【知識綜述】
給定△abc，在其內部找一點p，使得pa+pb+pc最小.
分析：把△bap繞點b旋轉60，得△bdm，則△bpm是等邊三角形，
因此pa+pb+pc=dm+mp+pc≥cd.當且僅當d、m、p、c四點共線時取等號.
此時，因為∠bpm=60,所以∠bpc=120.同理∠bpa=∠bmd=180-60=120,因此也有∠apc=120.
至此，我們得到：使得pa+pb+pc最小的點p必須滿足∠apb=∠bpc=∠cpa=120.
這個點，我們稱為費馬點.17世紀法國數學家皮埃爾·德·費馬在一封寫給義大利數學家埃萬傑利斯塔·托里拆利(氣壓計的發明者)的信中提出這個問題，托里拆利成功解決了這個問題.19世紀的數學家斯坦納重新發現並解決了這個問題，因此這個點也稱為托里拆利點或斯坦納點.
根據以上解法，我們可以得到費馬點的作圖方法：分別以ab、bc為邊，向外作等邊△abd和等邊△bcf，連線af和cd交於點p，則點p就是費馬點.
證明：根據sas得△bcd≌△bfa,因此∠baf=∠bdc,因此a、d、b、p四點共圓，因此∠apb=120,同理∠bpc=120.進而可得∠apc=120,因此a、p、c、e也共圓.
也就是說，af、cd、be三線共點，只要作出三個等邊三角形中的任意兩個，都可以得到費馬點.
不妨設∠bac最大，讓∠bac從銳角慢慢變大，當∠bac=120時，可以發現，費馬點就是點a；當∠bac>120時，點a在△bpc的內部，熟知結論pb+pc>ab+ac,因此費馬點就是點a.這樣，我們就得到了比較完善的結論.
定理：當△abc的最大角小於120時，費馬點在△abc的內部，且對三邊的張角都是120；當△abc的最大角a大於等於120時，費馬點就是鈍角頂點a.
易得費馬點的性質：dp、fp、ep分別平分∠apb、∠bpc、 ∠apc.
追問：若把上面的三個等邊三角形分別沿著△abc的三邊翻摺到對面去，那麼直線af、be、cd還共點嗎？若q是cd和af的交點，只要證明q點在be上即可.
作出下圖，依然有△baf≌△bdc,因此∠baf=∠bdc，因此a、b、d、q四點共圓，因此∠bqd=∠bad,表明q在直線be上.得證.
【典型例題】
例1. △abc中，∠bac=120,在△abc的外側作正三角形bcd，連線ad，求證：ad=ab+ac.
分析1：在ad上擷取ae=ac，因為∠cad=∠dbc=60,所以△ace是等邊三角形，因此ca=ce.根據sas可得△cab≌△ced,因此ab=de,所以ad=ab+ac.
分析2：利用托勒密定理，,又因為bd=bc=cd,因此ad=ab+ac.
例2.正方形abcd的邊長是4，點m在對角線bd上，確定m的位置，使得ma+mb+mc最小.
分析：所求點m就是△abc的費馬點，如圖作出等邊△abe，則m是ce和bd的交點.
【變式練習】
1.如圖1，在△abc中，∠acb=90°，點p為△abc內一點．
(1)連線pb，pc，將△bcp沿射線ca方向平移，得到△dae，點b，c，p的對應點分別為點d，a，e，連線ce．
①依題意，請在圖2中補全圖形；
②如果bp⊥ce，bp=3，ab=6，求ce的長．
(2)如圖3，連線pa，pb，pc，求pa+pb+pc的最小值．
小慧的作法是：以點a為旋轉中心，將△abp順時針旋轉60°得到△amn，那麼就將pa+pb+pc的值轉化為cp+pm+mn的值，連線cn，當點p落在cn上時，此題可解．
請你參考小慧的思路，在圖3中證明pa+pb+pc=cp+pm+mn．並直接寫出當ac=bc=4時，pa+pb+pc的最小值．
2.在△abc中，ab=ac，∠bac=α，點p是△abc內一點，且．連線pb，試**pa，pb，pc滿足的等量關係．
(1)當α=60°時，將△abp繞點a逆時針旋轉60°得到，連線，如圖1所示．由△abp≌△acp』可以證得△app』是等邊三角形，再由∠pac+∠pca=30°可得∠apc的大小為度，進而得到是直角三角形，這樣可以得到pa，pb，pc滿足的等量關係為 ；
(2)如圖2，當α=120°時，請參考(1)中的方法，**pa，pb，pc滿足的等量關係，並給出證明；
(3)pa，pb，pc滿足的等量關係為
3.在△abc中，∠bac=60°．
(1)如圖1，若ab=ac，點p在△abc內，且∠apc=150°，pa=3，pc=4，把△apc繞著點a順時針旋轉，使點c旋轉到點b處，得到△adb，連線dp
①依題意補全圖1； ②直接寫出pb的長；
(2)如圖2，若ab=ac，點p在△abc外，且pa=3，pb=5，pc=4，求∠apc的度數；
(3)如圖3，若ab=2ac，點p在△abc內，且pa=，pb=5，∠apc=120°，請直接寫出pc的長．
4.如圖，在平面直角座標系xoy中，點b的座標為(0,2)，點d在x軸的正半軸上，∠odb=30°，oe為△bod的中線，過b、e兩點的拋物線與軸相交於a、f兩點(a在f的左側).
(1)求拋物線的解析式；
(2)等邊△omn的頂點m,n**段ae上，求ae及am的長；
(3)點p為△abo內的乙個動點，設m=pa+pb+po，請直接寫出m的最小值,以及m取得最小值時，線段ap的長.
第5課教案
第五課財富之源 第10課時 財富基於勤勞 學習目標 1.識記創造財富的基礎與源泉。2.理解勤勞是中華民族傳統美德的表現，培養勤勞的習慣。學習過程 一 匯入 板書課題 今天我們來學習第五課 財富之源 財富基於勤勞 老師板題。二 出示目標請看學習目標 多 出示 三 先學後教 一 先學1 出示自學指導 請...
教案第5課
華清園實驗小學教案 科目語文年級四年級 下 任課教師施立娜 課題第五課中彩那天 1 用現有的識字方法，查字典 聯絡上下文，學會15個生字，理解新 教學目標 詞 2 複述課文主要內容，提高口語表達能力 3 通過討論和想象，提高認識能力和思維能力。教學重點 1 聯絡上下文理解課文內容，然後完成課後第二題...
第5課詠雪
教學目標 1 講清楚文言文學習的基本要求 2 通過注釋，讀懂淺顯的文言文 3 理解言簡意賅的文章裡，蘊含著的豐富的人文內涵，高尚的道德情操 教學重點 目標1教學難點 目標2教學方法 要素教學法 朗讀教學法 教學時間 兩課時教學過程 第1課時 一 匯入 公升入初中後，文言文以及古詩就是我們語文學習的重...