《橢圓及其標準方程》素材
一、概述
1．《橢圓及其標準方程》是高中數學選修1-1（人教版）2.1.1中的內容，分三課時完成.
第一課時講解橢圓的定義及其標準方程；第二課時講解運用橢圓的定義及其標準方程解題，鞏固求曲線方程的兩種基本方法，即待定係數法、定義法；第三課時講解運用中間變數法求動點軌跡方程的基本思路。 本節是第一課時.
2．本節內容是繼學生學習了直線和圓的方程，對曲線的方程的概念有了一定了解，對用座標法研究幾何問題有了初步認識的基礎上，進一步學習用座標法研究曲線。 橢圓的學習可以為後面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎. 因此這節課有承前啟後的作用，是本章和本節的重點內容之一。
3．運用多**形象地給出橢圓，通過讓學生自已動手作圖，「定性」地畫出橢圓，再通過座標法「定量」地描述橢圓，使之從感性到理性抽象概括，形式概念，推出方程。
二、教學目標分析
1. 知識與技能目標：
掌握橢圓的定義和標準方程；明確焦點、焦距的概念；理解橢圓標準方程的推導。
2. 過程與方法目標：
通過讓學生積極參與、親身經歷橢圓定義和標準方程的獲得過程；體驗座標法在處理幾何問題中的優越性，從而進一步掌握求曲線方程的方法和數形結合的思想，提高運用座標法解決幾何問題的能力及運算能力。
3. 情感態度與價值觀目標：
通過主動**、合作學習，相互交流，感受探索的樂趣與成功的喜悅，養成實事求是的科學態度和契而不捨的鑽研精神。
培養學生自主學習的能力。以查詢「神舟7號」有關材料，激發學生學習數學的興趣，增強學生的數學應用意識、創新意識，擴充套件學生的數學視野，並讓學生受到愛國主義思想的教育。
四、教學策略選擇與設計
1、教法設計：採用啟發式教學，在課堂教學中堅持以教師為主導，學生為主體,思維訓練為主線，能力培養為主攻的原則。
2、學法設計：自主**，合作交流
要求學生動手實驗，自主**，合作交流，抽象出橢圓定義，並用座標法**橢圓的標準方程，使學生的學習過程成為在教師引導下的「再創造」過程。
3、教學手段：多**輔助教學.
通過動態演示，有利於引起學生的學習興趣，激發學生的學習熱情，增大知識資訊的容量，使內容充實、形象、直觀，提高教學效率和教學質量.
五、教學資源與工具設計
1．多**教室
2．每個學生準備一段細線、兩枚大頭針或圖釘
3．上網搜尋有關神舟系列火箭執行軌跡圖
五、教學程式
(一) 創設情景，提出課題
ppt**（神舟
[問一] 「神舟7號」圍繞地球執行軌跡是什麼圖形？
(二) 自主**，形成概念
[問二] 動點按照某種規律運動形成的軌跡叫曲線，那麼橢圓是滿足什麼條件的軌跡呢？
教師引導：要想知道橢圓是滿足什麼條件的點的軌跡，首先要知道橢圓的畫法。於是讓學生拿出課前準備好的一塊紙板，一段細繩，兩枚圖釘，按課本上介紹的方法，同桌間相互磋商、動手繪圖，教師巡視，並抽已完成的兩位同學在黑板上用準備好的工具演示，使學生嘗試到成功的喜悅.。
教師進一步啟發引導學生討論，得出「到兩個定點的距離的和等於常數的點的軌跡是橢圓」
[思考]
1. 在紙板上作圖說明了什麼？
2. 在繩長 (設為 2 a ）不變的條件下，
（1）當兩個圖釘重合在一點時，畫出的圖形是什麼？
（2）改變兩個圖釘之間的距離，畫出的圖形是什麼？
（3）當兩個圖釘之間的距離等於繩長時，畫出的圖形是什麼？
（4）當兩圖釘固定，能使繩長小於兩圖釘之間的距離嗎？能畫出圖形嗎
3．學生自己概括橢圓定義.
