引數方程
一、教學內容與教學目標：
本單元教學內容：曲線引數方程的概念，直線、圓、橢圓的引數方程，引數方程與普通方程的互化．
本單元教學目標：使學生理解引數方程的概念，初步掌握直線、圓、橢圓的引數方程．理解引數的幾何或物理意義．掌握引數方程與普通方程互化的方法，會根據給出的引數，建立曲線的引數方程．
結合曲線引數方程的建立，對學生進行運動變化觀點的教育，結合引數方程與普通方程的互化，使學生加深對等價轉化思想的理解，提高轉化中邏輯關係的認識，提高邏輯思維能力，提高利用引數解決問題的能力．
二、重難點分析：
本節的重點是引數方程的概念，直線、圓、橢圓的引數方程，引數方程和普通方程互化的方法．
本節的難點是直線和橢圓引數方程中引數的幾何意義，互化中的等價性也是學生學習的難點．
教學中應明確，引數需要根據實際問題的性質及圖形特點決定．學生只要掌握教材中給出的幾種方程中引數的幾何意義就可以了．作為互化中的取值範圍，在課本中未作要求，但實際解決問題中，它又是無法迴避的事情，教學中以要求學生理解原理為主，具體操作上應明確，重在整體範圍改變的研究，淡化個別點的研究．
不要求用引數方程求曲線的交點．
三、知識系統及其結構：
四、課時安排：
本單元教學時間約需5課時，具體分配如下：
曲線的引數方程約2課時
引數方程與普通方程互化約2課時
小結複習約1課時
第5課時引數方程小結複習
教學目標：
1、 引數方程和普通方程互化的方法．
2、 求極值的問題。
教學重點與難點：
1、重點：引數方程和普通方程互化
2、難點：求極值的問題
教學用具： 多**課件
教學方法： 講練結合
教學過程設計：
一、複習
常見曲線的引數方程如下：
1．過定點（x0，y0），傾角為α的直線：
（t為引數）
2．中心在（x0，y0），半徑等於r的圓：
（為引數）
3．中心在原點，焦點在x軸（或y軸）上的橢圓：
（為引數） （或 ）
4．中心在原點，焦點在x軸（或y軸）上的雙曲線：
（為引數） （或 ）
5．頂點在原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線：
（t為引數，p＞0）
直線的引數方程和引數的幾何意義
過定點p（x0，y0），傾斜角為的直線的引數方程是 （t為引數）．
其中引數t是以定點p（x0，y0）為起點，對應於t點m（x，y）為終點的有向線段pm的數量，又稱為點p與點m間的有向距離．
根據t的幾何意義，有以下結論．
1．設a、b是直線上任意兩點，它們對應的引數分別為ta和tb，則＝＝．
2．線段ab的中點所對應的引數值等於．
二、範例
例1．，消參後得，其中此題消參的方法及求x，y的範圍都很簡單，因為沒有技術性困難分散學生注意力，所以便於用此題說明以下理論問題：① 消參時存在等價性問題；② 提示前述兩個邏輯原理，明確消參可能擴大取值範圍．其中引數方程代表的是已知曲線，普通方程必須表示這條曲線．應以引數方程中曲線的範圍，作為普通方程中曲線的範圍；③ 求曲線範圍就是求函式，的值域．所有求值域的方法都可以使用；④ 曲線上橫（縱）座標相同的點不只乙個，為此常把x，y的範圍同時求出．此例只寫y的取值是可以的，但只寫x的取值範圍就不行了．但我們不考慮如何表示曲線範圍最簡單．只要等價就可以了，因此需將x，y的範圍同時求出；⑤ 曲線的方程不是單指含有兩個變數x，y的等式，還包括x，y的取值範圍．這是對曲線方程的概念的深層次的理解．
通過一定數量的例題或習題，學生在實踐中加深對上述概念的理解，同時複習消參的方法和求函式值值域的方法．
例2．消參後得：其中,它是以點為端點，斜率為2的射線．
此例是對新知識的鞏固，題目較簡單，應以學生活動為主．可通過學生在黑板上的板書的講評再次強調本節的知識要點．
例3．原式化為
