北京四中
編稿：徐長明審稿：趙雲潔責編：張楊
二元一次方程組的應用
一、對應用題的觀察和分析
利用二元一次方程組解有關的應用題時，對應用題進行觀察和分析，要著重注意如下三點：
(1)題中有哪幾個未知數(包括明顯的未知數和隱含的未知數)？
(2)題中的未知數與已知內容之間有哪幾個相等關係(包括明顯的相等關係和隱含的相等關係)？——題中有幾個未知數，一般就要找出幾個相等關係.
(3)設立哪幾個未知數，利用哪幾個相等關係，可以較方便地把其餘未知數用所設未知數的代數式表示出來？(利用剩下的等量關係列方程組.)
二、常見幾類應用題及其基本數量關係
明確各類應用題中的基本數量關係，是正確列出方程的關鍵.常遇到的幾類應用題及其基本關係如下：
1.行程問題：基本關係式為: 速度×時間=距離
2.工程問題：基本關係式為: 工作效率×工作時間=工作總量
計畫數量×超額百分數=超額數量
計畫數量×實際完成百分數=實際數量
3.百分比濃度問題：基本關係式為:溶液×百分比濃度=溶質
4.混合物問題：基本關係式為:各種混合物重量之和=混合後的總重量
混合前純物重量=混合後純物重量
混合物重量×含純物的百分數=純物的重量
5.航行問題：基本關係式為:靜水速度+水速=順水速度
靜水速度-水速=逆水速度
6.數字問題要注意各數字上的數字與數字的關係.
7.倍比問題，要注意一些基本關係術語，如：倍、分、大、小等.
三、 例題精析
如何分析應用題：
例1. 某單位外出參觀.若每輛汽車坐45人，那麼15人沒有座位；若每輛汽車坐 60人，則恰好空出一輛汽車，問共需幾輛汽車，該單位有多少人？
思考如下：
（1）題目中的已知條件是什麼？
（2）「有人沒有座位」是指什麼意思？「有空座位」是指什麼意思？3.
基於上述分析，那麼已知條件「每輛車坐45人，15人沒有座位」可理解成什麼？「每輛車坐60人，恰好空出一輛車」又可理解成什麼？
解：設該單位共有x輛車，y個人.依題意，得
解這個方程組，得
答：該單位共有5輛車，240人.
例2.汽車從甲地到乙地，若每小時行駛45千公尺，就要延誤小時到達；若每小時行駛50千公尺，就可以提前小時到達。求甲、乙兩地間的距離及原計畫行駛的時間。
思考問題：
（1）路程、速度、時間三者關係是什麼？
（2）本題中的「延誤」和「提前」都是以什麼為標準的？
（3）基於上述分析，那麼已知條件「汽車每小時行使45千公尺，則要延誤小時到達目的地」可理解成什麼？已知條件「若每小時行使50千公尺，就可以提前小時到達目的地」又可理解成什麼？
解：設甲、乙兩地的距離為x千公尺，原計畫行駛時間為y小時.依題意，得
解這個方程組，得
答：甲、乙兩地間的距離是450千公尺，原計畫行使時間為小時。
例3. 甲、乙兩人從相距36千公尺的兩地同時相向出發，經過4小時30分鐘相遇，如果乙先走2小時，然後甲再出發，這樣甲經過3小時40分鐘與乙相遇，求甲、乙兩人的速度。
分析：此題是行程問題中的相遇問題。題中有兩個未知量：甲、乙兩人的速度。
有兩個等量關係：
（1）甲、乙二人4小時所走的路程=36千公尺；
（2）甲3小時所走的路程+乙(2+3)小時走的路程=36千公尺。
解：設甲、乙二人的速度分別為x千公尺/時，y千公尺/時。
根據題意，得
整理此方程組，得
解這個方程組，得 。
答：甲、乙二人的速度分別為4千公尺/時和3千公尺/時。
例4. 甲、乙兩人在周長是400公尺的環形跑道上散步.若兩人從同地同時背道而行，則經過2分鐘就相遇.
若兩人從同地同時同向而行，則經過20分鐘後兩人相遇.已知甲的速度較快，求二人散步時的速度.(只列方程，不求出)
分析：這個問題是環形線上的相遇、追及問題.其中有兩個未知數：甲、乙二人各自的速度.有兩個相等關係，即
(1)背向而行：兩次相遇間甲、乙的行程之和=400公尺；
(2)同向而行：兩次相遇間甲、乙的行程之差=400公尺.
解：設甲人速度為每分鐘x公尺，乙人速度為每分鐘行走y公尺.依題意，得
例5. 某紙品廠加工甲、乙二種無蓋的長方體小盒如圖（1），利用邊角料裁出正方形和長方形兩種硬紙片，長方形的寬與正方形的邊長相等，如圖（2）。現將150張正方形硬紙片和300張長方形硬紙片全部用於製作這兩種小盒，可以做成甲、乙兩種小盒各多少個？
解: 法（一）
設可以製作甲種小盒x個，乙種小盒y個
根據題意列出方程組
解得：答：可以製作甲種小盒30個，乙種小盒60個。
解：法（二）
設製作甲種小盒用去x張正方形硬紙片，製作乙種小盒用去y張正方形硬紙片，那麼可製作甲種小盒x個，乙種小盒
根據題意列出方程組： 解得：
答：可以製作甲種小盒30個，乙種小盒60個。
四、如何設未知數
列方程解應用題的第一步是設未知數，設未知數的方法很多，有時可直接設所求量為未知數，有時應間接地設未知數，還有的時候需要增設輔助未知數.那麼，如何巧設未知數，以達到迅速解題的目的呢？
直接設所求量為未知數
例1. a，b兩地相距 20千公尺.甲、乙兩人分別從a，b兩地同時相向而行，兩小時後在途中相遇，然後甲返回a地，乙仍繼續前進，當甲回到a地時，乙離a地還有2千公尺.求甲、乙的速度.
