美國中小學數學課程標準2：模式、函式和代數
數學教學綱要應包括關注模式、函式、符號和數學模型，以便所有學生能夠——◆ 理解各種型別的模式和函式關係；◆ 使用符號形式表示和分析數學情形和結構；
◆ 應用數學模型以及分析在實際和抽象的背景下的數學模型變化。
說明：幼兒園前-12年級
模式、函式和代數包括系統地使用符號，數學體系的代數特徵，現象的模型以及對變化的數學。這些概念不僅彼此互相關聯，而且還與數、運算以及幾何緊密相聯。它們對數學的所有領域都是至關重要的，並且它們組成表達數學的基本語言。
這個標準裡的思想觀念形成了學校課程的主要組成部分。
在方程解的研究中，代數有根。這個科目已向幾個方向發展，它包括方程的學習，抽象事物的推理，歸納，以及符號概念的中心意思。所有這些發展都應在學校課程中得到反映。
對模式、函式和代數的學習應在低年級非正式地開始，然後在學校的學習中逐步向深度和廣度發展。早期接觸模式、函式和代數的概念，能為在初中後階段和整個高中階段更深入細緻地關注這個領域的學生提供部分理解基礎（smith 1998）。◆ 理解各種型別的模式和函式關係
製作、認識和拓展模式對兒童們來說是非常自然的活動。早期接觸模式的工作是識別規律性，認識不同形式的相同模式，以及應用模式去推測數值。例如，"紅-藍-藍-紅-藍-藍-紅-藍-藍"與"abbabbabb"具有相同的模式，所以其第12個元素是藍。
從簡單的狀況出現的模式是函式和序列的萌芽。例如，如果1個玩具2美元，那麼1個玩具，2個玩具，3個玩具，n個玩具多少美元？隨後接觸的乙個是增長的模式，例如，"1，3，6，10，15，，"乙個是重複的模式，例如"1，1，3，1，1，3，，"上述這些例子加
深了對模式概念的理解。到了初中和高中，隱藏在模式和序列下的規律性變得越來越複雜，包括那些以指數方式增長的模式。接觸作為函式的例子--序列，在中學得到擴充套件的目的是建立極限和無窮序列這些概念的基礎。
在低年級，學生注意到每一項通過前一項而得到，來描述象"2，4，6，8，，"這樣的模式，在這種情況下，後一項=前一項+2。這是遞推思維的開始。以後，學生能夠研究被定義的序列以及通過遞推得到的序列，如fibonacci序列"1，1，2，3，5，8，"在這個序列中，每一項都是前面兩項的和。
在許多科目中，遞推數列非常自然地出現，並可通過技術手段來研究。9～12年級的學生研究由遞推產生的函式和模式。
最初接觸模式時，乙個重要的步驟是，學生經常口頭地表述隱含的規律性，而不是應用數學符號來表示（english and warren 1998）。學生數學課程的乙個目標是基於口語表述，提供給學生足夠的經歷，使他們舒適地、流利地使用數學符號表示歸納的結果。
函式的早期萌芽和它們的表示，包括這樣一些活動，記錄日常氣溫或在圖表中隨時表示隨著平面高度的變化產生溫度的變化。在低年級可以使用函式圖象來描述函式。在6～8年級線性函式和對函式圖象的解釋是學習過程中特別重要的東西。
對9～12年級的學生來講，儘管已經系統地學習其他一些函式，如多項式函式、指數函式、三角函式，但對函式圖象的解釋仍然是重要的。在高中，這種系統的學習應建立在學生早期有過的代數思想的經歷上。熟悉函式的解析表示、數值表示以及圖象表示是非常重要的。
在這些表示中，能力是向思維深度和容易的方向發展。座標幾何使函式和關係的圖象表示以及觀察函式和關係的幾何性質，如圖象的對稱性，成為可能。圖形計算器和計算機能夠幫助學生進行圖象和數值表示方面的實驗，檢驗和對比函式的不同性質。
包括兩、三個變數的函式之間的關係可以有幾何
2表示，在y-z平面內，當拋物線z=y繞z軸旋轉會得到什麼？所得圖象如何用代數表示？許多學生首次理解函式的概念是通過如下一系列教學過程，"任給乙個n，如n=0，1，
n2，3時，求2的值"（vinner and dreyfus 1989）為了幫助學生發展對函式概念的更深的理解，對函式的多種表示-如數值表示、圖象表示、解析表示有相當豐富的經歷是必需的。◆ 使用符號形式表示和分析數學情形和結構
數量關係的符號表示是代數的靈魂。概括地說，它能使複雜的數學被簡明地表達出來，而且符號和表示式能夠提供探索和發現解決問題的途徑。然而，這種作用也遇到會一系列概念障礙，例如，變數的概念是相當複雜的。
在低年級，典型的乙個例子是在下面式子中空位
處的乙個特定的數字是乙個變數
○+2=11。
以後，學生會學到方程3x+2=11中的變數x，方程中的變數x，這兩個
變數的意義是不同的，而且它們與公式中的變數的意義不同。完全理解變數的概念需要相當長的時間，它需要豐富的實踐經歷作為基礎（wagner and parker 1993）。
另乙個在理解數量關係的符號表示的概念困難是關於相等的概念。相等的符號可以以不同的方式被察覺。例如，對在算術計算中廣泛經歷的相等符號的結果。
