介紹了雅可比迭代法和高斯---塞德爾迭代法，然後我們又考慮了它們的收斂性問題，用的是判斷其迭代矩陣的譜半徑p(j)是否小於1,如果是的話，那麼其就是收斂的。另外我們也介紹了許多其他的迭代法，在這裡我們就不一一介紹了。
數值分析讀書報告
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