動態問題
一、選擇題
1．（2018·湖北省孝感·3分）如圖，在△abc中，∠b=90°，ab=3cm，bc=6cm，動點p從點a開始沿ab向點b以1cm/s的速度移動，動點q從點b開始沿bc向點c以2cm/s的速度移動，若p，q兩點分別從a，b兩點同時出發，p點到達b點運動停止，則△pbq的面積s隨出發時間t的函式關係圖象大致是（ ）
a． b． c． d．
【分析】根據題意表示出△pbq的面積s與t的關係式，進而得出答案．
【解答】解：由題意可得：pb=3﹣t，bq=2t，
則△pbq的面積s=pbbq=（3﹣t）×2t=﹣t2+3t，
故△pbq的面積s隨出發時間t的函式關係圖象大致是二次函式圖象，開口向下．
故選：c．
【點評】此題主要考查了動點問題的函式圖象，正確得出函式關係式是解題關鍵．
2． （2018·山東濰坊·3分）如圖，菱形abcd的邊長是4厘公尺，∠b=60°，動點p以1厘公尺秒的速度自a點出發沿ab方向運動至b點停止，動點q以2厘公尺/秒的速度自b點出發沿折線bcd運動至d點停止．若點p、q同時出發運動了t秒，記△bpq的面積為s厘公尺2，下面圖象中能表示s與t之間的函式關係的是（ ）
a． b． c． d．
【分析】應根據0≤t＜2和2≤t＜4兩種情況進行討論．把t當作已知數值，就可以求出s，從而得到函式的解析式，進一步即可求解．
【解答】解：當0≤t＜2時，s=2t××（4﹣t）=﹣t2+4t；
當2≤t＜4時，s=4××（4﹣t）=﹣2t+8；
只有選項d的圖形符合．
故選：d．
【點評】本題主要考查了動點問題的函式圖象，利用圖形的關係求函式的解析式，注意數形結合是解決本題的關鍵．
3．（2018湖北黃石3分）如圖，在rt△pmn中，∠p=90°，pm=pn，mn=6cm，矩形abcd中ab=2cm，bc=10cm，點c和點m重合，點b、c（m）、n在同一直線上，令rt△pmn不動，矩形abcd沿mn所在直線以每秒1cm的速度向右移動，至點c與點n重合為止，設移動x秒後，矩形abcd與△pmn重疊部分的面積為y，則y與x的大致圖象是（ ）
a． b． c． d．
【分析】在rt△pmn中解題，要充分運用好垂直關係和45度角，因為此題也是點的移動問題，可知矩形abcd以每秒1cm的速度由開始向右移動到停止，和rt△pmn重疊部分的形狀可分為下列三種情況，（1）0≤x≤2；（2）2＜x≤4；（3）4＜x≤6；根據重疊圖形確定面積的求法，作出判斷即可．
【解答】解：∵∠p=90°，pm=pn，
∴∠pmn=∠pnm=45°，
由題意得：cm=x，
分三種情況：
①當0≤x≤2時，如圖1，邊cd與pm交於點e，
∵∠pmn=45°，
∴△mec是等腰直角三角形，
此時矩形abcd與△pmn重疊部分是△emc，
∴y=s△emc=cmce=；
故選項b和d不正確；
②如圖2，當d在邊pn上時，過p作pf⊥mn於f，交ad於g，
∵∠n=45°，cd=2，
∴cn=cd=2，
∴cm=6﹣2=4，
即此時x=4，
當2＜x≤4時，如圖3，矩形abcd與△pmn重疊部分是四邊形emcd，
過e作ef⊥mn於f，
∴ef=mf=2，
∴ed=cf=x﹣2，
∴y=s梯形emcd=cd（de+cm）==2x﹣2；
③當4＜x≤6時，如圖4，矩形abcd與△pmn重疊部分是五邊形emcgf，過e作eh⊥mn於h，
∴eh=mh=2，de=ch=x﹣2，
∵mn=6，cm=x，
∴cg=cn=6﹣x，
∴df=dg=2﹣（6﹣x）=x﹣4，
∴y=s梯形emcd﹣s△fdg=﹣=×2×（x﹣2+x）﹣=﹣+10x﹣18，
故選項a正確；
故選：a．
【點評】此題是動點問題的函式圖象，有難度，主要考查等腰直角三角形的性質和矩形的性質的應用、動點運動問題的路程表示，注意運用數形結合和分類討論思想的應用．
4.（2018河南3分）如圖1，點f從菱形abcd的頂點a出發，沿a→d→b以1cm/s的速度勻速運到點b.圖2是點f運動時,△fbc的面積y(cm2)隨時間x(s)變化的關係圖象，則a的值為（ ）
ab.2c. d.2
5. （2018·廣東·3分）如圖，點p是菱形abcd邊上的一動點，它從點a出發沿在a→b→c→d路徑勻速運動到點d，設△pad的面積為y，p點的運動時間為x，則y關於x的函式圖象大致為（ ）
ab．cd．【分析】設菱形的高為h，即是乙個定值，再分點p在ab上，在bc上和在cd上三種情況，利用三角形的面積公式列式求出相應的函式關係式，然後選擇答案即可．
【解答】解：分三種情況：
①當p在ab邊上時，如圖1，
設菱形的高為h，
y=aph，
∵ap隨x的增大而增大，h不變，
∴y隨x的增大而增大，
故選項c不正確；
②當p在邊bc上時，如圖2，
y=adh，
ad和h都不變，
∴在這個過程中，y不變，
故選項a不正確；
③當p在邊cd上時，如圖3，
y=pdh，
∵pd隨x的增大而減小，h不變，
∴y隨x的增大而減小，
∵p點從點a出發沿在a→b→c→d路徑勻速運動到點d，
∴p在三條線段上運動的時間相同，
故選項d不正確；
故選：b．
【點評】本題考查了動點問題的函式圖象，菱形的性質，根據點p的位置的不同，分三段求出△pad的面積的表示式是解題的關鍵．
6. （2018廣西桂林3分）如圖，在平面直角座標系中，m、n、c三點的座標分別為（，1），（3，1），（3，0），點a為線段mn上的乙個動點，連線ac，過點a作交y軸於點b，當點a從m運動到n時，點b隨之運動，設點b的座標為（0，b），則b的取值範圍是（ ）
a. b. c. d.
