1．曲線y＝x2－x在點(1,0)處的切線的傾斜角為________．
解析：y′＝2x－1，y′|x＝1＝1，即tanα＝1，∴α＝45°.
答案：45°
2．已知函式y＝f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程是x－2y＋1＝0，則f(1)＋2f′(1)的值是________．
解析：(1，f(1))在直線x－2y＋1＝0上，所以1－2f(1)＋1＝0，∴f(1)＝1.又∵f′(1)＝，∴f(1)＋2f′(1)＝1＋2×＝2.
答案：2
3．(2023年江蘇南京調研)若曲線f(x)＝x4－x在點p處的切線平行於直線3x－y＝0，則點p的座標為________．
解析：設p(x0，y0)，∵f′(x)＝4x3－1，
∴f′(x0)＝4x03－1，由題知4x03－1＝3，∴x0＝1，則y0＝0.
答案：(1,0)
4．(2023年高考江蘇卷)設直線y＝x＋b是曲線y＝lnx(x>0)的一條切線，則實數b的值為________．
解析：y′＝，令＝得x＝2，故切點(2，ln2)，代入直線方程，得b＝ln2－1.
答案：ln2－1
5．若存在過點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，則a等於________．
解析：令過(1,0)的直線與y＝x3切於點(x0，y0)，切線斜率為k＝3x02.
設切線方程為y＝3x02(x－1)，
則x03＝3x03－3x022x03－3x02＝0x0＝0或x0＝.
故切線方程為y＝0或y＝(x－1)．
ax2＋x－9＝0，
∵δ＝0，∴a＝－.
ax2＋x－9＝(x－1)，∵δ＝0，
∴a＝－1.
答案：－1或－
6．(2023年高考安徽卷)設函式f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，則導數f′(1)的取值範圍是________．
解析：∵f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，
∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)．
∵θ∈[0
∴sin(θ＋)∈[，1]，
∴f′(1)∈[，2]．
答案：[，2]
7．曲線y＝x3在點(1,1)處的切線與x軸及直線x＝1所圍成的三角形的面積為________．
解析：∵y＝x3，∴y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3×1＝3，所以在(1,1)處的切線方程為3x－y－2＝0.則3x－y－2＝0與x軸的交點為(，0),3x－y－2＝0與直線x＝1的交點為(1,1)，所以圍成的三角形面積為s＝××1＝.
答案：8．已知點p(x，y)是函式y＝ex＋x的圖象上的點，則點p到直線2x－y－3＝0的最小距離為________．
解析：要求距離最小點，即為與直線平行且與曲線相切的切點．由題意y′＝ex＋1＝2x＝0，則切點為(0,1)，最小距離為.
答案：9．(2023年高考北京卷)設f(x)是偶函式．若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為1，則該曲線在點(－1，f(－1))處的切線的斜率為________．
答案：－1
10．已知函式f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點p(1，－2)，過點p作直線l.求使直線l和y＝f(x)相切且以p為切點的直線方程．
解：由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，過點p且以p(1，－2)為切點的直線的斜率f′(1)＝0，∴所求的直線方程為y＝－2.
11．已知函式f(x)＝2x3＋ax與g(x)＝bx2＋c的圖象都過點p(2,0)，且在點p處有公共切線，求f(x)、g(x)的表示式．
解：∵f(x)＝2x3＋ax圖象過點p(2,0)，
∴a＝－8，∴f(x)＝2x3－8x，
∴f′(x)＝6x2－8.
對於g(x)＝bx2＋c，圖象過點p(2,0)，
則4b＋c＝0.
又g′(x)＝2bx，g′(2)＝4b＝f′(2)＝16，
∴b＝4，∴c＝－16，∴g(x)＝4x2－16.
綜上可知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.
12．曲線s：y＝x3－6x2－x＋6.
(1)則曲線在哪一點處切線的斜率最小？求此時的切線方程．
(2)設此點是p(x0，y0)，證明：曲線s關於點p中心對稱．
解：(1)y′＝3x2－12x－1，
當x＝2時，y′最小，最小值為－13，切點為p(2，－12)，切線方程為13x＋y－14＝0.
(2)證明：設(x1，y1)是s上任意一點，(x，y)是(x1，y1)關於點p(2，－12)的對稱點，則
∴－24－y＝(4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6，
整理，得y＝x3－6x2－x＋6，
故(x，y)∈s，於是曲線s關於點p(2，－12)中心對稱.
1章3節訓練
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3章1節達標訓練
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2章1課時訓練
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