田載今（2008-11-03）
「中學數學核心概念、思想方法結構體系及其教學設計的理論與實踐」第七次課題會，對「曲線與方程」的課例進行了深入的研討。筆者認為，這個課例選得好，好就好在它確實是能夠集中體現中學數學的核心概念與思想方法的乙個典型課例。
眾所周知，數量關係（簡稱「數」）與空間圖形（簡稱「形」）是數學研究的兩大物件。數學的發展中，最早形成的兩個基本的分支，即算術-代數是研究「數」的分支，幾何是研究「形」的分支。兩個分支的研究中，雖然在一些具體問題上也有交叉與關聯，例如通過單位正方形的對角線發現了無理數，但是在那個階段，「數」與「形」的轉化、數形結合的思想方法，並未形成數學中具有普遍意義的核心概念和思想方法。
直到17世紀，由笛卡爾與費馬創立了解析幾何，才使「數」與「形」的轉化、數形結合的思想方法在數學中佔據重要地位。
作為乙個哲學家，笛卡爾的內心中始終懷有把事物的普遍規律揭示出來的基本信念。他要建立起一種「普遍」的數學，把算術、代數、幾何等統一起來。他設想，把任何數學問題化為乙個代數問題，再把任何代數問題歸結到去解乙個方程式。
現在看來，雖然對於數學浩瀚如海的諸多內容，要實現笛卡爾的設想絕非易事，但是解析幾何確實是用代數工具討論幾何問題的成功之作。平面解析幾何的基本思想可以歸結為兩個要點：第一，在平面建立座標系，使平面上的點以座標表示形式與有序實數對建立一一對應；第二，平面上的曲線是滿足一定條件的點的集合，這些條件可以通過點的座標表現為代數方程，於是平面上的一條曲線就可由乙個代數方程來表示了。
解析幾何的創立，成為「數」與「形」相互轉化、形成數形結合思想方法的典範，它促成了變數的引入，使數學進入了乙個新的發展時期，即變數數學時期。恩格斯對此曾經評價說：「笛卡爾變數的出現是數學中的轉折點，從此運動和辯證法進入了數學，微積分也就立刻成為必要的了……」
在高中學習解析幾何，不僅要掌握直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的方程，能應用它們解題，而且要在一般意義上理解曲線與方程的關係，即「曲線的方程」與「方程的曲線」的概念，體驗「數」與「形」的轉化與結合，認識解析幾何基本思想方法的要點。為此，人教版高中《數學》a版在選修2-1第二章「圓錐曲線與方程」之首，專門安排了第2.1節「曲線與方程」。
這一節具有承上啟下的作用，在前面必修部分已有「直線與圓的方程」的基礎上，進行由「特殊」到「一般」的進一步抽象提公升，引出一般意義上曲線與方程的關係，介紹「求曲線的方程」的通法，為後續學習圓錐曲線等儲備理論基礎。
分析教材後可以明顯地發現，第2.1節「曲線與方程」中，核心概念是曲線與方程的關係，也即「曲線的方程」與「方程的曲線」的概念。教材中為表述它們寫有如下一段：
一般地，在直角座標系中，如果某曲線c上的點與乙個二元方程的實數解建立了如下的關係：
（1） 曲線上點的座標都是這個方程的解；
（2） 以這個方程的解為座標的點都是曲線上的點，
那麼，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。
這段話不長，卻很精練準確地道出曲線與方程的關係的實質。仔細分析它，可以看出：其中，（1）裡「都」字的作用很重要，「都是這個方程的解」保證了曲線上每一點的座標都滿足方程，即這一曲線上的點是「清一色」的，其上沒有混雜進來座標不滿足方程的點。
因此，（1）保證了曲線對於方程的純粹性。同樣地，（2）裡「都」字的作用也很重要，「都是曲線上的點」保證了座標滿足方程的點全部落在曲線上，即這一曲線是「獨一家」容納方程的解對應的點的地方，沒有遺漏任何座標滿足方程的點在這一曲線之外。因此，（2）保證了曲線對於方程的完備性。
純粹性與完備性合起來，保證了曲線與方程的等價性，即這裡的曲線與方程是同一事物的兩種表現形式，前者是幾何形式，後者是代數形式，它們可以互相轉化。
也可以從集合的角度認識上述關係。一方面，我們記平面上所有點構成的集合為π，則平面上任一點 pπ，平面上的曲線c π。另一方面，我們記集合為r，則任一有序實數對 r，二元方程的實數解集f = r。
