太原市近3年數學中考壓軸題

23．（11分）（2014山西）課程學習：正方形摺紙中的數學．

動手操作：如圖1，四邊形abcd是一張正方形紙片，先將正方形abcd對折，使bc與ad重合，摺痕為ef，把這個正方形展平，然後沿直線cg摺疊，使b點落在ef上，對應點為b′．

數學思考：（1）求∠cb′f的度數；（2）如圖2，在圖1的基礎上，連線ab′，試判斷∠b′ae與∠gcb′的大小關係，並說明理由；

解決問題：

（3）如圖3，按以下步驟進行操作：

第一步：先將正方形abcd對折，使bc與ad重合，摺痕為ef，把這個正方形展平，然後繼續對折，使ab與dc重合，摺痕為mn，再把這個正方形展平，設ef和mn相交於點o；

第二步：沿直線cg摺疊，使b點落在ef上，對應點為b′，再沿直線ah摺疊，使d點落在ef上，對應點為d′；

第三步：設cg、ah分別與mn相交於點p、q，連線b′p、pd′、d′q、qb′，試判斷四邊形b′pd′q的形狀，並證明你的結論．

25．（2013山西，25，13分）（本題13分）數學活動——求重疊部分的面積。

問題情境：數學活動課上，老師出示了乙個問題：

如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片△abc和△def疊放在一起，其中∠acb=∠e=90°，bc=de=6，ac=fe=8，頂點d與邊ab的中點重合，de經過點c，df交ac於點g。

求重疊部分（△dcg）的面積。

（1）獨立思考：請解答老師提出的問題。

（2）合作交流：「希望」小組受此問題的啟發，將△def繞點d旋轉，使de⊥ab交ac於點h，df交ac於點g，如圖(2)，你能求出重疊部分(△dgh)的面積嗎？請寫出解答過程。

（3）提出問題：老師要求各小組向「希望」小組學習，將△def繞點d旋轉，再提出乙個求重疊部分面積的問題。「愛心」小組提出的問題是：

如圖(3)，將△def繞點d旋轉，de，df分別交ac於點m，n，使dm=mn求重疊部分(△dmn)的面積、

任務：①請解決「愛心」小組所提出的問題，直接寫出△dmn的面積是

②請你仿照以上兩個小組，大膽提出乙個符合老師要求的問題，並在圖中畫出圖形，標明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎上按順時針方向旋轉）。

25．（2012山西）問題情境：將一副直角三角板（rt△abc和rt△def）按圖1所示的方式擺放，其中∠acb=90°，ca=cb，∠fde=90°，o是ab的中點，點d與點o重合，df⊥ac於點m，de⊥bc於點n，試判斷線段om與on的數量關係，並說明理由．

**展示：小宇同學展示出如下正確的解法：

解：om=on，證明如下：

連線co，則co是ab邊上中線，

∵ca=cb，∴co是∠acb的角平分線．（依據1）

∵om⊥ac，on⊥bc，∴om=on．（依據2）

反思交流：

（1）上述證明過程中的「依據1」和「依據2」分別是指：

依據1依據2

（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程．

拓展延伸：

（3）將圖1中的rt△def沿著射線ba的方向平移至如圖2所示的位置，使點d落在ba的延長線上，fd的延長線與ca的延長線垂直相交於點m，bc的延長線與de垂直相交於點n，連線om、on，試判斷線段om、on的數量關係與位置關係，並寫出證明過程．