9.3 拋物線
1．(原創題)拋物線y2＝24ax(a＞0)上有一點m，它的橫座標是3，它到焦點的距離是5，則拋物線的方程為( )
a．y2＝8xb．y2＝12x
c．y2＝16xd．y2＝20x
解析：選a.由題意知，3＋6a＝5，∴a＝，
∴拋物線方程為y2＝8x.
2．經過拋物線y2＝2x的焦點且平行於直線3x－2y＋5＝0的直線的方程是( )
a．6x－4y－3＝0 b．3x－2y－3＝0
c．2x＋3y－2＝0 d．2x＋3y－1＝0
解析：選a.據題意設所求平行直線方程為3x－2y＋c＝0，又直線過拋物線y2＝2x的焦點(，0)，代入求得c＝－，故直線方程為6x－4y－3＝0.
3．(2023年高考山東卷)設斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點f，且和y軸交於點a，若△oaf(o為座標原點)的面積為4，則拋物線方程為( )
a．y2＝±4xb．y2＝±8x
c．y2＝4xd．y2＝8x
解析：選的焦點座標為(，0)．過焦點且斜率為2的直線方程為y＝2(x－)，令x＝0得：y＝－.
∴×·＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.
4．過拋物線y2＝4x的焦點f作垂直於x軸的直線，交拋物線於a，b兩點，則以f為圓心、ab為直徑的圓的方程是________．
解析：由y2＝4x，得p＝2，f(1,0)，
∴a(1,2)，b(1，－2)，
∴所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝4.
答案：(x－1)2＋y2＝4
5.設拋物線y2＝mx的準線與直線x＝1的距離為3，則拋物線的方程為________．
解析：當m＞0時，準線方程為x＝－＝－2，
∴m＝8，
此時拋物線方程為y2＝8x；
當m＜0時，準線方程為x＝－＝4，
∴m＝－16，
此時拋物線方程為y2＝－16x.
∴所求拋物線方程為y2＝8x或y2＝－16x.
答案：y2＝8x或y2＝－16x
6．設拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為f，q是拋物線上除頂點外的任意一點，直線qo交準線於p點，過q且平行於拋物線對稱軸的直線交準線於r點，求證：·＝0.
證明：設q(，y0)，則r(－，y0)，
直線oq的方程為y＝x，
將x＝－代入上式，得y＝－，
∴p(－，－)．又f(，0)，
∴＝(p，)，＝(p，－y0)．
∴·＝0.
1．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＋＝1的右焦點重合，則p的值為( )
a．－2b．2
c．－4d．4
解析：選d.拋物線的焦點為f(，0)，
橢圓中c2＝6－2＝4，
∴c＝2，其右焦點為(2,0)，
∴＝2，∴p＝4.
2．拋物線y＝4x2上的一點m到焦點的距離為1，則點m的縱座標是( )
ab.cd．0
解析：選到焦點的距離為1，則其到準線距離也為1.
又∵拋物線的準線為y＝－，
∴m點的縱座標為.
3．(2023年高考北京卷)若點p到直線x＝－1的距離比它到點(2,0)的距離小1，則點p的軌跡為( )
a．圓b．橢圓
c．雙曲線d．拋物線
解析：選d.由題意知，點p到點(2,0)的距離與p到直線x＝－2的距離相等，由拋物線定義得點p的軌跡是以(2,0)為焦點，以直線x＝－2為準線的拋物線，故選d.
4．拋物線y2＝4x的焦點為f，過f且傾斜角等於的直線與拋物線在x軸上方的曲線交於點a，則af的長為( )
a．2b．4
c．6d．8
解析：選b.由已知可得直線af的方程為y＝(x－1)，聯立直線與拋物線方程消元得：
3x2－10x＋3＝0，解之得：x1＝3，x2＝(據題意應捨去)，由拋物線定義可得：|af|＝xa＋＝3＋1＝4.
5．如圖過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點f的直線依次交拋物線及準線於點a，b，c，若|bc|＝2|bf|，且|af|＝3，則拋物線的方程為( )
a．y2＝x
b．y2＝9x
c．y2＝x
d．y2＝3x
解析：選d.如圖分別過點a，b作準線的垂線，分別交準線於點e，d，設|bf|＝a，則由已知得：
|bc|＝2a，由定義得：|bd|＝a，故∠bcd＝30°，在直角三角形ace中，|ae|＝3，|ac|＝3＋3a，故有2|ae|＝|ac|3＋3a＝6，從而得a＝1，再由bd∥fg，則有＝p＝，因此拋物線方程為y2＝3x.
6．直線l過拋物線c：y2＝2px(p＞0)的焦點f，且交拋物線c於a，b兩點，分別從a，b兩點向拋物線的準線引垂線，垂足分別為a1，b1，則∠a1fb1是( )
a．銳角b．直角
c．鈍角d．直角或鈍角
答案：b
7．(2023年高考上海卷)若直線ax－y＋1＝0經過拋物線y2＝4x的焦點，則實數a
解析：y2＝4x的焦點為(1,0)，
將點(1,0)代入ax－y＋1＝0，得a＝－1.
