12．5 等差數列的前n項和
一、複習與回顧
上節課我們學習了等差數列的前n項和公式：
1．sn＝na1＋．
2．sn＝．
二、數**用
例1 (1)已知數列的通項為an＝26－2n，若要此數列的前n項之和sn最大，則n的值為_____．
(2)等差數列中，若a5＋a16＝30，則s20等於_______．
(3)在－9和3之間插入n個數，使這n＋2個數組成和為－21的等差數列，則n＝_______．
(4)若等差數列的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為
解 (1)方法一因為
sn＝＝n(25－n)
＝－n2＋25n
＝－(n－)2＋，
所以，當n＝12或13時，sn取得最大值．
方法二因為an＝26－2n是n的單調增函式，且
an≥0n≤13，
當且僅當n＝13時，an＝0，
所以，當n＝12或13時，sn取得最大值．
(2)因為 a1＋a20＝a5＋a16＝30，所以
s20＝＝＝300．
(3)由題意，s＝＝－3(n＋2)＝－21，
所以 n＋2＝7，解得 n＝5．
(4)因為sm，s2m－sm，s3m－s2m成等差數列，即30，70，s3m－100成等差數列，所以s3m＝210．
注意：將等差數列前n項求和公式和一些小性質結合起來使用．
例2 某車間全年共生產2250個零件，現知1月份生產了105個零件，若生產零件的個數每月遞增，求平均每月比前乙個月多生產多少個零件？12月份生產多少個零件？
解設平均每月比前乙個月多生產d個零件，則
＝1260＋66d，
即1260＋66d＝2250，
解得d＝15．
第12個月生產的零件數為
105＋15×11＝370．
答平均每月比前乙個月多生產15個零件，12月份生產370個零件．
例3 某劇場有20排座位，後一排比前一排多2個座位，最後一排有60個座位，這個劇場共有多少個座位？
解從後到前，劇場各排座位數成等差數列，首項為60，公差為－2，項數為20．由等差數列的求和公式，得
s20＝20×60＋×(－2)＝820．
答這個劇場共有820個座位．
例4 某種捲筒衛生紙繞在盤上，空盤時盤芯直徑40mm，滿盤時直徑120mm．已知捲筒衛生紙的厚度為0.1mm，問：滿盤時衛生紙的總長度大約是多少公尺（精確到1m）？
解捲筒衛生紙從內到外可近似地理解為同心圓，各圓的半徑構成首項為20.05mm，公差為0.1mm的等差數列．設第n個圓的半徑為rnmm，周長cnmm，其中cn＝2πrn．
因為 cn＋1－cn＝2π(rn＋1－rn)＝0.2π，
所以，從內到外圓的周長構成首項為40.1πmm，公差為0.2πmm的等差數列，項數為＝400．
由等差數列的求和公式，得
s400＝400×40.1π＋×0.2π
＝32000π(mm)≈100531(mm)≈101(m)．
答滿盤時衛生紙的總長度大約是101m．
例5 教育儲蓄是一種零存整取定期儲蓄存款，它享受整存整取利率，利息免稅．教育儲蓄的物件為在小學四年級（含四年級）以上的學生．教育儲蓄可選擇1年、3年、6年這三種存期，起存金額50元，存款總額不超過2萬元．假設零存整取3年教育儲蓄的月利率為2.1‰．
(1)欲在3年後一次支取本息合計2萬元，每月大約存入多少元？
(2)零存整取3年期教育儲蓄每月至多可存入多少元？此時3年後本息合計約為多少？
解 (1)設每月存入a元，則3年後可取得總額為
[(1＋2.1‰)＋(1＋2×2.1‰)＋…＋(1＋36×2.1‰)]a
＝(36＋36×2.1‰＋×2.1‰)a＝37.3986a．
由37.3986a＝20000，
解得a≈534.78．
(2)由於教育儲蓄存款總額不超過2萬元，所以零存整取3年期教育儲蓄每月至多存入
≈555.55(元)．
這樣3年後的本息合計為
37.3986×555.55＝20776.79223≈20776.79(元)．
答 (1)欲在3年後一次支取本息合計2萬元，每月大約存入534.78元；(2)零存整取3年期教育儲蓄每月至多存入555.55元，這樣3年後本息合計約為20776.79元．
三、課堂反饋:
p43——1，2，3，4．
四、回顧反思
1．運用等差數列的知識解決實際問題，應注意什麼？
2．怎樣選擇等差數列前n項和公式解決問題？
五、課外作業
p44：習題2．2(2)——6，7，8，9，10．
等差數列求和教案
教學目標 1.通過教學使學生理解等差數列的前項和公式的推導過程，並能用公式解決簡單的問題.2.通過公式推導的教學使學生進一步體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思想方法，通過公式的運用體會方程的思想.教學重點，難點 教學重點是等差數列的前項和公式的推導和應用，難點是獲得推導公式的思路.教學用具 實物投...
2 1 1等差數列
2.2 等差數列 1 導學案 編寫人 周志進審核 高一數學組時間 2012 03 06 班級組名姓名 學習目標 a級目標 理解等差數列的概念，了解公差的概念，明確乙個數列是等差數列的限定條 件，能根據定義判斷乙個數列是等差數列。b級目標 探索並掌握等差數列的通項公式 能靈活運用通項公式求等差數列的首...
3 2等差數列
第三章數列 二等差數列 考點闡述 等差數列及其通項公式 等差數列前n項和公式 考試要求 2 理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，並能解決簡單的實際問題。考題分類 一 選擇題 共8題 1.北京卷文7 已知等差數列中，若，則數列的前5項和等於 a 30b 45c 90d 186 解...