數學教學綱要應注重於問題解決,使之成為理解數學的一部分,從而使所有學生-◆ 通過他們在問題上的努力學習新的數學知識;◆ 養成在數學內外建立公式、表達、抽象、一般化的傾向;◆ 應用眾多的策略去解決問題,並使各種策略適應新的情況;◆ 對在解決問題中的數學思維進行監控和反思。說明:幼兒園前-12年級解決問題的能力不僅僅是學習數學的乙個目的,而且也同樣是學習數學的一種主要方法。
當學生們在對數學內容的探索中應用問題解決的方法時,他們得到對數學的新的理解,並提高他們應用所知道的數學的能力。問題解決意味著去從事完成一項事先對解決問題的方法並無所知的任務。為了尋求解決問題的方法,學生們必須以不同的方法應用他們的知識,並且,也許能通過這個過程,來得到新的知識。
問題解決是整個數學學習的不可缺少的一部分,而不是數學教學計畫中的乙個孤立的部分。它應該是支援發展數學理解的課程的乙個有機部分。學生們應該有很多的機會去建立公式,設法解決那些需要相當程度的努力的複雜問題。
◆ 通過他們在問題上的努力學習新的數學知識;問題解決怎樣幫助學生學數學呢?精心設計的問題情景提供一種場所,在那裡學生能鞏固並擴充套件自己所知道的東西。精心挑選的問題能鼓勵進行深入的數學探索。
例如,考慮分數的觀念,這是中學數學中的乙個重要概念。這個概念就可以通過一種展開了的探索方式引進給學生。在此探索過程中,給學生一些不同的果汁配方(水和濃縮果汁的不同的量,並問學生哪一種果汁"果汁味更濃些"。
由於沒有兩種配方的果汁的量相同,這個問題對於那些對分數還不懂的學生來說是乙個難題。當試驗了種種想法以後,學生們最後集中到了分數概念上。丟棄了其他的一些概念,學生們以各種方法仔細思考了比例並與他人作了討論,比例這一概念出現了。
問題解決能夠,而且應該幫助學生發展在一些特殊技能方面的熟練程度。等學生們懂得足夠多的時候才給學生以問題解決的機會將會使失去處理一些挑戰性的問題的經驗,使他們不再有問題解決的經驗。當然,問題解決也不會在真空中發生,它也需要一些有關的知識。
例如,考慮老師提的這樣的乙個問題: "在我口袋裡有若干一分的小銀幣(pennies,若干個一角的銀幣(dimes,若干個五分的鎳幣(nickels,如果我從口袋裡取出三枚硬幣,我可以取到多少錢?(選自nctm1998,第24頁"要解決這個問題,就需要一些知識--關於penny、dime和nickle各是多少錢的知識,加法的一些知識。
學生們在解決這個問題之前並不需要在加法方面多麼熟練;實際上,解決這個問題提供了進行加法練習的很好的情景。這個問題的最重要的教學目標--幫助學生對可能性作系統性的思考,並把他們的思維作組織和記錄--不必等到學生把加法做得很熟練。◆ 養成在數學內外建立公式、表達、抽象、一般化的傾向;已經有一種用數學的觀點認識世界的人們傾向於以一種數學化的方式來處理事務。
對於那些具有數學傾向的人們,可以期望他們有怎樣的行為方式呢?好的問題解決者常常用數學的觀點來仔細地分析實際情況。在嘗試一些比較複雜的處理問題的途徑之前他們傾向於考慮是否可能有一種簡單的解法。
另一方面,他們也會作更加複雜的分析。例如,讓中等年級的學生提交兩個出租汽車公司的資料,並問哪個公司更加可以信賴(nrc1998,乙個基於顧客的平均等待時間而很快得到的答案則是錯誤的。進一步的數學分析表明,平均等待時間較短的公司也有較大的方差。
在此問題中,一種深入的研究傾向能導致對此問題的比較完整的理解,並得到正確的答案。有數學傾向的人傾向於作結構探索以找到是什麼使各種事物都打上數學的記號。他們作抽象和一般化。
這些人會對乙個問題尋找多種方法來處理,因而建立新的聯絡,找新的合成物,並揭示數學的不同的方面。例如,3~5年級的學生以幾何方式來探索平方數,尋找不同的模式。有乙個學生看到要得到下乙個平方數就是加乙個l形的圖形,從而得到了乙個用前乙個數來表示的第n個正方形的面積的公式。
另乙個學生發現第n個正方形的面積是前n個奇數的和。這些學生就明白了實際上有多種方法來考慮乙個問題,發現一種方法未必意味著你已經可以對這個問題束之高閣了。問題解決者傾向於去探索現實、進行猜想。
例如,以下的對話
將會出現於一組幼兒園的兒童組,這些孩子們坐成一圈,輪流報數直到100:昨天,我報了數『1』。後來,我又報了數『100』。
如果又從我開始,我想我會再一次說同樣的數。不,你不會的。昨天塞拉不在,今天卻不同。
昨天塞拉不在,今天約翰不在。所以將是一樣的。孩子可以在一起探索現實,對將發生什麼作出猜想。
作為好的問題解決者的學生傾向於去檢驗他們的猜想,試圖通過推理來對他們的猜想進行證實,或者在若干相反的現象的基礎上放棄他們的猜想。例如,一群高中學生會試圖為一種標準燈罩做乙個模型,這種燈罩在罩子頂部有乙個比底部較小的圓周。他們也許會從剪出乙個矩形開始。
他們也許很快認識到這不行。然而,他們將就各種模型作進一步的努力,直到解決問題。好的問題解決者傾向於對新問題建立公式,例如乙個高中的班級能考慮這樣的問題,拋物線ax2+bx+c,當兩個係數固定而另乙個係數變化時將會發生什麼?