定義平面內與兩個定點f1 、f2 的距離的和等於常數（大於 |f1 f2 | ）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。
在歸納定義時，再次強調定義要滿足三個條件：①平面內（這是大前提）；②任意一點到兩個定點的距離的和等於常數；③常數大於 |f1 f2 |.
(三) 師生互動，匯出方程
給出橢圓的定義後，教師即可指出：由橢圓定義，知道了它的基本幾何特徵，這只是一種「定性」的描述，但是對於這種曲線還具有哪些性質，尚需進一步研究. 根據解析幾何的基本思想方法，我們需要利用座標法先建立橢圓的方程「定量」的描述，然後通過對橢圓的方程的討論，來研究其幾何性質.
[問三]
1. 求曲線方程的一般步驟是什麼？
2. 建立座標系的一般原則有哪些？
學生圍繞以上問題思考，討論可得：求曲線方程的一般步驟——建系、設點、寫出點集、列出方程、化簡方程、證明（可省略）. 建系的一般原則為：
使已知點的座標和曲線的方程盡可能簡單，即原點取在定點或定線段的中點，座標軸取在定直線上或圖形的對稱軸上，充分利用圖形的對稱性.
[問四] 怎樣建立座標系，才能使求出的橢圓方程最為簡單？
通過前面知識的回憶，學生思考、相互交流，很容易選定下列建立座標系的方案.
1. 建系：以兩定點f1 、f2 的
連線為 x 軸，以線段 f1 f2 的垂直平分線為y軸，建立座標系，如圖1
2. 設點：
設m ( x , y ) 為橢圓上任意一點，| f1 f2 | = 2 c (c>0) ，則有f1（－c, 0）、f2 (c ,0). 又設 m與f1 和f2 的距離的和等於常數 2 a ( a > 0 ) .
3、列出方程
到此為止，學生以為橢圓的方程已求出，此時教師可以指出：為了更進一步利用方程**橢圓的其他性質需要盡量簡化方程形式，使數量關係更加明朗化.
4. 化簡方程：學生對含有兩個根式之和的等式進行化簡有一定困難，採用以下方法突破難點：
首先讓學生明確，含根號的等式化簡的目的就是要去掉根號，變無理式為有理式；啟發學生，化簡含兩個根式之和的等式，只要將兩個根式分別放在等號兩邊，其中一邊只含乙個根式，平方一次後即可轉化為只含乙個根式的化簡問題.
教師引導學生化簡，得到 (a 2 － c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 － c 2 ) . 指出：此方程形式還不夠簡捷，還有變形的必要再簡化。
先簡化a2-c2，∵a>c,∴a2-c2>0,令a2-c2＝b2，則方程化為b2x2+a2y2=a2b2，聯想到直線截距式方程，兩邊同除以a2b2得， （a>b>0）
指出：方程（a>b>0）叫做橢圓的標準方程，此時，橢圓的焦點在x軸上，f1(-c,0)
f2(c,0),這裡，c2=a2-b2
[問五] 如果焦點f1 、f2 在 y 軸上，並且
點o 與線段f1 f2 的中點重合，a、b、c 的意義同上，橢圓的方程形式又如何呢？
學生互相討論，交流，合情猜想，動手驗證可得
（a>b>0）
指出：（a>b>0）叫做橢圓的標準方程，此時，橢圓的焦點在y軸上，f1(0,-c)，f2(0,c),這裡，c2=a2-b2
為了加深對橢圓的兩種標準方程的理解， 比較橢圓的兩種標準方程，填表.
(四) 初步運用，強化理解
例題 1. 判定下列橢圓的焦點在哪個軸上，並指明 a2，b2 和焦點座標.