答案：－1
8.(2023年高考江西卷)過拋物線x2＝2py(p>0)的焦點f作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交於a、b兩點(點a在y軸左側)，則
解析：如右圖，作aa1⊥x軸，
bb1⊥x軸．
則aa1∥of∥bb1，
∴＝＝，
又已知xa<0，xb>0，
∴＝－，
∵直線ab方程為y＝xtan30°＋
即y＝x＋，
與x2＝2py聯立得x2－px－p2＝0
∴xa＋xb＝p，xa·xb＝－p2，
∴xaxb＝－p2＝－()2
＝－(xa2＋xb2＋2xaxb)
∴3xa2＋3xb2＋10xaxb＝0
兩邊同除以xb2(xb2≠0)得
3()2＋10＋3＝0
∴＝－3或－.
又∵xa＋xb＝p>0，
∴xa>－xb，
∴>－1，
答案：9．對於頂點在原點的拋物線，給出下列條件：
①焦點在y軸上 ②焦點在x軸上 ③拋物線上橫座標為1的點到焦點的距離等於6 ④拋物線的通徑的長為5 ⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足座標為(2,1)．能滿足此拋物線方程y2＝10x的條件是________(要求填寫合適條件的序號)．
解析：在①②兩個條件中，應選擇②，則由題意，可設拋物線方程為y2＝2px(p>0)；對於③，由焦半徑公式r＝1＋＝6，
∴p＝10，此時y2＝20x，不符合條件；
對於④，2p＝5，此時y2＝5x，不符合題意；
對於⑤，設焦點(，0)，則由題意，
滿足·＝－1.
解得p＝5，此時y2＝10x，
所以②⑤能使拋物線方程為y2＝10x.
答案：②⑤
10．拋物線頂點在原點，它的準線過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的乙個焦點，並與雙曲線實軸垂直，已知拋物線與雙曲線的乙個交點為(，)，求拋物線與雙曲線方程．
解：由題設知，拋物線以雙曲線的右焦點為焦點，準線過雙曲線的左焦點，∴p＝2c.設拋物線方程為y2＝4c·x，
∵拋物線過點(，)，∴6＝4c·.
∴c＝1，故拋物線方程為y2＝4x.
又雙曲線－＝1過點(，)，
∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，∴－＝1.
∴a2＝或a2＝9(舍)．
∴b2＝，故雙曲線方程為：4x2－＝1.
11.(2023年高考江蘇卷)在平面直角座標系xoy中，拋物線c的頂點在原點，經過點a(2,2)，其焦點f在x軸上．
(1)求拋物線c的標準方程；
(2)求過點f，且與直線oa垂直的直線的方程．
解：(1)由題意，可設拋物線c的標準方程為y2＝2px.
因為點a(2,2)在拋物線c上，所以p＝1.
因此，拋物線c的標準方程是y2＝2x.
(2)由(1)可得焦點f的座標是(，0)，又直線oa的斜率為＝1，故與直線oa垂直的直線的斜率為－1.
因此，所求直線的方程是x＋y－＝0.
12．設拋物線過定點a(2,0)，且以直線x＝－2為準線．
(1)求拋物線頂點的軌跡c的方程；
(2)已知點b(0，－5)，軌跡c上是否存在滿足·＝0的m、n兩點？證明你的結論．
解：(1)設拋物線頂點p(x，y)，則拋物線的焦點f(2x＋2，y)，
由拋物線的定義可得＝4.
∴＋＝1.
∴軌跡c的方程為＋＝1(x≠2)．
(2)不存在．證明如下：
過點b(0，－5)斜率為k的直線方程為y＝kx－5(斜率不存在時，顯然不符合題意)，
由得(4＋k2)x2－10kx＋9＝0，
由δ≥0得k2≥.
假設在軌跡c上存在兩點m、n，令mb、nb的斜率分別為k1、k2，則|k1|≥，|k2|≥，顯然不可能滿足k1·k2＝－1，
∴軌跡c上不存在滿足·＝0的兩點．
拋物線應用
經過兩點作直線與軸交於點，在拋物線上是否存在這樣的點，使以點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點的座標 若不存在，請說明理由 設直線與y軸的交點是，段上任取一點 不與重合 經過三點的圓交直線於點，試判斷的形狀，並說明理由 當是直線上任意一點時，3 中的結論是否成立？請直接寫出結論 8 如圖，...
拋物線公式
在初中代數課上曾經學過這樣的乙個公式 ax 2 bx c y 讀作 ax的平方加上bx加上c等於y.這是乙個三元方程式,用幾何來表示就是乙個拋物線公式.可能在日常生活中很上再次接觸這樣的公式,但是在科學技術與研究中它的用途依然十分重要.在遊戲程式的設計中,經常遇到這樣乙個問題 平面遊戲要求設計乙個炮...
拋物線練習
拋物線2 一 選擇題 1 拋物線的焦點座標是 ab c d 2 已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，其上的點到焦點的距離為5，則拋物線方程為 a b c d 3 拋物線截直線所得弦長等於 ab c d 15 4 頂點在原點，座標軸為對稱軸的拋物線過點 2,3 則它的方程是a.或 b.或 c.d.5...