在平面建立座標系後，使得平面上的點p以座標表示形式與有序實數對建立一一對應，於是平面曲線c（點的集合）就與（有序實數對的集合）等價地對應，記為c～；二元方程與其實數解集f等價地對應，記為～f。與f都是r的子集，如果= f，則由等價傳遞性，曲線c就與方程等價地對應，即c～。這一轉化過程如下所示：
①建立平面直角座標系， c～,～f ；
②= f c～是c的方程，c是的曲線。
根據集合相等的定義， = f即這兩集合相互包含。教材中那段話中的（1）就是說f；（2）就是說f 。兩者合起來即= f。這就是從集合角度對曲線與方程關係的解釋。
從上述分析可以看到，教材中寥寥幾行對曲線與方程關係的描述，包含了「形」與「數」的等價轉化，體現了解析幾何的真諦。但是，由於這段文字具有高度抽象概括的數學語言特色，所以對於一般高中生來說，僅憑閱讀這段文字而理解其含義確實不易實現。
在實際教學中，如何克服上述難點？這是我們應關注的問題。
筆者在第七次課題會研討活動的啟發下，感到利用學生已有對直線和圓的方程的認識基礎，結合一些具體的曲線與方程的例子，從正、反兩方面認識一般的曲線與方程的關係，可能會有助於理解「曲線的方程」與「方程的曲線」這些核心概念的本質，也有助於進一步體驗「數」與「形」的轉化與結合的思想方法。為此，教學中不妨使用類似下面的例子，設計問題啟發學生思考。
例1 結合曲線與方程關係的條件（1）（2）說明：單位圓的方程為，方程的曲線為單位圓。
筆者認為，雖然學習本課之前學生對單位圓的方程已很熟悉，本課中引出曲線與方程關係時也會從圓的方程說起，但是在給出曲線與方程關係的一段文字之後，仍有必要再次用簡單而具體的例子解釋曲線與方程關係中的（1）（2）兩層含義。為說明這個問題，學生需要用單位圓的幾何特徵（圓心在原點，半徑為1的圓）說明其上任一點的座標滿足方程，並反過來說明只要是這個方程的解，則點p到原點的距離為1，從而p一定在單位圓上。儘管這樣做看起來有些繁瑣重複，但對於剛開始理解抽象文字所表達的含義卻是不可或缺的。
它創設了以直觀事例解釋抽象概念的機會，使學生能獨立地從認識定義入手來理解概念。教學中，根據需要可以多舉幾個類似的例子。忽視正面運用這種簡單例子，可能會使教學欲速則不達。
例2 下列哪條曲線是方程的曲線？請說明理由。
a．單位圓 b.上半單位圓 c.右上1/4單位圓 d.右半單位圓
由方程可知，其解滿足。a，b中的曲線上都有橫座標為負數的點（例如點（－1，0）），即曲線上點的座標不都是方程的解。因此，這兩曲線不是這個方程的曲線。
雖然c中的曲線上各點的座標都是方程的解，但是還有這個方程的解對應的點不在這個1/4單位圓上，例如點（0，-1）。因此，這一曲線不是這個方程的曲線。
d中的右半單位圓上所有點的座標都滿足方程，反之，這個方程的每個解對應的點滿足，並且它們又都在右半單位圓上。因此，右半單位圓上是方程的曲線。
例3 下列哪個方程是下圖中曲線c（兩條相交直線：第
一、三象限的直角平分線，第
二、四象限的直角平分線）的方程？請說明理由。
ab.cd. yox
這裡所說的曲線c由兩條直線組成，其中，第
一、三象限的直角平分線上的點的座標不是方程的解，第
二、四象限的直角平分線上的點的座標不是方程的解。因此，這兩方程不是曲線c的方程。
雖然兩條直線上任一點的座標都是方程即=0的解，但是座標為方程的解的點不全在這兩條直線上，例如點（1，0）。因此，方程不是曲線c的方程。
兩條直線上任一點的座標都是方程的解，反之，這個方程的每個解對應的點（）又都在兩條直線上。因此，方程是曲線c的方程。
筆者認為，對於抽象性較強的數學概念的教學，必須結合具體例子幫助學生理解概念的含義。但是，僅用正面例子解釋，有時還難以讓學生真正理解概念，曲線與方程的關係就屬於這樣的概念。因此，教學中需要設計一些反例，讓學生通過正、反例的對比辨析、鑑別真偽，從不同角度來認識定義文字所隱含的內容，從而達到「有比較才能鑑別，有鑑別才能深化認識」的學習效果。
類似例2、例3這樣帶有反例（例2、例3中的a，b，c）的問題，其內容與學生的知識基礎很接近，但又容易形成認識上的誤區，具有一些思維上的挑戰性，可能會給學生留下較深刻的印象。它們具有單純正例所起不到的獨特作用，教學中對此應予以關注，這對核心概念和重要思想方法的教學尤為重要。
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