選修4－4 座標系與引數方程第2課時引數方程
1. (選修44p56習題第2題改編)若直線的引數方程為(t為引數)，求直線的斜率．
解：k＝＝＝－.∴ 直線的斜率為－.
2. (選修44p56習題第2題改編)將引數方程(θ為引數)化為普通方程．
解：轉化為普通方程：y＝x－2，x∈[2，3]，y∈[0，1]．
3. 求直線(t為引數)過的定點．
解：＝，－(y＋1)a＋4x－12＝0對於任何a都成立，則x＝3，且y＝－1.∴ 定點為(3，－1)．
4. 已知曲線c的引數方程為(t為引數)，若點p(m，2)在曲線c上，求m的值．
解：點p(m，2)在曲線c上，則，所以m＝16.
5. (選修44p57習題第6題改編)已知直線l1： (t為引數)與直線l2：2x－4y＝5相交於點b，又點a(1，2)，求|ab|.
解：將代入2x－4y＝5得t＝，則b，而a(1，2)，得|ab|＝.
1. 引數方程是用第三個變數(即引數)分別表示曲線上任一點m的座標x、y的另一種曲線方程的形式，它體現了x、y的一種間接關係．
2. 引數方程是根據其固有的意義(物理、幾何)得到的，要注意引數的取值範圍．
3. 一些常見曲線的引數方程
(1) 過點p0(x0，y0)，且傾斜角是α的直線的引數方程為(l為引數). l是有向線段p0p的數量．
(2) 圓方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的引數方程是(θ為引數)．
(3) 橢圓方程＋＝1(a>b>0)的引數方程是(θ為引數)．
(4) 雙曲線方程－＝1(a>0，b>0)的引數方程是(t為引數)．
(5) 拋物線方程y2＝2px(p>0)的引數方程是(t為引數)．
4. 在引數方程與普通方程的互化中注意變數的取值範圍．
[備課札記]
題型1 引數方程與普通方程的互化
例1 將引數方程(t為引數)化為普通方程．
解：(解法1)因為－＝4，所以－＝4.化簡得普通方程為－＝1.
(解法2)因為所以t＝，＝，相乘得＝1.化簡得普通方程為－＝1.
將引數方程化為普通方程，並說明它表示的圖形．
解：由可得即＋x2＝1，化簡得y＝1－2x2.又－1≤x2＝sin2θ≤1，則－1≤x≤1，則普通方程為y＝1－2x2，在時此函式圖象為拋物線的一部分．
題型2 求引數方程
例2 已知直線l經過點p(1，1)，傾斜角α＝.
(1) 寫出直線l的引數方程；
(2) 設l與圓x2＋y2＝4相交於兩點a、b，求點p到a、b兩點的距離之積．
解：(1) 直線的引數方程為
即(t為引數)．
(2) 把直線代入x2＋y2＝4，得
＋＝4，t2＋(＋1)t－2＝0，t1t2＝－2，
則點p到a、b兩點的距離之積為2.
過點p作傾斜角為α的直線與曲線x2＋2y2＝1交於點m、n，求|pm|·|pn|的最小值及相應的α的值．
解：設直線為(t為引數)，代入曲線並整理得(1＋sin2α)t2＋(cosα)t＋＝0，
則|pm|·|pn|＝|t1t2|＝.
所以當sin2α＝1時，|pm|·|pn|的最小值為，此時α＝.
題型3 引數方程的應用
例3 已知點p(x，y)是圓x2＋y2＝2y上的動點．
(1) 求2x＋y的取值範圍；
(2) 若x＋y＋a≥0恆成立，求實數a的取值範圍．
解：(1) 設圓的引數方程為
2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝sin(θ＋φ)＋1，
∴ －＋1≤2x＋y≤＋1.
(2) x＋y＋a＝cosθ＋sinθ＋1＋a≥0，
∴ a≥－(cosθ＋sinθ)－1＝－sin－1，
∴ a≥－1.
在橢圓＋＝1上找一點，使這一點到直線x－2y－12＝0的距離最小．
解：設橢圓的引數方程為，
d＝＝＝，
當cos＝1時，dmin＝，此時所求點為(2，－3)．
1. 在平面直角座標系xoy中，曲線c1和c2的引數方程分別為和(t為引數)，求曲線c1和c2的交點座標．
解：曲線c1的方程為x2＋y2＝5(0≤x≤)，
曲線c2的方程為y＝x－1，
由 x＝2或x＝－1(捨去)，則曲線c1和c2的交點座標為(2，1)．
2. (2013·湖南)在平面直角座標系xoy中，若l： (t為引數)過橢圓c： (φ為引數)的右頂點，求常數a的值．
解：直線的普通方程為y＝x－a.橢圓的標準方程為＋＝1，右頂點為(3，0)，所以點(3，0)在直線y＝x－a上，代入解得a＝3.
3. (2013·重慶)在直角座標系xoy中，以原點o為極點，x軸的正半軸為極軸建立極座標系．若極座標方程為ρcosθ＝4的直線與曲線(t為引數)相交於a、b兩點，求|ab|.
解：極座標方程為ρcosθ＝4的直線的普通方程為x＝4.曲線的引數方程化為普通方程為y2＝x3，
當x＝4時，解得y＝±8，即a(4，8)，b(4，－8)，
所以|ab|＝8－(－8)＝16.
4. (2013·江蘇)在平面直角座標系xoy中，直線l的引數方程為(t為引數)，曲線c的引數方程為(θ為引數)，試求直線l與曲線c的普通方程，並求出它們的公共點的座標．
解：∵ 直線l的引數方程為∴ 消去引數t後得直線的普通方程為2x－y－2＝0，①
同理得曲線c的普通方程為y2＝2x，②
①②聯立方程組解得它們公共點的座標為(2，2)，.