【答案】a
【解析】分析：分別求出當點a與點m、n重合時直線ac的解析式，由ab⊥ac可得直線ab的解析式，從而求出b的值，最終可確定b的取值範圍.
詳解：當點a與點n重合時，mn⊥ab，
∴mn是直線ab的一部分，
∵n（3，1）
∴此時b=1；
當點a與點m重合時，設直線ac的解析式為y=k1x+m,
由於ac經過點a、c兩點，故可得，解得：k1=,
設直線ab的解析式為y=k2x+b,
∵ab⊥ac,
∴, ∴k2=
故直線ab的解析式為y=x+b,
把（，1）代入y=x+b得，b=-.
∴b的取值範圍是.
故選a.
點睛：此題考查一次函式基本性質，待定係數求解析式，簡單的幾何關係.
二.填空題
1.（2018·浙江舟山·4分）如圖，在矩形abcd中，ab=4，ad=2，點e在cd上，de=1，點f是邊ab上一動點，以ef為斜邊作rt△efp．若點p在矩形abcd的邊上，且這樣的直角三角形恰好有兩個，則af的值是________。
【考點】矩形的性質，圓周角定理，切線的性質，直角三角形的性質
【分析】學習了圓周角的推論：直徑所對的圓周角是直角，可提供解題思路，不妨以ef為直徑作圓，以邊界值去討論該圓與矩形abcd交點的個數
【解答】解：以ef為斜邊的直角三角形的直角頂點p是以ef為直徑的圓與矩形邊的交點，取ef的中點o，
（1）如圖1，當圓o與ad相切於點g時，鏈結og，此時點g與點p重合，只有乙個點，此時af=og=de=1；
（2）如圖2，當圓o與bc相切於點g，鏈結og，eg，fg，此時有三個點p可以構成rt△efp，
∵og是圓o的切線，
∴og⊥bc
∴og//ab//cd
∵oe=of，
∴bg=cg，
∴og=（bf+ce），
設af=x，則bf=4-x，og=(4-x+4-1)=(7-x)，
則ef=2og=7-x，eg2=ec2+cg2=9+1=10,fg2=bg2+bf2=1+(4-x)2
在rt△efg中，由勾股定理得ef2=eg2+fg2 ， 得（7-x）2=10+1+（4-x）2,解得x=
所以當1＜af＜時，以ef為直徑的圓與矩形abcd的交點（除了點e和f）只有兩個；
（3）因為點f是邊ab上一動點：
當點f與a點重合時，af=0，此時rt△efp正好有兩個符合題意；
當點f與b點重合時，af=4，此時rt△efp正好有兩個符合題意；
故答案為0或1＜af＜或4
【點評】正確新增輔助線是解決本題分關鍵.
三解答題
1. （2018山西13分）綜合與**
如圖，拋物線與 x 軸交於 a , b 兩點（點 a 在點 b 的左側 ）， 與 y 軸交於點 c ，連線
ac , bc .點 p 是第四象限內拋物線上的乙個動點 ，點 p 的橫座標為 m ，過點 p 作 pm x 軸 ，垂足為點 m ， pm 交 bc 於點 q ，過點 p 作 pe∥ ac 交 x 軸於點 e ，交 bc 於點 f .
（ 1） 求 a ， b ， c 三點的座標；
（ 2） 試**在點 p 的運動的過程中 ，是否存在這樣的點 q ，使得以 a ， c ， q 為頂點的三角形是
等腰三角形 .若存在 ， 請直．接．寫出此時點 q 的座標 ； 若不存在 ， 請說明理由；
（ 3） 請用含 m 的代數式表示線段 qf 的長，並求出 m 為何值時 qf 有最大值 .
【考點】 幾何與二次函式綜合
【解析】
（ 1） 解： 由 y 0 ，得
解得 x1 3 ， x2 4 .
點 a ， b 的座標分別為 a(-3,0)， b（ 4， 0）
由 x 0 ，得 y 4 . 點 c 的座標為 c（ 0， -4） .
（ 3） 過點 f 作 fg pq 於點 g .
則 fg∥x 軸 . 由 b（ 4， 0）， c（ 0， -4），得 △o b c為等腰直角三角形 .
obc qfg 45 . gq fg fq .
pe∥ ac , 1 2 .
fg∥x 軸， 2 3 . 1 3 .
fgp aoc 90 , △fgp∽△aoc .
2（2018山東濱州14分）如圖①，在平面直角座標系中，圓心為p（x，y）的動圓經過點a（1，2）且與x軸相切於點b．
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