第二章函式概念與基本初等函式
§2.1 對映、函式、反函式
一、知識導學
1.對映：一般地，設a、b兩個集合，如果按照某種對應法則 ，對於集合a中的任何乙個元素，在集合b中都有唯一的元素和它對應，那麼這樣的單值對應叫做集合a到集合 b的對映，記作f：
a→b.(包括集合a、b及a到b的對應法則)
2.函式： 設a，b都是非空的數集，如果按某種對應法則，對於集合a中每乙個元素，在集合b中都有唯一的元素和它對應，且b中每乙個元素都的原象，這樣的對應叫做從集合a到集合 b的乙個函式，記作 .
其中所有的輸入值組成的集合a稱為函式定義域.
對於a中的每乙個，都有乙個輸出值與之對應，我們將所有輸出值組成的集合稱為函式的值域.
3.反函式：一般地，設函式y=f(x)(x∈a)的值域是c，根據這個函式中x,y 的關係，用y把x表示出來，得到x=f-1(y).
若對於y在c中的任何乙個值，通過x在a中都有唯一的值和它對應，那麼x=f-1(y)就表示y是自變數，x是自變數y的函式，這樣的函式叫做函式y=f(x)(x∈a)的反函式，記作x=f-1(y). 我們一般用x表示自變數，用y 表示函式，為此我們常常對調函式x=f-1(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f-1(x) 反函式y=f-1(x)的定義域、值域分別是函式y=f(x)的值域、定義域.
二、疑難知識導析
1.對對映概念的認識
(1) 與是不同的，即與上有序的.或者說：對映是有方向的，
(2) 輸出值的集合是集合b的子集.即集合b中可能有元素在集合a中找不到對應的輸入值.集合a中每乙個輸入值，在集合b中必定存在唯一的輸出值.
或者說：允許集合b中有剩留元素；允許多對一，不允許一對多.
(3)集合a，b可以是數集，也可以是點集或其它型別的集合.
2.對函式概念的認識
（1）對函式符號的理解知道 y=與的含義是一樣的，它們都表示是的函式，其中是自變數，是函式值，連線的紐帶是法則 .是單值對應.
(2)注意定義中的集合 a，b都是非空的數集,而不能是其他集合；
（3）函式的三種表示法：解析法，列表法，和影象法.
3.對反函式概念的認識
（1）函式y=只有滿足是從定義域到值域上一一對映，才有反函式；
（2）反函式的定義域和值域分別是原函式的值域和定義域，因此反函式的定義域一般不能由其解析式來求，而應該通過原函式的值域而得.
（3）互為反函式的函式有相同的單調性，它們的影象關於y=x對稱.
三、經典例題導講
[例1]設m＝｛a，b，c｝，n＝｛－2,0,2｝,求（1）從m到n的對映種數；
（2）從m到n的對映滿足 (a)>(b)≥f(c),試確定這樣的對映的種數.
錯解：（1）由於m＝｛a，b，c｝，n＝｛－2,0,2｝，結合對映的概念，有
，共6個對映
(2)由（1）得滿足條件的對映僅有一種情況
錯因：沒有找全滿足條件的對映個數，關健是對概念認識不清
正解：（1）由於m＝｛a，b，c｝，n＝｛－2,0,2｝，結合對映的概念，有
一共有27個對映
（2）符合條件的對映共有4個
[例2]已知函式的定義域為[0，1]，求函式的定義域
錯解：由於函式的定義域為[0，1]，即，
∴的定義域是[1，2]
錯因：對函式定義域理解不透，不明白與定義域之間的區別與聯絡，其實在這裡只要明白：中取值的範圍與中式子的取值範圍一致就好了.
正解：由於函式的定義域為[0，1]，即∴滿足
，∴的定義域是[－1，0]
[例3]已知：，求.
錯解：∵ ，∴
故，∴＝3－3＝0.
錯因：沒有理解分段函式的意義，的自變數是3，應代入中去，而不是代入－5中，只有將自變數化為不小於6的數才能代入解析式求解.
正解：∵ ，
∴＝＝＝7-5＝2
[例4]已知的反函式是，如果與的影象有交點，那麼交點必在直線上，判斷此命題是否正確？
錯解：正確
錯因：對互為反函式的影象關於直線對稱這一性質理解不深，比如函式
的影象的交點中，點不在直線上，由此可以說明「兩互為反函式影象的交點必在直線上」是不正確的.
[例5]求函式，的值域.
錯解： 又，的值域是
錯因:對函式定義中，輸入定義域中每乙個x值都有唯一的y值與之對應，錯誤地理解為x的兩端點時函式值就是y的取值範圍了.
正解：配方，得
∵，對稱軸是∴當時，函式取最小值為2，
的值域是
[例6]已知，求函式的解析式.
錯解：由已知得
即，∴錯因：將函式錯誤地認為是的反函式，是由於對函式表示式理解不透徹所致，實際上與並不是互為反函式，一般地應該由先求，再去得到.
正解：因為的反函式為＝，
所以＝＝
[例7]根據條件求下列各函式的解析式：
（1）已知是二次函式，若，求.
（2）已知，求
（3）若滿足求
解：（1）本題知道函式的型別，可採用待定係數法求解
設＝由於得，
又由，∴即
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