6.2 等差數列
1．數列中，an＋1＝an＋2(n∈n*)，則點a1(1，a1)，a2(2，a2)，…，an(n，an)分布在( )
a．直線上，且直線的斜率為－2
b．拋物線上，且拋物線的開口向下
c．直線上，且直線的斜率為2
d．拋物線上，且拋物線的開口向上
解析：選c.∵＝an－an－1＝2(n≥2)，
∴a1，a2，a3，…，an在斜率為2的直線上．
2．(原創題)在等差數列中，若a1＋a5＋a9＝4π，則tan(a2＋a8)的值是( )
ab．－1
cd.解析：選a.根據等差數列等差中項的性質可得，a1＋a5＋a9＝3a5＝4π，所以a5＝，
又a2＋a8＝2a5＝，
故tan(a2＋a8)＝tan＝tan＝－，答案為a.
3．(2023年高考安徽卷)已知為等差數列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20等於( )
a．－1b．1
c．3d．7
解析：選b.由已知得a1＋a3＋a5＝3a3＝105，
a2＋a4＋a6＝3a4＝99，
∴a3＝35，a4＝33，∴d＝－2.
∴a20＝a3＋17d＝35＋(－2)×17＝1.
4．(2023年高考陝西卷)設等差數列的前n項和為sn，若a6＝s3＝12，則的通項an
解析：設等差數列首項為a1，公差為d，則即
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n.
答案：2n
5．已知sn是等差數列的前n項和，且s1＝1，s19＝95，則a19s10
解析：a1＝s1＝1，s19＝×19＝95＝5a19＝10－1＝9，s10＝×10＝×10＝×10＝30.
答案：9 30
6．(2023年高考全國卷ⅱ)已知等差數列中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求的前n項和sn.
解：設的公差為d，則
即解得或
因此sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，
或sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．
1．(2023年高考廣東卷)記等差數列的前n項和為sn.若s2＝4，s4＝20，則該數列的公差d＝( )
a．7b．6
c．3d．2
解析：選又a1＋a2＝4，a3＋a4－a1－a2＝12,4d＝12，d＝3.故選c.
2.設數列的前n項和為sn，且an＝－2n＋1，則數列{}的前11項和為( )
a．－45b．－50
c．－55d．－66
解析：選即＝－n，則數列{}的前11項和為－1－2－3－4－…－11＝－66.
3．設sn是等差數列的前n項和，若＝，則等於( )
a．1b．－1
c．2d.
解析：選a.由已知得：＝＝＝×＝1.
4．已知等差數列中，a1＝11，前7項的和s7＝35，則前n項和sn中( )
a．前6項和最小 b．前7項和最小
c．前6項和最大 d．前7項和最大
解析：選c.由等差數列求和公式s7＝7×11＋d＝35可得d＝－2，則an＝11＋(n－1)×(－2)＝13－2n，要使前n項和最大，只需an≥0即可，故13－2n≥0，解之得n≤6.
5，故前6項的和最大．
5．已知數列是正項等差數列，給出下列判斷：
①a2＋a8＝a4＋a6；②a4·a6≥a2·a8；③a52≤a4·a6；④a2＋a8≥2.其中有可能正確的是( )
ab．①②④
cd．①②③
解析：選b.∵數列是正項等差數列，
∴①a2＋a8＝a4＋a6正確；
又∵a2＋a8＝a4＋a6≥2，
∴④正確；
又∵a4·a6－a2·a8＝(a1＋3d)(a1＋5d)－(a1＋d)(a1＋7d)＝8d2≥0(其中d為公差)，
∴②正確；同理可判斷出③不正確，故選b.
6．設sn是等差數列的前n項和，若a1>0，s8＝s13，sk＝0，則k的值為( )
a．18b．19
c．20d．21
解析：選d.∵sn是等差數列的前n項和，
∴sn＝an2＋bn，sn的圖象為開口向下的拋物線y＝ax2＋bx上橫座標為正整數的點，拋物線的對稱軸為x0＝＝，點(0,0)與(21,0)關於直線x0＝對稱，∴s21＝0，即k＝21.
