第8模組第7節
[知能演練]
一、選擇題
1．若點p到點f(0,2)的距離比它到直線y＋4＝0的距離小2，則p的軌跡方程為( )
a．y2＝8xb．y2＝－8x
c．x2＝8yd．x2＝－8y
解析：由題意知p到f(0,2)的距離比它到y＋4＝0的距離小2，因此p到f(0,2)的距離與到直線y＋2＝0的距離相等，故p的軌跡是以f為焦點，y＝－2為準線的拋物線，
∴p的軌跡方程為x2＝8y.
答案：c
2．設f為拋物線y2＝ax(a>0)的焦點，點p在拋物線上，且其到y軸的距離與到點f的距離之比為1∶2，則|pf|等於
( )
ab．a
cd.解析：設p(x0，y0)，則y＝ax0，
由拋物線定義知|pf|＝x0＋，
由已知得＝，解得x0＝，
∴|pf|＝＋＝.
答案：d
3．已知拋物線y2＝4x，過焦點的弦ab被焦點分成長為m、n(m≠n)的兩段，那麼( )
a．m＋n＝mnb．m－n＝mn
c．m2＋n2＝mnd．m2－n2＝mn
解析：由題意設直線ab的方程為y＝k(x－1)，
由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2＝1，
mn＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1
＝x1＋x2＋2＝m＋n.
答案：a
4．設f為拋物線y2＝4x的焦點，a、b、c為該拋物線上三點．若＋＋＝0，則||＋||＋||等於
( )
a．9b．6
c．4d．3
解析：焦點f座標為(1,0)，準線方程x＝－1，設a、b、c座標分別為a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，a、b、c在準線上的射影分別為a′，b′，c′.
∴＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，＝(x3－1，y3)
∵＋＋＝0，
∴x1－1＋x2－1＋x3－1＝0，
∴x1＋x2＋x3＝3
aa′|＋|bb′|＋|cc′|
＝(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＝6.
答案：b
二、填空題
5．已知拋物線y＝ax2－1的焦點是座標原點，則以拋物線與兩座標軸的三個交點為頂點的三角形面積為________．
解析：由拋物線y＝ax2－1的焦點座標為(0，－1)為座標原點，得a＝，則y＝x2－1與座標軸的交點為(0，－1)，(－2,0)，(2,0)，則以這三點圍成的三角形的面積為×4×1＝2.
答案：2
6．點p到a(1,0)和直線x＝－1的距離相等，且點p到直線l：y＝x的距離等於，則這樣的點p的個數為
解析：由拋物線定義，知點p的軌跡為拋物線，其方程為y2＝4x，設點p的座標為(，y0)，由點到直線的距離公式，知＝，即y－4y0±4＝0，易知y0有三個解，故點p個數有三個．
答案：3
三、解答題
7．已知拋物線y2＝2px(p>0)有乙個內接直角三角形，直角頂點在原點，斜邊長為2，一直角邊的方程是y＝2x，求拋物線的方程．
解：因為一直角邊的方程是y＝2x，
所以另一直角邊的方程是y＝－x.
由解得，或(捨去)，
由，解得，或(捨去)，
∴三角形的另兩個頂點為(，p)和(8p，－4p)．
∴＝2.
解得p＝，故所求拋物線的方程為y2＝x.
8．拋物線頂點在原點，它的準線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的乙個焦點，並與雙曲線實軸垂直，已知拋物線與雙曲線的乙個交點為(，)，求拋物線與雙曲線方程．
解：由題設知，拋物線以雙曲線的右焦點為焦點，準線過雙曲線的左焦點，∴p＝2c.拋物線方程為y2＝4cx.
∵拋物線過點(，)，∴6＝4c·.
∴c＝1，故拋物線方程為y2＝4x.
又雙曲線－＝1過點(，)，
∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1.
∴－＝1.∴a2＝或a2＝9(舍)．
∴b2＝，故雙曲線方程為4x2－＝1.
[高考·模擬·**]
1．(2009·福建質檢)已知拋物線y2＝4x的焦點為f，準線與x軸的交點為m，n為拋物線上的一點，且|nf|＝|mn|，則∠nmf＝
( )
ab.cd.
解析：如右圖，過點n向準線引垂線，垂足為p，由拋物線的定義知|nf|＝|np|，又|nf|＝|mn|，即|np|＝|mn|，所以，在rt△nmp中，
sin∠nmp＝＝，即∠nmp＝，故∠nmf＝，答案為a.
