4.2 二次函式的性質
1.二次函式y=4x2-mx+5的對稱軸為x=-2,則當x=1時,y的值為( )
a.-7 b.1
c.17 d.25
解析:由已知得-=-2,所以m=-16,這時y=4x2+16x+5.因此當x=1時,y=4×12+16×1+5=25.
答案:d
2.[, ]函式f(x)=ax2+2(a-3)x+1在區間(-2,+∞)上是減少的,則a的取值範圍是( )
a.[-3,0] b.(-∞,-3]
c.[-3,0) d.[-2,0]
解析:當a=0時,f(x)=-6x+1顯然成立;
當a≠0時,要使f(x)在(-2,+∞)上是減少的,需滿足解得-3≤a<0.
綜上可知,a的取值範圍是[-3,0].
答案:a
3.已知函式y=x2-2x+3在區間[0,m]上有最大值3,最小值2,則實數m的取值範圍是( )
a.[1,+∞) b.[1,2)
c.[1,2] d.(-∞,2]
解析:由於y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其影象如圖所示,且f(0)=3,f(1)=2,f(2)=3.結合影象可知m的取值範圍是[1,2].
答案:c
4.已知二次函式f(x)=ax2-6ax+1,其中a>0,則下列關係中正確的是( )
f(π)
解析:函式f(x)=ax2-6ax+1的對稱軸為x=3,其影象開口方向向上,離對稱軸越近,對應的函式值越小.∵2π-3>π-3,∴f(2π)>f(π).故選b.
答案:b
5.(**題)由於被墨水汙染,一道數學題僅能見到下列文字:「已知二次函式y=x2+bx+c的影象過(1,0)……求證這個二次函式的影象關於直線x=2對稱」.
根據以上資訊,題中的函式影象不具有的性質是( )
a.過點(3,0)
b.頂點為(2,2)
c.在x軸上截得的線段長為2
d.與y軸交點為(0,3)
解析:若頂點為(2,2),可設為y=a·(x-2)2+2,將點(1,0)代入得0=a+2,∴a=-2.即y=-2(x-2)2+2,與y=x2+bx+c中的a=1矛盾.
答案:b
6.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料,為了降低消耗,現要從這些邊角料上擷取矩形鐵片(如圖所示).當擷取的矩形面積最大時,矩形兩邊的長x,y應為( )
解析:結合圖形,可得,得y=24-,矩形面積s=xy=x=-+24x,所以當x=-=15時,s最大,此時y=24-×15=12,故選a.
答案:a
7.(2016江蘇淮安高中聯考)如果二次函式y=mx2+5x+4在區間(-∞,2]上是增函式,在區間[2,+∞)上是減函式,則m的值是 .
解析:由題意可知,-=2,則m=-.
答案:-
8.已知二次函式f(x)滿足f(2+x)=f(2-x),又f(x)在[0,2]上是增加的,且f(a)≥f(0),那麼實數a的取值範圍是 .
解析:此函式的對稱軸為x==2,且f(x)在[0,2]上是增加的,如圖所示,由f(0)=f(4),f(a)≥f(0),知0≤a≤4.
答案:[0,4]
9.將長度為1的鐵絲分成兩段,分別圍成乙個正方形和乙個圓形.要使正方形與圓的面積之和最小,正方形的周長應為 .
解析:設正方形周長為x,則邊長為,圓周長為(1-x),圓的半徑為(0答案:
10.求二次函式y=x2-6x+7在區間[-2,4]上的最大值和最小值.
解法一:y=x2-6x+7=(x-3)2-2,故函式在區間[-2,3]上是減函式,在[3,4]上是增函式.
①當-2≤x≤3時,y最大=23,y最小=-2;
②當3≤x≤4時,y最大=-1,y最小=-2.
綜上可知,函式y=x2-6x+7的最小值為-2,最大值為23.
解法二:(數形結合)令f(x)=y=x2-6x+7.
對稱軸:x=3,f(x)最大=f(-2)=23;f(x)最小=f(3)=-2.
∴f(x)的最大值為23,最小值為-2.
11.[, ]已知二次函式f(x)的最小值為1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在區間[2a,a+1]上不單調,求實數a的取值範圍;
(3)在區間[-1,1]上,y=f(x)的影象恆在y=2x+2m+1的影象上方,試確定實數m的取值範圍.
解:(1)由f(0)=f(2)知,二次函式f(x)的影象關於x=1對稱.又f(x)的最小值為1,故可設f(x)=a(x-1)2+1,
因為f(0)=3,得a=2,故f(x)=2x2-4x+3.
(2)要使函式f(x)在區間[2a,a+1]上不單調,則2a<1即實數a的取值範圍是0(3)由已知,即2x2-4x+3>2x+2m+1,
化簡得x2-3x+1-m>0.
設g(x)=x2-3x+1-m,則只要g(x)min>0,
因為x∈[-1,1]時,g(x)是減少的,
所以g(x)min=g(1)=-1-m,
因此有-1-m>0,得m<-1.
即實數m的取值範圍是m<-1.
高中數學知識點總結第二章函式
考試內容 數學探索版權所有對映 函式 函式的單調性 奇偶性 數學探索版權所有反函式 互為反函式的函式影象間的關係 數學探索版權所有指數概念的擴充 有理指數冪的運算性質 指數函式 數學探索版權所有對數 對數的運算性質 對數函式 數學探索版權所有函式的應用 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有了解...
第二章二次函式小結與複習
基礎盤點 一 二次函式的概念 一般地,形如是常數,的函式,叫做二次函式.其中,是 分別是函式解析式的係數 係數和 二 二次函式的圖象 二次函式的圖象是一條 其頂點座標為 當 時,圖象開口 當 時,圖象開口 三 二次函式的性質 1.對稱性 其圖象是軸對稱圖形,對稱軸是直線 2.增減性 若 當 時,值隨...
第二章二次函式單元評估試卷
第2章單元評估試卷 考試時間 60分鐘滿分 120分 一 選擇題 本大題共10小題，每小題3分，共30分 1.拋物線y 2 x 3 2的頂點在 a.第一象限 b.第二象限 c.x軸上 d.y軸上 2.已知點 a，8 在二次函式y ax2的圖象上，則a的值是 a 2 b 2 c 2 d 3.在同一座標...