1. 在極座標系中，圓c的方程為ρ＝2sin，以極點為座標原點、極軸為x軸正半軸建立平面直角座標系，直線l的引數方程為(t為引數)，判斷直線l和圓c的位置關係．
解：ρ＝2sin，即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，兩邊同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，得圓c的直角座標方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.消去引數t，得直線l的直角座標方程為y＝2x＋1.
圓心c到直線l的距離d＝＝.因為d＝<，所以直線l和圓c相交．
2. 已知極座標方程為ρcosθ＋ρsinθ－1＝0的直線與x軸的交點為p，與橢圓(θ為引數)交於點a、b，求pa·pb的值．
解：直線過點p(1，0)，
引數方程為(t為引數)．
代入橢圓方程＋y2＝1，
整理得t2＋t－3＝0，
則pa·pb＝|t1t2|＝.
3. 已知曲線c的極座標方程為ρ＝6sinθ，以極點為原點、極軸為x軸非負半軸建立平面直角座標系，直線l的引數方程為(t為引數)，求直線l被曲線c截得的線段的長度．
解：將曲線c的極座標方程化為直角座標方程x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9，它表示以(0，3)為圓心、以3為半徑的圓，直線l的普通方程為y＝x＋1，圓c的圓心到直線l的距離d＝1，故直線l被曲線c截得的線段長度為2＝4.
4. 已知直線c1： (t為引數)，c2： (θ為引數)．
(1) 當α＝時，求c1與c2的交點座標；
(2) 過座標原點o作c1的垂線，垂足為a，p為oa中點，當α變化時，求p點的軌跡的引數方程，並指出它是什麼曲線．
解： (1) 當α＝時，c1的普通方程為y＝(x－1)，
c2的普通方程為x2＋y2＝1.
聯立方程組
解得c1與c2的交點為(1，0)，.
(2) c1的普通方程為xsinα－ycosα－sinα＝點座標為(sin2α，－cosαsinα)，故當α變化時，p點軌跡的引數方程為(α為引數)．
p點軌跡的普通方程為＋y2＝.
故p點軌跡是圓心為，半徑為的圓．
直線的引數方程：經過點m0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的普通方程是y－y0＝tanα(x－x0)，而過m0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的引數方程為(t為引數)．
特別說明：直線引數方程中引數的幾何意義：過定點m0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的引數方程為(t為引數)，其中t表示直線l上以定點m0為起點，任一點m(x，y)為終點的有向線段的數量，當點m在m0上方時，t＞0；當點m在m0下方時，t＜0；當點m與m0重合時，t＝0.
我們也可以把引數t理解為以m0為原點，直線l向上的方向為正方向的數軸上的點m的座標，其單位長度與原直角座標系中的單位長度相同．
選修4－5 不等式選講
第1課時絕對值不等式(對應學生用書(理)198～199頁)
1. 解不等式：|x＋1|>3.
解：由|x＋1|＞3得x＋1＜－3或x＋1＞3，解得x＜－4或x＞2.所以解集為(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
2. 解不等式：3≤|5－2x|<9.
解： 得解集為(－2，1]∪[4，7)．
3. 已知|x－a|解：由|x－a|4. 解不等式：|2x－1|－|x－2|<0.
解：原不等式等價於不等式組
①無解；
②解得③解得－1＜x≤.
綜上得－1＜x＜1，
所以原不等式的解集為．
5. 求函式y＝|x－4|＋|x－6|的最小值．
解：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.所以函式的最小值為2.
1. 不等式的基本性質
①a>b bb，b>ca>c；
③a>ba＋c>b＋c；
④a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac⑤a>b>0an>bn(n∈n，且n>1)；
⑥a>b>0> (n∈n，且n>1)．
2. 含有絕對值的不等式的解法
①|f(x)|>a(a>0) f(x)>a或f(x)<－a；
②|f(x)|0) －a3. 含有絕對值的不等式的性質
①|a|＋|b|≥|a＋b|；②|a|－|b|≤|a＋b|；
③|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
[備課札記]
題型1 含絕對值不等式的解法
例1 解不等式：|x＋3|－|2x－1|<＋1.
解： ① 當x<－3時，原不等式化為－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴ x<－3.
引數方程化為普通方程
姓名日期 學習目標 了解引數方程與普通方程之間的聯絡與區別，掌握它們之間的互化法則 重點 引數方程與普通方程的互化法則，常見問題的消參方法 難點 整體元消參的方法，引數方程與普通方程的等價性 即x y的範圍 預習案 1 消去引數的一般方法 利用解方程的技巧求出引數的表示方法，然後代入消去引數 利用三...
引數方程測試
1 在直角座標系中，直線的引數方程為 為引數 以原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極座標系，曲線的極座標方程為，則直線和曲線的公共點有 2 以平面直角座標系的原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極座標系，則曲線 為引數 上的點到曲線的最短距離是 3已知兩圓的極座標方程，則兩圓的圓心距為 4 直線 ...
橢圓引數方程教案
教學目的 1.通過 活動，了解橢圓引數方程及橢圓規的設計原理 2.有應用引數的意識，能用橢圓引數方程解決一些簡單問題 3.通過觀察，探索的學習過程，培養 能力和創新意識.教學重點 橢圓的引數方程的建立.教學難點 橢圓引數方程的應用.教學過程 一 自主 發現新知 1 如圖，以原點為圓心，為半徑分別作兩...