第四節合情推理與演繹推理
1．了解合情推理的含義，能利用歸納和模擬等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用．
2．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，並能運用它們進行一些簡單推理．
3．了解合情推理和演繹推理之間的聯絡和差異．
1．合情推理
(1)歸納推理
①定義：由某類事物的部分物件具有某些特徵，推出該類事物的全部物件都具有這些特徵的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理．
②特點：是由部分到整體、由個別到一般的推理．
(2)模擬推理
①定義：由兩類物件具有某些類似特徵和其中一類物件的某些已知特徵，推出另一類物件也具有這些特徵的推理．
②特點：是由特殊到特殊的推理．
2．演繹推理
(1)模式：三段論
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情況；
③結論——根據一般原理，對特殊情況做出的判斷．
(2)特點：是由一般到特殊的推理．
1．歸納推理的結論一定正確嗎？
提示：不一定，結論是否真實，還需要經過嚴格的邏輯證明和實踐檢驗．
2．演繹推理所獲得的結論一定可靠嗎？
提示：不一定，只有前提是正確的，推理形式是正確的，結論才一定是真實的，錯誤的前提則可能導致錯誤的結論．
1．下列表述正確的是( )
①歸納推理是由部分到整體的推理；
②歸納推理是由一般到一般的推理；
③演繹推理是由一般到特殊的推理；
④模擬推理是由特殊到一般的推理；
⑤模擬推理是由特殊到特殊的推理．
a．①②③ b．②③④ c．②④⑤ d．①③⑤
解析：選d 由歸納推理、模擬推理及演繹推理的特徵可知①③⑤正確．
2．下面幾種推理是合情推理的是( )
①由圓的性質模擬出球的有關性質；
②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和是180°，歸納出所有三角形的內角和都是180°；
③某次考試張軍成績是100分，由此推出全班同學成績都是100分；
④三角形的內角和是180°，四邊形的內角和是360°，五邊形的內角和是540°，由此得出凸多邊形的內角和是(n－2)·180°.
a．①② b．①③ c．①②④ d．②④
解析：選c ①是模擬推理，②④是歸納推理，③是非合情推理．
3．「因為指數函式y＝ax是增函式(大前提)，而y＝x是指數函式(小前提)，所以函式y＝x是增函式(結論)」，上面推理的錯誤在於( )
a．大前提錯誤導致結論錯
b．小前提錯誤導致結論錯
c．推理形式錯誤導致結論錯
d．大前提和小前提錯誤導致結論錯
解析：選a 當a>1時，y＝ax為增函式；當04．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的稜長的比為1∶2，則它們的體積比為________．
解析：因為兩個正四面體的稜長的比為1∶2，則底面積之比為1∶4，底面對應的高之比是1∶2，所以體積之比為1∶8.
答案：1∶8
5．(教材習題改編)在△abc中，不等式＋＋≥成立；在四邊形abcd中，不等式＋＋＋≥成立；在五邊形abcde中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想，在n邊形a1a2…an中，成立的不等式為________．
解析：∵9＝32,16＝42,25＝52，且1＝3－2,2＝4－2,3＝5－2，…，故在n邊形a1a2…an中，有不等式＋＋…＋≥成立．
答案：＋＋…＋≥(n≥3)
1．歸納推理是每年高考的常考內容，題型多為選擇題和填空題，難度稍大，屬中高檔題．
2．高考對歸納推理的考查常有以下幾個命題角度：
(1)歸納推理與等式或不等式「共舞」問題；
(2)歸納推理與數列「牽手」問題；
(3)歸納推理與圖形變化「相融」問題．
[例1] (1)(a.杭州質檢)觀察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
……照此規律，第n個等式可為________．
(2)(a.寧波模擬)古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數．如三角形數1,3,6,10，…，第n個三角形數為＝n2＋n.記第n個k邊形數為n(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數中第n個數的表示式：
三角形數 n(n,3)＝n2＋n，
正方形數 n(n,4)＝n2，
五邊形數 n(n,5)＝n2－n，
六邊形數 n(n,6)＝2n2－n，
……可以推測n(n，k)的表示式，由此計算n(10,24
(3)(a.紹興模擬)某種平面分形圖如下圖所示，一級分形圖是由一點出發的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為120°；二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發再生成兩條長度為原來的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°，…，依此規律得到n級分形圖．
一級分形圖二級分形圖**分形圖
①n級分形圖中共有________條線段；
②n級分形圖中所有線段長度之和為________．
[自主解答] (1)觀察規律可知，第n個式子為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
(2)n(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中數列是以為首項，為公差的等差數列；數列是以為首項，－為公差的等差數列．所以n(n,24)＝11n2－10n，當n＝10時，n(10，24)＝11×102－10×10＝1 000.