(12)
2．橢圓2x2－3y2＝1焦點座標為
3．橢圓的焦距是 ，焦點座標為若ab是過下焦點f1的弦，則△f1ab的周長是
圖3(五) 自我評價，反饋調節
1．橢圓上一點p到焦點f1的距離等於6，則點p到另乙個焦點f2的距離是
2．動點p到定點f1（－5，0），f2（5，0）的距離的和是10，則動點p的軌跡為（ ）
（a）橢圓 (b) 線段f1f2 (c) 直線f1f2 (d)不能確定
3．簡化方程：
4．橢圓mx2+ny2=－mn (m（學生分組比賽，每組抽2位同學的作業用幻燈演示，教師訂正。
(六) 知識整理，形成系統（由學生歸納，教師完善）
1. 橢圓的定義（注意定義中的三個條件）
2. 橢圓的標準方程（注意焦點的位置與方程形式的關係）
3. 解析幾何的基本思想
(七)布置作業，鞏固提高（學有餘力的學生全做，其餘學生不做**題）
1. 課本習題 p36練習第 1 、2、3題
2. 課後**題：將推導橢圓方程過程中得到的方程a2－cx=a變形為後觀察式子的幾何意義，提出合理猜想。
五、課後反思
本節課圍繞「層層設問自主探索發現規律歸納總結」這一主線展開，對教材內容進行優化組合，在教學過程中，學生通過****，動手實踐，自己總結出橢圓定義，符合從感性上公升為理性的認知規律，而且提公升了抽象概括的能力. 同時在進行推導橢圓的標準方程的過程中，提高了利用座標法解決幾何問題的能力及運算能力. 在整節課中，教師作為引導者，利用「神舟7號」圍繞地球執行軌跡的演示，激發學生學習數學的興趣，鼓勵學生大膽探索 ，勇於創新，提高學生參與數學活動的興趣和積極性，同時設定了不同層次的知識面，以適應不同學生的認知過程.
增強了學生的自信心，基本體現了新課標中讓學生自主學習的教學理念.
附1：教學過程流程圖附2：課件結構圖
附件3：教學評價內容設計
1、評價內容：課堂表現評價、學習效果評價
2.評價方式：
課堂表現評價採用教師依據學生學習態度、積極參與、認真聽課、完成課堂練習等進行定性評價，分優秀、良好、合格、有待提高四個等級，比例為2：3：4：1
學習效果評價採用課堂學習效果評價+作業方式評價，內容有畫圖（定性）課堂練習、課後作業（定量，根據完成情況及正確程度評分，滿分10分）課後**（定性）等
點評：本環節是對本課進行乙個總結回顧，從而讓學生對所學的知識技能有乙個歸納總結
附件4教學設計成果評價量表
2 1 1橢圓及其標準方程
2.1.1橢圓與橢圓的標準方程 學習目標 1.通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養學生分析探索能力，增強運用座標法解決幾何問題的能力。2.通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力 學習重點 橢圓的定義的理解及其標準方程記憶 學習難點 橢圓標準方程的推導 學習過程 1 橢...
2 1 1橢圓的定義及其標準方程
學情分析 學生已經學過了軌跡方程。對於怎樣列方程有了一定的了解。本節課將通過學生的自主 總結來進行教學。三維目標 知識與技能 使學生掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的推導過程 掌握焦點 焦點位置 焦距與方程關係 了解建立座標系的選擇原則。過程與方法 通過讓學生自己畫圖 橢圓上的點應滿足的條件 通過橢...
2 1 1橢圓的標準方程 2 學案
2.1.1橢圓及其標準方程 學習目標 掌握橢圓的定義，掌握焦點在y軸上的橢圓的標準方程 學習重點 焦點在y軸上的橢圓的標準方程 學習難點 標準方程的確定與應用 學習過程 1 焦點在y軸上的橢圓的標準方程 如果使點f1 f2在y軸上，點f1 f2的座標是f1 0,c f2 0,c 則橢圓方程為 如右圖...