數學：2.1《合情推理與演繹證明》測試
新人教a版選修（2-2）
一、選擇題
1．分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求使結論成立的（ ）
ａ．充分條件必要條件充要條件等價條件
答案：ａ
2．結論為：能被整除，令驗證結論是否正確，得到此結論成立的條件可以為（ ）
且為正奇數為正偶數
答案：ｃ
3．在中，，則一定是（ ）
ａ．銳角三角形直角三角形鈍角三角形不確定
答案：ｃ
4．在等差數列中，若，公差，則有，類經上述性質，在等比數列中，若，則的乙個不等關係是（ ）
答案：ｂ
5．（1）已知，求證，用反證法證明時，可假設，
（2）已知，，求證方程的兩根的絕對值都小於1．用反證法證明時可假設方程有一根的絕對值大於或等於1，即假設，以下結論正確的是（ ）
ａ．與的假設都錯誤
ｂ．與的假設都正確
ｃ．的假設正確；的假設錯誤
ｄ．的假設錯誤；的假設正確
答案：ｄ
6．觀察式子：，，，，則可歸納出式子為（ ）
ａ．ｂ．
ｃ．ｄ．
答案：ｃ
7．如圖，在梯形中，．若，到與的距離之比為，則可推算出：．試用模擬的方法，推想出下述問題的結果．在上面的梯形中，延長梯形兩腰相交於點，設，的面積分別為，且到與的距離之比為，則的面積與的關係是（ ）
答案：ｃ
8．已知，且，則（ ）
答案：ｂ
9．用反證法證明命題：若整係數一元二次方程有有理根，那麼中至少有乙個是偶數時，下列假設中正確的是（ ）
ａ．假設都是偶數
ｂ．假設都不是偶數
ｃ．假設至多有乙個是偶數
ｄ．假設至多有兩個是偶數
答案：ｂ
10．用數學歸納法證明，從到，左邊需要增乘的代數式為（ ）
答案：ｂ
11．模擬「兩角和與差的正余弦公式」的形式，對於給定的兩個函式，，，其中，且，下面正確的運算公式是（ ）
①；②；
③；④；
答案：ｄ
12．正整數按下錶的規律排列
則上起第2005行，左起第2006列的數應為（ ）
答案：ｄ
二、填空題
13．寫出用三段論證明為奇函式的步驟是 ．
答案：滿足的函式是奇函式， 大前提
， 小前提
所以是奇函式結論
14．已知，用數學歸納法證明時，等於 ．
答案：15．由三角形的性質通過模擬推理，得到四面體的如下性質：四面體的六個二面角的平分面交於一點，且這個點是四面體內切球的球心，那麼原來三角形的性質為 ．
答案：三角形內角平分線交於一點，且這個點是三角形內切圓的圓心
16．下面是按照一定規律畫出的一列「樹型」圖：
設第個圖有個樹枝，則與之間的關係是 ．
答案：三、解答題
17．如圖（1），在三角形中，，若，則；若模擬該命題，如圖（2），三稜錐中，面，若點在三角形所在平面內的射影為，則有什麼結論？命題是否是真命題．
解：命題是：三稜錐中，面，若點在三角形所在平面內的射影為，則有是乙個真命題．
證明如下：
在圖（2）中，鏈結，並延長交於，鏈結，則有．
因為面，，所以．
又，所以．
於是．18．如圖，已知矩形所在平面，分別是的中點．
求證：（1）平面；（2）．
證明：（1）取的中點，鏈結．
分別為的中點．
為的中位線，
，，而為矩形，
，且．，且．
為平行四邊形，，而平面，平面，
平面．（2）矩形所在平面，
，而，與是平面內的兩條直交直線，
平面，而平面，
．又，．
19．求證：當乙個圓和乙個正方形的周長相等時，圓的面積比正方形的面積大．
證明：（分析法）設圓和正方形的周長為，依題意，圓的面積為，
正方形的面積為．
因此本題只需證明．
要證明上式，只需證明，
兩邊同乘以正數，得．
因此，只需證明．
上式是成立的，所以．
這就證明了如果乙個圓和乙個正方形的周長相等，那麼圓的面積比正方形的面積最大．
20．已知實數滿足，，求證中至少有乙個是負數．
證明：假設都是非負實數，因為，
所以，所以，，
所以，這與已知相矛盾，所以原假設不成立，即證得中至少有乙個是負數．
21．設，（其中，且）．
（1）請你推測能否用來表示；
（2）如果（1）中獲得了乙個結論，請你推測能否將其推廣．
解：（1）由，
又，因此．
（2）由，即，
於是推測．
證明：因為，（大前提）．
所以，，，（小前提及結論）
所以．22．若不等式對一切正整數都成立，求正整數的最大值，並證明結論．
解：當時，，即，
所以．而是正整數，所以取，下面用數學歸納法證明：．
（1）當時，已證；
（2）假設當時，不等式成立，即．
則當時，有．
因為，所以，
所以．所以當時不等式也成立．
由（1）（2）知，對一切正整數，都有，
所以的最大值等於25．
薄霧濃雲愁永晝，瑞腦消金獸。 佳節又重陽， 玉枕紗廚， 半夜涼初透。
東籬把酒黃昏後， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 簾捲西風， 人比黃花瘦。
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