答案：a
2．(2009·山東高考)設斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點f，且和y軸交於點a.若△oaf(o為座標原點)的面積為4，則拋物線方程為
( )
a．y2＝±4xb．y2＝±8x
c．y2＝4xd．y2＝8x
解析：不論a值正負，拋物線的焦點座標都是(，0)，故直線l的方程為y＝2(x－)，令x＝0得y＝－，故△oaf的面積為×||×|－|＝＝4，故a＝±8.
答案：b
3．(2009·寧夏、海南)已知拋物線c的頂點為座標原點，焦點在x軸上，直線y＝x與拋物線c交於a，b兩點，若p(2,2)為ab的中點，則拋物線c的方程為
解析：設拋物線的方程為y2＝ax(a≠0)，由方程組得交點座標為a(0,0)，b(a，a)，而點p(2,2)是ab的中點，從而有a＝4，故所求拋物線的方程為y2＝4x.
答案：y2＝4x
4．(2009·福建高考)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點f作傾斜角為45°的直線交拋物線於a，b兩點，若線段ab的長為8，則p
解析：設點a、b的座標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點f且傾斜角為45°的直線方程為y＝x－，把x＝y＋代入y2＝2px，得y2－2py－p2＝0，∴|ab|＝8，∴|y1－y2|＝4，∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2，∴(2p)2－4×(－p2)＝32，又p>0，∴p＝2.
答案：2
5．(2009·安徽高考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y＝x＋2相切．
(1)求a與b；
(2)設該橢圓的左、右焦點分別為f1和f2，直線l1過f2且與x軸垂直，動直線l2與y軸垂直，l2交l1於點p.求線段pf1的垂直平分線與l2的交點m的軌跡方程，並指明曲線型別．
解：(1)由e＝＝＝，得＝.
又由原點到直線y＝x＋2的距離等於圓的半徑，得b＝，a＝.
(2)解法一：由c＝＝1得f1(－1,0)，f2(1,0)．
設m(x，y)，則p(1，y)．
由|mf1|＝|mp|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，y2＝
－4x，
此軌跡是拋物線．
解法二：因為點m**段pf1的垂直平分線上，所以
|mf1|＝|mp|，
即m到f1的距離等於m到l1的距離．
此軌跡是以f1(－1,0)為焦點、l1：x＝1為準線的拋物線，軌跡方程為y2＝－4x.
[備選精題]
6．(2009·南通第一次調研)拋物線y2＝4x的焦點為f，a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1>x2，y1>0，y2<0)在拋物線上，且存在實數λ，使＋λ＝0，||＝.
(1)求直線ab的方程；
(2)求△aob的外接圓的方程．
解：(1)拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1，f(1,0)．
∵＋λ＝0，∴a，b，f三點共線．由拋物線的定義，得||＝x1＋x2＋2.
由題知，直線ab的斜率存在且不為0，設直線ab：y＝k(x－1)，而k＝，x1>x2，y1>0，y2<0，∴k>0.
由，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.
∴，||＝x1＋x2＋2＝＋2＝，∴k2＝.
從而k＝，故直線ab的方程為y＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.
(2)由，求得a(4,4)，b(，－1)．
設△aob的外接圓方程為x2＋y2＋dx＋ey＋h＝0，
則，解得
故△aob的外接圓的方程為x2＋y2－x－y＝0.
拋物線高考題
拋物線專題 1.設拋物線上一點p到y軸的距離是4，則點p到該拋物線焦點的距離是 a.4 b.6 c.8 d.12 2.設拋物線的焦點為，準線為，為拋物線上一點，為垂足，如果直線斜率為，那麼 a b 8 c d 16 3.設拋物線y2 8x的焦點為f，準線為l,p為拋物線上一點,pa l,a為垂足 如...
拋物線應用
經過兩點作直線與軸交於點，在拋物線上是否存在這樣的點，使以點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點的座標 若不存在，請說明理由 設直線與y軸的交點是，段上任取一點 不與重合 經過三點的圓交直線於點，試判斷的形狀，並說明理由 當是直線上任意一點時，3 中的結論是否成立？請直接寫出結論 8 如圖，...
拋物線公式
在初中代數課上曾經學過這樣的乙個公式 ax 2 bx c y 讀作 ax的平方加上bx加上c等於y.這是乙個三元方程式,用幾何來表示就是乙個拋物線公式.可能在日常生活中很上再次接觸這樣的公式,但是在科學技術與研究中它的用途依然十分重要.在遊戲程式的設計中,經常遇到這樣乙個問題 平面遊戲要求設計乙個炮...