學生乙個典型的察覺是，把相等符號作為計算的符號（kieran 1981）。然而，在高中之前，學生也需要學習到把相等符號作為相等和平衡的符號。總之，如果學生在發展他們工作中固定的概念基礎之前，學生被要求從事較多的符號演算，但他們不能進行更多地機械性的演算（wagnerandparker1993）。
關於符號概念有意義的工作基礎需要持續相當長的時間，從低年級開始，直到初中或高中階段正式接觸「代數」這門課程。
當兒童接觸數時，他們常常採納在本質上是代數化的策略。教師們可以以相似的方式建立這種自然的趨勢。例如，乙個兒童可能注意到「4+5=4+4+1」和「5+6=5+5+1」等等。
把他或她觀察到的介紹給另乙個兒童時，學生可能畫出如圖3—2所示的圖圖3—2 2+1
使用圖形作為乙個範例以及不是乙個孤立事件的記錄使代數表示圖象化。或者，兒童可能會說「2+1」，因為這種表達表示的是乙個歸納，它就是代數化。
在6～8年級，代數表示變得越來越正規，因此在符號、肖像、具體和幾何之間再加上乙個強有力的透視。當它們被幾何化後，即使複雜的代數關係也變得清晰起來。當學生在進行系統的推理、複雜的代數符號演算時，學生很容易理解幾何表示。
例如，圖3—3幫助我
們解釋為什麼前n個奇數的和等於n。
2圖3—3
學生能夠給出像「1+3++(2n-1)=n」關係的符號表示，而且，以後學生能給出它的數學演繹證明。因此，這種代數歸納可以以兩種不同的方式得到發展和證實，一種在中學階段學生能夠接受，而另外一種需要較多的數學準備。兩種方式互相補充，事實上，每種方式都能揭示不同的數學情形。
代數和幾何彼此向對方滲透，正如學生把幾何思想代數化。例如，乙個半徑為r的土球被加工成乙個半徑為r的土圓錐，問圓錐的高是多少？
代數結構的概念來自於對數的演算的關注。理解封閉性（如兩個正整數的和仍是正整數，而兩個正整數的差不是正整數）和代數性（如加法符合交換律，而減法不符合交換律）對於學習諸多的系統，包括數系、多項式系統、函式系統和矩陣系統來說，是非常重要的。學生能夠對運算進行推理，例如，他們發現減法運算是加法運算的逆運算。
考慮乙個複雜的數系時，詢問關於數系的內部互相聯絡的問題，以及找出這些問題的解法，對於學習數學是非常重要的。
數學結構中另乙個重要的部分是同構的概念，即表面看似不同，而實質相同的數學結構。例如，兩種不同的物理情形，可用相同的圖形把他們模型化。這顯示兩種不同的過程具有相同重要的數學特徵。
◆ 應用數學模型以及分析在實際和抽象的背景下的數學模型變化
數學的乙個強有力的應用是現象的數學模型。應用符號記法是模型化的中心。例如，分
2配律和交換律、物理定律、人口模型、以及對資料集的統計都可以用符號語言表示出來。在任何複雜的**的使用中，代數是不明晰的。如果能夠很好地理解數集之間的關係，那麼這種理解能用變數、函式、關係的語言表示出來。
基於以上事實，對於學生來說，從低年級開始，把眾多現象數學模型化是非常重要的。隨著學生對標準函式族的熟練程度，他們能夠應用線性函式、指數函式等把一些現象模型化，且可用它們進行鑑別。三角函式表示週期現象是非常有用的。
基於計算機的實驗室的應用能夠使學生快速地從物理實驗中獲得可靠的資料，這樣就能擴大對狀況所作模型的使用範圍。計算機或計算器的圖形、數值、或符號功能可被用於**這個模型可能的變數的作用。在解決涉及這些變化的情形中，最大值和最小值是非常重要的。
對變化的最終研究是在微積分中，但學生在正式學習微積分課程之前，已經對變化討論了很長時間。在幼兒園前—2年級，乙個描繪運動員跑的距離與時間圖形的學生能夠指出，在一段時間內距離增長得非常快，而在另一段時間內距離增長得較慢。這個過程依賴於時間函式y=f(t)，它在steep區域變化得非常快，而在shallow區域變化得非常慢。
算術序列和幾何序列的不同之處在於，序列中每項的定義依它前一項的方式。對變化的學習與遞迴思想相連。低年級的學生能夠觀察到像5，8，11，14，這種模式，也就是每個數比它前面的數大3。
隨著學習的深入，他們將學習到序列中更加複雜的變化，像1，3，6，10，，在這個序列中，每一項對於後一項來說，是按照比例增長的。又如2，4，8，
n16，，在這個序列中，每一項是前面一項的2倍，也就是指數關係。y=2
總之，模式、函式和代數這些領域內的概念和技能逐步變得深入和複雜。同樣地，在這些領域，學生的思維也是隨著步入高年級而逐步發展和成熟的。
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上海市中小學數學課程標準
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小學數學課程標準
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