(3)①分形圖的每條線段的末端出發再生成兩條線段，由題圖知，一級分形圖有3＝(3×2－3)條線段，二級分形圖有9＝(3×22－3)條線段，**分形圖中有21＝(3×23－3)條線段，按此規律n級分形圖中的線段條數an＝(3×2n－3)(n∈n*)．
②分形圖的每條線段的末端出發再生成兩條長度為原來的線段，∴n級分形圖中第n級的所有線段的長度為bn＝3×n－1(n∈n*)，∴n級分形圖中所有線段長度之和為sn＝3×0＋3×1＋…＋3×n－1＝3×＝9－9×n.
[答案] (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 (2)1 000 (3)①3×2n－3 ②9－9×n
歸納推理問題的常見型別及解題策略
(1)與等式或不等式「共舞」問題．觀察所給的幾個等式或不等式兩邊式子的特點，注意是縱向看，發現隱含的規律．
(2)與數列「牽手」問題．先求出幾個特殊現象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現象，該結論超越了前提所包含的範圍，從而由特殊的結論推廣到一般結論．
(3)與圖形變化「相融」問題．合理利用特殊圖形歸納推理得出結論，並用賦值檢驗法驗證其真偽性．
1．設函式f(x)＝(x>0)，觀察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
……根據以上事實，由歸納推理可得：
當n∈n*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x
解析：根據題意知，分子都是x，分母中的常數項依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常數項為2n，分母中x的係數為2n－1，故fn(x)＝f(fn－1(x))＝.
答案：2．(a.溫州模擬)如圖的倒三角形數陣滿足：
①第1行的n個數，分別是1,3,5，…，2n－1；②從第2行起，各行中的每乙個數都等於它肩上的兩數之和；③數陣共有n行．當n＝2 012時，第32行的第17個數是________．
解析：每行的第1個數分別是1,4,12,32，…，記為數列，它的通項公式為an＝n×2n－1，則第32行的第1個數為a32＝32×232－1＝236，而在第32行的各個數成等差數列，且公差為232，所以第17個數是236＋(17－1)×232＝236＋24×232＝2×236＝237.
答案：237
3．仔細觀察下面○和●的排列規律若依此規律繼續下去，得到一系列的○和●，那麼在前120個○和●中，●的個數是________．
解析：進行分組則前n組兩種圈的總數是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.
答案：14
[例2] 如圖所示，面積為s的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內任一點p到第i條邊的距離記為hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則1×h1＋2×h2＋3×h3＋4×h4＝.模擬以上性質，體積為v的三稜錐的第i個面的面積記為si(i＝1,2,3,4)，此三稜錐內任一點q到第i個面的距離記為hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則h1＋2h2＋3h3＋4h4值為( )
a. b. c. d.
[自主解答] 在平面凸四邊形中，連線p點與各個頂點，將其分成四個小三角形，根據三角形面積公式，得
s＝(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)
＝(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)
＝(h1＋2h2＋3h3＋4h4)．
所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.
類似地，連線q點與三稜錐的四個頂點，將其分成四個小三稜錐，則有
v＝(s1h1＋s2h2＋s3h3＋s4h4)
＝(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)
＝(h1＋2h2＋3h3＋4h4)，
所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.
[答案] b
方法規律
模擬推理的一般步驟
(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；
(2)用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出乙個明確的命題(猜想)．
已知數列為等差數列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈n*)，則am＋n＝.模擬等差數列的上述結論，對於等比數列(bn>0，n∈n*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈n*)，則可以得到bm＋n
解析：法一：設數列的公差為d1，則d1＝＝.所以am＋n＝am＋nd1＝a＋n·＝.
模擬推導方法可知：設數列的公比為q，由bn＝bmqn－m，可知d＝cqn－m，所以q＝，
所以bm＋n＝bmqn＝c·＝.
法二：(直接模擬)設數列的公差為d1，數列的公比為q，因為等差數列中an＝a1＋(n－1)d1，等比數列中bn＝b1qn－1，因為am＋n＝，所以bm＋n＝.
考點30合情推理與演繹推理
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序號52合情推理與演繹推理
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