它表示以點（）和點（）為端點的線段．x恆等於，不必消參即得到普通方程．此題的核心問題是求y的取值範圍．此過程可複習三角的重要思想：化為乙個角乙個函式及重要方法．配輔助角．
例4．原式化為
消參得，除去點（2，－1）．例如的假分式常用將它化為帶分式的方法求值域．
例5 在圓x2＋2x＋y2=0上求一點，使它到直線2x＋3y－5=0的距離最大．
此題常用解法有：①求過圓心(－1，0)與直線2x＋3y－5 = 0垂直的直線和圓的交點，並根據圖形捨去乙個點．②求與2x＋3y－5 = 0平行的圓的切線，再求切點，並根據圖形捨去乙個點．③設切點座標t(x0, y0)，利用方程組,解出切點，再根據圖形捨去乙個解．④利用圓的引數方程，則圓上點到2x＋3y－5 = 0的距離為
當，即時，d取得最大值，此時，．即點p (，)為所求．
例6 在橢圓4x2＋9y2=36上求一點p，使它到直線x＋2y＋18=0的距離最短（或最長）．
此題如用求切線的方法解，計算量大．利用橢圓的引數方程，則橢圓上點到直線的距離
當時，d取得最小值，此時，，．即點p(,)為所求．
三、練習與講評
曲線（t是引數）與曲線（為引數）交點座標是 ．
（－1，1），（1，1）
四、小結或總結
一般常用的求最值的方法有以下幾種：
1．利用二次函式求最值
對於定義在（－∞，＋∞）上的二次函式y＝ax2＋bx＋c，如果a＞0，則當x＝－時，有最小值ymin＝，但這函式沒有最大值；如果a＜0，則當x＝－時，有最大值ymax＝，但這函式沒有最小值．
2．判別方法
對於二次函式、二次分式函式和二次無理函式y＝f（x），在定義域［a，b］上是連續函式，且可以變形為關於x的二次方程從而判別△＝≥0，如果這個不等式能夠解出，且當在x∈［a，b］內能取得等號時，此即f（x）的最值．當x∈［a，b］內不能取得等號時，f（x）在端點處取得最值．
3．不等式法
n個非負數的算術平均數，不小於它們的幾何平均數．當n＝2時：若a，b≥0則≥，上式中等號當且僅當a＝b時成立，一般地，若a1，a2，a3，…，an≥0，則有（a1＋a2＋a3＋…＋an）≥，其中等號當且僅當a1＝a2＝…＝an時成立．
4．利用正、余弦函式的有界性
正弦函式y＝sinx，當x＝2kπ＋時，有ymax＝1；當x＝2kπ－時，有ymin＝－1．特別地，對定義在［0，2π］上的函式y＝sinx，當x＝時，有ymax＝1；當x＝時，有ymin＝－1．
余弦函式y＝cosx，當x＝2kπ時，有ymax＝1；當x＝（2k＋1）π時，有ymin＝－1（其中k為整數）．
5．利用曲線的幾何定義．
五測試題
一、 選擇題
1．引數方程表示的曲線是
2．引數方程表示
3．曲線的引數方程是（t是引數，t≠0），它的普通方程是
4．曲線xy=1的引數方程是
二、填空題：
曲線的引數方程是，則曲線的普通方程是
測試題答案：
一、選擇題
1． a 2． b 3． b 4． d
二、填空題
，(0≤x≤1，0≤y≤2)
引數方程練習題
1 直線，為引數 上與點的距離等於的點的座標是 a b 或 cd 或 2 已知直線為引數 與曲線 交於兩點，則 a b c d 3 曲線為引數 的對稱中心 a 在直線y 2x上b 在直線y 2x上 c 在直線y x 1上 d 在直線y x 1上 4 曲線的引數方程為 t是引數 則曲線是 a 線段 b...
第二講引數方程同步練習
第一節曲線的引數方程 第1課時引數方程的概念與圓的引數方程 一 選擇題 1 當引數 變化時，由點p 2cos 3sin 所確定的曲線過點 a 2，3b 1，5cd 2，0 2 將引數方程 為引數 化為普通方程為 a y x 2b y x 2 c y x 2 2 x 3d y x 2 0 y 1 3 ...
座標系與引數方程練習題
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