(例如,如果a和b固定,c 變化,頂點沿著一條鉛垂直線運動。乙個傾向於為新問題建立公式的學生可能會問:"對於三次曲線,如果你做同樣的事情將會怎樣呢?
(注意相對極小值發生了什麼情況?在為學生創造乙個能鼓勵他們去探索冒險、分享失敗和成功、互相質疑的環境以發展問題解決的傾向的過程中,教師扮演了乙個重要角色。如同上面的一些例子所示,在這種型別的教室環境中,問題解決傾向的發展是學數學、做數學的自然環節的組成部分。
◆ 應用眾多的策略去解決問題,並使各種策略適應新的情況;問題解決策略是學生的數學裝備的組成部分。當乙個問題還沒有合適的解法,學生們將由於有一套適用的策略來幫助他們取得進步。問題解決策略應該如同對數學裝備的任何部分一樣看待。
應該提供學生們在策略方面的足夠的教學及實踐,以使學生們能應使用這些策略,策略的應用必須被嵌入課程以使學生在有各種策略可用時能作出決定什麼時候以及怎樣去使用它們,從而發展認識能力。從波里亞的工作([1945] 1973開始,對問題解決策略已經有了許多的描述。一些比較頻繁地被引用的策略包括使用圖表和其他的表示方法,尋找模式,羅列所有可能性,特殊值和例的試驗,退一步做,猜測和檢查,構造等價問題,構造較簡單問題。
乙個顯然的問題是這些策略該以怎樣的明白程度進行教學。如同學生的數學裝備的任何其他部分一樣,如果希望學生們學會它們,就必須給策略以教學上的注意(schoenfeld1992。此外,如果在課堂活動中這些策略出現或被展示,學生們必須意識到這些策略,而教師應該鼓勵學生予以注意。
例如,當乙個學生敘述乙個解答以及它是如何得到的,老師也許應該說:"聽起來好象是你為發現做了乙個有條理的清單。有誰用了一種不同方式解決問題嗎?
",以此來肯定這個學生的策略。這樣的語言有助於發展共同的語言和表達,並幫助其他學生理解第乙個學生正在做些什麼。某些策略,如系統地尋找模式,與內容課程目標非常接近。
尋找模式是幼兒園前~2和3~5年級的"模式,函式和代數"的主要內容。其他的策略,如猜測和檢查,與特定的內容並無特殊的共同之處。不同的策略是在不同的年齡成為可接受的。
這一點與為了回答以下的問題的各種努力一樣在一些與年級有關的討論中將會變得越來越清楚:"在_____年級,問題解決是怎樣的?"有一些非常專門,並具有數學威力的策略,如反證法,它們可以在學生已經在數學複雜性上達到相對高階的程度時使用。
兒童推理的模式形成這種數學策略的先兆。沒有一種策略可以一勞永逸地學會,也許乙個演算法可以這樣學會。相反,策略需要長期的學習。
在應用於日益複雜的問題情景中,策略也變得日益複雜。◆ 對在解決問題中的數學思維進行監控和反思。有乙個研究(lester 1985,schoenfeld 1987指出,學生在問題解決中的失敗常常不是由於數學知識的缺乏,而是由於對於他們所實實在在知道的知識的非有效的應用。
有效的問題解決者常常監控和調整他們正在做的事。他們要確信他們理解了問題。如果問題是書面的,他們就仔細閱讀它。
如果問題是以口述方式告訴他們的,他們提出各種問題直到理解問題。有效的問題解決者常常做計畫。他們定期對他們所正在做的事作檢查,以了解他們是否在正確的軌道上前進。
如果他們感到不在前進,就停下來,考慮換一種方式,並毫不猶豫地徹底改變他們所正在做的事。為了讓學生成為好的問題解決者,自我意識和自我評價是絕對
重要的。這樣的深入思考的技巧(稱為"元認知"在支援他們發展的教室環境中會更好地得
到發展。教師問以下的一些問題在幫助形成這些深入思考的習慣方面扮演重要的角色:"在我
們開始之前,我們確認了我們已經理解這一點了嗎?"、"我們有哪些可以選擇?"、"我們有
計畫嗎?"、"我們在前進嗎?或者,我們該重新考慮我們正在做的事嗎?"、"為什麼我們認
為這是真實的呢?"類似這樣的問題能幫助學生形成在做一件事的過程中檢查他們對問題的
理解的習慣。通過問題解決來學習是《課程與評價標準(nctm 1989》的乙個強勁訊號。
那些讓學生從中學習問題解決的教室是那些給學生以機會去發展問題解決的各方面的教室--
傾向、策略、監控和調整--在實實在在的數學背景中。在這樣的教室裡的教師營造一種有目
的探索的氣氛。通過質疑和對話,這些教師幫助他們的學生熟悉問題解決的過程。在這些教
室中的問題解決本身既是一種重要的課程目標,又是一種重要的課程工具。
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