7．設sn為等差數列的前n項和，s4＝14，s10－s7＝30，則s9＝______.
解析：設首項為a1，公差為d，由s4＝14得
4a1＋d＝14.①
由s10－s7＝30得3a1＋24d＝30，即a1＋8d＝10.②
聯立①②得a1＝2，d＝1.∴s9＝54.
答案：54
8．在等差數列中，|a3|＝|a9|，公差d<0，則使前n項和sn取得最大值的自然數n是________．
解析：∵d<0，|a3|＝|a9|，∴a3＝－a9，
∴a1＋2d＝－a1－8d，
∴a1＋5d＝0，∴a6＝0，
∴an>0(1≤n≤5)，
∴sn取得最大值時的自然數n是5或6.
答案：5或6
9．設等差數列、的前n項和分別為sn、tn，若對任意自然數n都有＝，則＋的值為________．
解析：∵，為等差數列，
∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，∴＝.
答案：10．已知等差數列的前n項和記為sn，a5＝15，a10＝25.
(1)求通項an；
(2)若sn＝112，求n.
解：(1)設等差數列的首項為a1，公差為d，
∵a5＝15，
∴a1＋4d＝15，①
∵a10＝25，
∴a1＋9d＝25，②
解①②組成的方程組得：a1＝7，d＝2.
∴an＝7＋(n－1)×2＝2n＋5.
(2)∵sn＝112，
∴7n＋n(n－1)×2＝112.
即：n2＋6n－112＝0，
解之得n＝－14(捨去)或n＝8，故n＝8.
11．數列滿足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常數．
(1)當a2＝－1時，求λ及a3的值；
(2)數列是否可能為等差數列？若可能，求出它的通項公式，若不可能，說明理由．
解：(1)由於an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，
所以當a2＝－1時，得－1＝2－λ，
故λ＝3.從而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)數列不可能為等差數列，證明如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得
a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使為等差數列，則a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.
於是a2－a1＝1－λ＝－2，
a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
這與為等差數列矛盾．
所以，對任意λ，都不可能是等差數列．
12．數列滿足a1＝a，a2＝－a(a>0)，且從第二項起是公差為6的等差數列，sn是的前n項和．
(1)當n≥2時，用a與n表示an與sn；
(2)若在s6與s7兩項中至少有一項是sn的最小值，試求a的取值範圍；
(3)若a為正整數，在(2)的條件下，設sn取s6為最小值的概率是p1，sn取s7為最小值的概率是p2，比較p1與p2的大小．
解：(1)由已知，當n≥2時，an＝－a＋6(n－2)，
即an＝6n－(a＋12)．
∴sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝a＋(n－1)(－a)＋·6
＝3n2－(a＋9)n＋2a＋6.
(2)由已知，當n≥2時，是等差數列，公差為6，數列遞增．
若s6是sn的最小值，則
即∴24≤a≤30.
若s7是sn的最小值，則
即∴30≤a≤36.
∴當s6與s7兩項中至少有一項是sn的最小值時，a的取值範圍是[24,36]．
(3)∵a是正整數，由(2)知，a＝24,25,26，…，36.
當s6是sn最小值時，a＝24,25,26,27,28,29,30
當s7是sn最小值時，a＝30,31,32,33,34,35,36
∴p1＝p2＝.
6 2等差數列 1
課題 6 2 等差數列 一 教學目標 知識目標 1 理解等差數列的定義 2 理解等差數列通項公式 能力目標 1 應用等差數列的通項公式，解決數列的相關計算，培養學生的計算技能 2 應用等差數列知識，解決生活中實際問題，培養學生處理資料技能和分析解決問題的能力 情感目標 1 經歷等差數列的通項公式的探...
6 2等差數列 1 詳盡教案
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2 1 1等差數列
2.2 等差數列 1 導學案 編寫人 周志進審核 高一數學組時間 2012 03 06 班級組名姓名 學習目標 a級目標 理解等差數列的概念，了解公差的概念，明確乙個數列是等差數列的限定條 件，能根據定義判斷乙個數列是等差數列。b級目標 探索並掌握等差數列的通項公式 能靈活運用通項公式求等差數列的首...