分析：這個問題是直線行駛中的相遇、追及問題.其中設兩個未知數：甲、乙各自的速度，有兩個相等關係.
解：設甲人的速度是每小時行x千公尺，乙人的速度是每小時y千公尺.依題意，得
解這個方程組，得
合理選擇，間接設元
許多同學在解應用題時只考慮題目要求什麼就設什麼為未知數.這種方法有時很難尋找已知量與未知量之間的相等關係.因此，我們應根據題目條件選擇與要求的未知量有關的某個量為未知數，以便找出符合題意的相等關係，從而達到解題的目的.
例2. 從夏令營到學校，先下山然後走平路，某同學先騎自行車以每小時12千公尺的速度下山，而以每小時9千公尺的速度通過平路，到達學校共用55分鐘，他回來的時候以每小時8千公尺的速度通過平路而以每小時4千公尺的速度上山回到夏令營用了1小時。從夏令營到學校有多少千公尺？
分析：根據題設條件，若設山路長為未知數x，則由來回的平路長相等得方程：
9；同樣可設平路長為未知數，由來回山路長相等得方程 12
還可設山路長和平路長分別為x千公尺，y千公尺，由來回的時間關係建立二元一次方程組
或設下山和上山的時間分別為x小時，y小時.由來回山路長和平路長分別相等得到二元一次方程組
設而不求，巧用輔助量
當應用題中涉及的量較多，各個量之間的關係又不明顯時，可適當地增設輔助未知數，目的不是要具體地求出它們的值，而是以此作橋梁，溝通各個數量之間的關係，為列方程(組)創造條件.在解題過程中需將輔助未知數消去，以便求出所需未知數的值.
例1. 一客輪逆水行駛，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面上，等乘客發現後，輪船立即掉頭去追，已知輪船從掉頭到追上共用5分鐘，問乘客丟失了物品，是幾分鐘後發現的？
解設x分鐘後發現掉了物品，船靜水速為v1，水速為v2，由題意得
(x＋5)v2＋x(v1-v2)＝5(v1＋v2)，
xv2+5v2＋xv1-xv2＝5v1+5v2，
xv1＝5v1，
∵ v1≠0，∴ x＝5.
答：乘客5分鐘後發現掉了物品.
注：這裡的輔助未知數是v1和v2.
例2. 乙隻船發現漏水時，已進了一些水，現水勻速進入船內.如果10人淘水，3小時可淘完，5人淘水8小時淘完，如果2小時淘完水，需要多少人淘水.
解設2小時淘完水需x人，一人淘水量為y，每小時進水量為z，再設原進水量為a，由題意得
(2)-(1)得5z=10y，z＝2y，(4)
(2)－(3)得6z=2y(20-x)，(5)
把(4)代入(5)得6×2y＝2y(20-x)，
解得x=14.
答：2小時淘完水需14人.
注：這裡的y，z，a是設而不求的輔助未知數.
例3. 甲班與乙班共83人，乙班與丙班共86人，丙班與丁班共88人，問甲班和丁班共多少人？
(首屆「華羅庚金盃」少年數學邀請賽試題)
解設甲、乙、丙、丁班各有人數a、b、c、d，由題意得
(1)-(2)+(3)得 a＋d=85人.
答：甲班和丁班共有85人.
例4.乙隻小船順流航行從甲碼頭到乙碼頭需a小時，逆流航行這段路程需b小時，那麼一木塊順水漂流這段路程需____小時.
(武漢市初二數學競賽試題)
解：設甲、乙兩個碼頭的距離是s公里，小船在靜水中的速度為x公里/小時，水流速度為y公里/小時，依題意得
即由(1)-(2)得
∴答：一木塊順水漂流這段路程需小時。
例5.有一片牧場，草每天都在均勻地生長(草每天增長的量相等)，如果放牧24頭牛，則6天吃完牧草，如果放牧21頭牛，則8天吃完牧草，設每頭牛吃草的量相等：
(1)如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？
(2)要使牧草永遠吃不完，至多放牧幾頭牛？
解：(1)設這片牧場原有草量為a，每天生長的量為b，每頭牛每天吃草量為c，16頭牛在x天內可以吃完牧草，則
由(2)-(1)得b=12c (4)
由(3)-(2)得(16x-168)c=(x-8)b (5)
將(4)代入(5)得x=18.
（2）設至多放牧y頭牛，牧草才永遠吃不完，由即
答：如果放牧16頭牛，18天可以吃完牧草，要使牧草永遠吃不完，至多放牧12頭牛.
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